高中数学必修第、2章知识点+习题.doc

第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积4 圆台的表面积5 球的表面积（二）空间几何体的体积1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积 第一章 空间几何体一、选择题1有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( ) 主视图 左视图 俯视图 (第1题)A棱台B棱锥C棱柱D正八面体2如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A2BCD3棱长都是的三棱锥的表面积为( )AB2C3D44长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A25B50C125D都不对5正方体的棱长和外接球的半径之比为()A1B2C2D36在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若使ABC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )ABCD7若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A130B140C150D1608如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )AB5 C6D9下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )A用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C水平放置的矩形的直观图是平行四边形D水平放置的圆的直观图是椭圆10如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )(第10题)二、填空题11一个棱柱至少有_个面，面数最少的一个棱锥有_个顶点，顶点最少的一个棱台有_条侧棱12若三个球的表面积之比是123，则它们的体积之比是_13正方体ABCDA1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥OAB1D1的体积为_14如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_15已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，则这个长方体的对角线长是_，它的体积为_16一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_厘米三、解答题17有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度18 *已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比提示：过正方体的对角面作截面19如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积(第19题)20养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示DCBA（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALBL = L AB公理1作用：判断直线是否在平面内CBA（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。PL（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第二章综合检测题一、选择题1若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A相交B平行C异面 D平行或异面2平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3B4C5D63已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行B相交C垂直D异面4长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A30B45C60D905对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b6下面四个命题：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中真命题的个数为()A4B3C2D17在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EFAA1；EFAC；EF与AC异面；EF平面ABCD.其中一定正确的有()ABCD8设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A若a，b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab9已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，n，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC10(2012大纲版数学(文科)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()A B. .C. D11已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()A.B.C0D12如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60C45 D30二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上)13下列图形可用符号表示为_14正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1ABC的平面角等于_15设平面平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面，之间，AS8，BS6，CS12，则SD_.16将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角是60.其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与A1B1C1都为正三角形且AA1面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.18(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积19(12分)如图所示，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)证明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小20(本小题满分12分)(2010辽宁文，19)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值21(12分)如图，ABC中，ACBCAB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点(1)求证：GF底面ABC；(2)求证：AC平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.分析(1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥CABED.22(12分)如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值第一章 空间几何体参考答案A组一、选择题1A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台2A解析：原图形为一直角梯形，其面积S(11)223A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面44B解析：长方体的对角线是球的直径，l5，2R5，R，S4R2505C解析：正方体的对角线是外接球的直径6D解析：VV大V小r2(11.51)7D解析：设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而15252，9252，而4a2，即1525292524a2，a8，S侧面4851608D解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V232329B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变10D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.二、填空题11参考答案：5，4，3解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台12参考答案：123r1r2r31，13()3()312313参考答案：解析：画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C的交点是对角线的三等分点，三棱锥OAB1D1的高ha，VSh2a2aa3另法：三棱锥OAB1D1也可以看成三棱锥AOB1D1，它的高为AO，等腰三角形OB1D1为底面14参考答案：平行四边形或线段15参考答案：，解析：设ab，bc，ac，则V = abc，c，a，b1，l16参考答案：12解析：VShr2hR3，R12三、解答题17参考答案：V(SS)h，h7518参考答案：如图是过正方体对角面作的截面设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CCa，OCa，OCRCACOA(第18题)在RtCCO中，由勾股定理，得CC 2OC2OC 2，即 a2(a)2R2Ra，V半球a，V正方体aV半球 V正方体219参考答案：S表面S下底面S台侧面S锥侧面52(25)522(604)VV台V锥(r1r2)hr2h120 解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1Sh()24(m3)如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2Sh()28(m3)(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m棱锥的母线长为l4，仓库的表面积S18432(m2)如果按方案二，仓库的高变成8 m棱锥的母线长为l10，仓库的表面积S261060(m2)(3) 参考答案：V2V1，S2S1，方案二比方案一更加经济些详解答案1答案D2答案C解析AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条3答案C解析1直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错；2l时，在内不存在直线与l异面，D错；3l时，在内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直4答案D解析由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD90.5答案B解析对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在，使a，b，B正确；对于选项C，a，b，一定有ab，C错误；对于选项D，a，b，一定有ab，D错误6答案D解析异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，ac，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7答案D解析如图所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，则EFAA1，所以正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EFA1C1，又ACA1C1，则EFAC，所以不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面A1B1C1D1平面ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF平面ABCD，所以正确8答案D解析选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a，则a或a，则内存在直线la，又b，则bl，所以ab.9答案C解析如图所示：ABlm；ACl，mlACm；ABlAB.10答案 命题意图本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用解析首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到DFD1F，DD12，结合余弦定理得到结论11答案C解析取BC中点E，连AE、DE，可证BCAE，BCDE，AED为二面角ABCD的平面角又AEED，AD2，AED90，故选C.12答案B解析将其还原成正方体ABCDPQRS，显见PBSC，ACS为正三角形，ACS60.13答案AB14答案45解析如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，由于BCAB，BC1AB，则C1BC是二面角C1ABC的平面角又BCC1是等腰直角三角形，则C1BC45.15答案9解析如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.，ACBD，则，解得SD9.16答案解析如图所示，取BD中点，E连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正确设正方形的边长为a，则AECEa.由知AEC90是直二面角ABDC的平面角，且AEC90，ACa，ACD是等边三角形，故正确由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE45，所以不正确分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MNAB，且MNABa，MECD，且MECDa，EMN是异面直线AB，CD所成的角在RtAEC中，AECEa，ACa，NEACa.MEN是正三角形，EMN60，故正确17证明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、F1分别是AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.18解析(1)如图所示，连接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角AB4，AG2，BGAF，由题意，知PBABPF，因为sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.19解析(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，PCD为正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin60.平面PCD平面A