【创新设计】高考数学一轮复习 8.5 空间向量及其运算 理 苏教版.doc

8.5 空间向量及其运算一、填空题1给出下列命题：若ab，bc，则ac；不等式|ab|a|b|的充要条件是a与b不共线；若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，dab(、r，且0)，则cd.正确命题的序号是_解析只有命题是正确命题答案2.已知向量a =(2,-1,3), b =(-4,2,x),若ab,则x= ;若ab，则x= . 解析 a b,a b=(2-8-; 若ab,而a =(2,-1,3), b =(-4,2,x), b =-2a. 答案 -6 3以下四个命题中正确的是_(填序号)空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底abc为直角三角形的充要条件是0任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若ab、bc、ca为共面向量，则ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，则abc，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾答案4在下列条件中，使m与a、b、c一定共面的是_2；0；0；解析0，则、为共面向量，即m、a、b、c四点共面答案5给出下列四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb.若xy，则p，m，a、b共面；若p，m，a，b共面，则xy.其中真命题的序号是_解析其中为正确命题答案6已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于_解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，t，.答案7如图，已知空间四边形oabc，oboc，且aobaoc，则cos，的值为_解析设a，b，c由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.答案08如图所示，已知空间四边形oabc，其对角线为ob、ac，m、n分别为oa、 bc的中点，点g在线段mn上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_解析()()x，y，z的值分别为，.答案，9. 设r，向量，且，则解析 .答案 10.abc的顶点分别为a(1,-1,2),b(5,-6,2),c(1,3,-1),则ac边上的高bd等于_解析 设又. 则. 由 得|=5. 答案 5 11在空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，则oa与bc所成角的余弦值等于_ 解析设oa，ob，oc.设oa与bc所成的角为，则oba(cb)acaba(aa)a(aa)a2aaa2aa2416.cos .答案12已知在一个60的二面角的棱上，如图有两个点a，b，ac，bd分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于ab的线段，且ab4 cm，ac6 cm，bd8 cm，则cd的长为_解析设a，b，c由已知条件|a|8，|b|4，|c|6a，b90，b，c90，a，c60|2|2|cba|2a2b2c22ab2ac2bc68，则|2.答案2 cm13已知abcd-a1b1c1d1为正方体，给出下列四个命题：()23a1b12；()0；向量与向量的夹角是60；正方体abcd-a1b1c1d1的体积为|aa|.其中正确命题的序号是_解析设正方体的棱长为1，中()2323，故正确；中，由于ab1a1c，故正确；中a1b与ad1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|aa|0.故也不正确答案二、解答题14.已知向量=(1,-3,2), =(-2,1,1),o为原点,点a(-3,-1,4),b(-2,-2,2). (1)求|2+|; (2)在直线ab上,是否存在一点e,使得? 解析 (1)2+=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2+|. (2)假设存在一点e满足题意,即. =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2) =(-3+t,-1-t,4-2t), 若,则=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 因此存在点e,使得, 此时点e的坐标为. 15如图，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分别是ab、cd的中点 (1)求证：mnab，mncd；(2)求mn的长解析(1)设ap，aq，ar.由题意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.maa(aa)a(qrp)，ma(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.mnab，同理可证mncd.(2)由(1)可知，mn(qrp)|m2|(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|m|a，mn的长为a.16如图，在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，g为bc1d的重心， (1)试证a1、g、c三点共线；(2)试证a1c平面bc1d；(3)求点c到平面bc1d的距离解析 (1)证明因为g是bc1d的重心，所以c(cc)，所以cbcc3，即a1、g、c三点共线(2)证明设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，即ca1bc1，同理可证：ca1bd，因此a1c平面bc1d.(3)abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即c到平面bc1d的距离为a.17如图所示，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e，f，g分别是ab、ad、cd的中点，计算： (1)；(2)；(3)eg的长；(4)异面直线ag与ce所成角的余弦值解析设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，ca，a，bc，(1)(a) a2ac，(2)(ca)(bc) (bcabc2ac)；(3)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，