山东省无棣县第一实验学校八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题练习 （新版）新人教版.doc

lab13.4 课题学习题目 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向a、b两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（人教课本p42探究问题）分析 把管道l近似地看成一条直线，问题就是要在l上找一点c，使ac与cb的和最小点评 平面图形上求最短距离有两种情况：（1）若a、b在l的同侧，作对称；（2）若a、b在l的异侧，则直接连结演变变式1 如图，已知牧马营地m处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试设计出最短的牧马路线河草地营地m解 如图所示（实线）abcfem河草地营地mabcfe变式2 如图，e、f为abc的边ab、ac上的两定点，在bc上求作一点m，使mef的周长最短解 如图所示，m为所求变式3 已知，如图，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时甲站在aob内的p点，乙站在oa上的定点q，丙站在ob上且可以移动游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点p处若甲、乙、丙三人速度相同，试用尺规作图找出丙必须站在ob上的何处，使得他们完成接力所用的时间最短？（不写作法，保留作图痕迹）qbopaqbopa甲乙丙解 如图所示变式4 如图，正方形abcd的边长为4，m为cd上的点，且abcdddmndm = 1，n为ac上一动点，则dn + mn的最小值为 （答案：5）变式5 已知点p是边长为1的菱形abcd对角线ac上一个动点，点m，n分别是ab，bc边上的中点，mp + np的最小值是（ ）a2 b1 c d（答案：b）变式6 已知a（5，5），b（2，4），m是x轴上一动点，求使ma + mb最小时的点m的坐标解 点b关于x轴对称的点的坐标是b（2，4）连接ab，则ab 与x轴的交点即为所求设ab 所在直线的解析式为 y = kx + b，lpq则 解得 所以直线ab的解析式为 y = 3x10当 y = 0时，x =故所求的点为m（，0）变式7 如图，直线l是一条河，p、q两地相距8千米，它们到l的距离分别为2千米，5千米欲在l上的某点m处修建一个水泵站，向p、q两地供水现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）mlpqlpqmmlpqmlpqa b c d（答案：a）变式8 阅读并解答下列问题：（1）如图所示，直线l的两侧有a、b两点，在l上求作一点p，使ap + bp的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图a、b两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，a工厂至河堤的距离ac为1 km，b工厂至河堤的距离bd为2 km，经测量河堤上c、d两地间的距离为6 km现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使a、b两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距c地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值9111119xxlabcdlab（答案：（1）略 （2） （3）构造图形，得x = 23，y = 3）变式9 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知点a（0，2）关于直线l 的对称点a 的坐标为（2，0）请在图中分别标出点b（5，3）、c（2，5）关于直线l 的对称点b、c 的位置，然后写出它们的坐标：b ，c 运用与拓广：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，可以发现：坐标平面内任意一点p（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点p 的坐标为 （不必证明）1aabdeocylx11qaabcdeocylxbd1归纳与发现：（3）已知两点d（1，3），e（2，4）试在直线l上确定一点q，使点q到d、e两点的距离之和最小，并求出点q的坐标解 （1）如图，b（3，5）、c（5，2）（2）（b，a）（3）由（2）得，d（1，3）关于直线l 的对称点d 的坐标为（3，1），连接de交直线l 于点q，此时点q到d、e两点的距离之和最小设过d（