【创新设计】高考数学一轮复习 第一篇 集合与常用逻辑用语教案 北师大版(1).doc

第一篇集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算最新考纲1了解集合的含义、元素与集合的属于关系2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集4理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集5能使用韦恩(venn)图表达集合的关系及运算.知 识 梳 理1元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合a与集合b中的所有元素都相同ab子集a中任意一个元素均为b中的元素ab真子集a中任意一个元素均为b中的元素，且b中至少有一个元素不是a中的元素ab空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言abx|xa，或xbabx|xa，且xbuax|xu，且xa辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若x2,10,1，则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()(3)若ax|yx2，b(x，y)|yx2，则abx|xr()2对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合a，b，关系(ab)(ab)总成立()(5)(2013浙江卷改编)设集合sx|x2，tx|4x1，则stx|2x1()(6)(2013陕西卷改编)设全集为r，函数f(x)的定义域为m，则rmx|x1，或x1()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)3集合的运算性质：abbab；abaab；a(ua)u；a(ua).考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西卷)若集合axr|ax2ax10中只有一个元素，则a()a4b2c0d0或4(2)(2013山东卷)已知集合a0,1,2，则集合bxy|xa，ya中元素的个数是()a1b3c5d9解析(1)由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4.(a0不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)a(2)c规律方法集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】 已知ar，br，若a2，ab,0，则a2 014b2 014_.解析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 014b2 0141.答案1考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合ax|2x7，bx|m1x2m1，若ba，求实数m的取值范围(2)设ur，集合ax|x23x20，bx|x2(m1)xm0若(ua)b，求m的值解(1)当b时，有m12m1，则m2.当b时，若ba，如图则解得2m4.综上，m的取值范围是(，4(2)a2，1，由(ua)b，得ba，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，b.b1或b2或b1，2若b1，则m1；若b2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，b2；若b1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论【训练2】 (1)已知集合ax|x23x20，xr，bx|0x5，xn，则满足条件acb的集合c的个数为()a1b2c3d4(2)(2014九江模拟)已知集合a1,1，bx|ax10，若ba，则实数a的所有可能取值的集合为()a1b1c1,1d1,0,1解析(1)由题意知：a1,2，b1,2,3,4又acb，则集合c可能为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0时，bx|10a；a0时，ba，则1或1，故a0或a1或1.答案(1)d(2)d考点三集合的基本运算【例3】 (1)(2013山东卷)已知集合a，b均为全集u1,2，3,4的子集，且u(ab)4，b1,2，则aub()a3b4c3,4d(2)(2014唐山模拟)若集合my|y3x，集合sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是()amsmbmsscmsdms审题路线(1)aub3；(2)先分别求出集合m，s，再判断选项解析(1)由u(ab)4知ab1,2,3又b1,2，3a，ub3,4，aub3(2)my|y0，sx|x1，故选a.答案(1)a(2)a规律方法一般来讲，集合中的元素离散时，则用venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练3】 (1)已知全集u0,1,2,3,4，集合a1,2,3，b2,4，则(ua)b为()a1,2,4b2,3,4c0,2,4d0,2,3,4(2)已知全集ur，集合ax|1x3，集合bx|log2(x2)1，则a(ub)_.解析(1)ua0,4，(ua)b0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以bx|2x4故ubx|x2，或x4，从而a(ub)x|1x2答案(1)c(2)x|1x2数轴和韦恩(venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】 已知集合a1,2,3,4,5，b(x，y)|xa，ya，xya，则b中所含元素的个数为()a3b6c8d10解析法一(列表法)因为xa，ya，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：xxyy12345101234210123321012432101543210由题意xya，故xy只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即b中的元素个数为10，故选d.法二(直接法)因为a1,2,3,4,5，所以集合a中的元素都为正数，若xya，则必有xy0，xy.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案d反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】设a是整数集的一个非空子集，对于ka，如果k1a，且k1a，那么称k是a的一个“好元素”给定s1,2,3,4,5,6,7,8，由s的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()a6个b12个c9个d5个解析依题，可知由s的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案a基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013安徽卷)已知ax|x10，b2，1,0,1则(ra)b()a2，1b2c1,0,1d0,1解析因为ax|x1，则rax|x1，所以(ra)b2，1，故选a.答案a2已知集合m1,2,3，n2,3,4，则()amnbnmcmn2,3dmn1,4解析由已知得mn2,3，故选c.答案c3已知集合m0,1,2,3,4，n1,3,5，pmn，则p的子集共有()a2个b4个c6个d8个解析pmn1,3，故p的子集共有4个答案b4已知集合ax|x2x20，bx|1x1，则()aabbbacabdab解析集合ax|1x2，bx|1x1，则ba.答案b5设集合ax|x22x80，bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为()ax|x1bx|4x2cx|8x1dx|1x2解析阴影部分是arb.集合ax|4x2，rbx|x1，所以arbx|1x2答案d二、填空题6(2013湖南卷)已知集合u2,3,6,8，a2,3，b2,6,8，则(ua)b_.解析由集合的运算，可得(ua)b6,82,6,86,8答案6,87集合a0,2，a，b1，a2，若ab0,1,2,4,16，则a的值为_解析根据并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案48集合axr|x2|5中的最小整数为_解析由|x2|5，得5x25，即3x7，所以集合a中的最小整数为3.答案3三、解答题9已知集合aa2，a1，3，ba3，a2，a21，若ab3，求ab.解由ab3知，3b.又a211，故只有a3，a2可能等于3.当a33时，a0，此时a0,1，3，b3，2，1，ab1，3故a0舍去当a23时，a1，此时a1,0，3，b4，3,2，满足ab3，从而ab4，3,0,1,210设ax|x24x0，bx|x22(a1)xa210，(1)若ba，求a的值；(2)若ab，求a的值解(1)a0，4，当b时，4(a1)24(a21)8(a1)0，解得a1；当b为单元素集时，a1，此时b0符合题意；当ba时，由根与系数的关系得：解得a1.综上可知：a1或a1.(2)若ab，必有ab，由(1)知a1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1若集合a1,1，b0,2，则集合z|zxy，xa，yb中的元素的个数为()a5b4c3d2解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3.故z的值为1,1,3，故所求集合为1,1,3，共含有3个元素答案c2(2013江西七校联考)若集合mx|log2(x1)1，n，则mn()ax|1x2bx|1x3cx|0x3dx|0x2解析对于集合m,0x12，即mx|1x3；对于集合n，nx|0x2；则mnx|1x2答案a二、填空题3已知集合axr|x2|3，集合bxr|(xm)(x2)0，且ab(1，n)，则m_，n_.解析ax|5x1，因为abx|1xn，bx|(xm)(x2)0，bxr|x0，则“xab”是“xc”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析由题意得，axr|x2，abxr|x2，cxr|x2，abc.“xab”是“xc”的充要条件答案c二、填空题6(2013安康调研)“m2”是“”的充分不必要条件；一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真其中说法不正确的序号是_解析逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故错误；此命题的逆否命题为“设a，br，若a3且b3，则ab6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；，则0，解得x2，所以“x2”是“0)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解p：x28x2002x10，q：x22x1a201ax1a.pq，q/ p，x|2x10x|1ax1a故有且两个等号不同时成立，解得a9.因此，所求实数a的取值范围是9，)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()a若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数b若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数c若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数d若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题既否定题设又否定结论，故选b.答案b2设a，b都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是()aabbabca2bdab且|a|b|解析对于a，注意到ab时，；对于b，注意到ab时，可能有ab，此时；对于c，当a2b时，；对于d，当ab且|a|b|时，可能有ab，此时，综上所述，使成立的充分条件是a2b.答案c二、填空题3设nn，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析已知方程有根，由判别式164n0，解得n4，又nn，逐个分析，当n1,2时，方程没有整数根；而当n3时，方程有整数根1,3；当n4时，方程有整数根2.答案3或4三、解答题4设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解綈p是綈q的必要不充分条件，綈q綈p，且綈p/ 綈q等价于pq，且q/ p.记p：ax|4x3|1，q：bx|x2(2a1)xa(a1)0|x|axa1，则ab.从而且两个等号不同时成立，解得0a.故所求实数a的取值范围是.第3讲全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”最新考纲1了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知 识 梳 理1简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断pqp且qp或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等3全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题4命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.辨 析 感 悟1逻辑联结词的理解与应用(1)命题p且q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()(2)命题p或q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()2对命题的否定形式的理解(3)(2013长安一中质检改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”()(4)(2013延安模拟改编)命题p：存在n0n,2n01 000，则綈p：存在n n,2n1 000.()(5)(2013四川卷改编)设xz，集合a是奇数集，集合b是偶数集，若命题p：任意xa,2xb，则綈p：存在xa,2xb.()(6)已知命题p：若xy0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若xy0，则x，y中至多有一个大于0.()感悟提升1一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系如“并且”、“綊”的含义为“且”；“或者”、“”的含义为“或”；“不是”、“”的含义为“非”2两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】 设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图像关于直线x对称则下列判断正确的是()ap为真b綈q为假cp且q为假dp或q为真解析函数ysin 2x的最小正周期为，故命题p为假命题；x不是ycos x的对称轴，命题q为假命题，故p且q为假故选c.答案c规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相对，做出判断即可【训练1】 (2013湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()a(綈p)或(綈q)bp或(綈q)c(綈p)且(綈q)dp或q解析命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”选a.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p且q”的否定选a.答案a考点二含有一个量词的命题否定【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：任意xr，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x0r，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.解(1)綈p：存在x0r，xx00，假命题(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题(3)綈r：任意xr，x22x20，真命题(4)綈s：任意xr，x310，假命题规律方法对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词【训练2】 (2013西工大附中模拟)已知命题p：存在x01，x10，那么綈p是()a任意x1，x210b任意x1，x210c存在x01，x10d存在x01，x10解析特称命题的否定为全称命题，所以綈p：任意x1，x210，故选b.答案b考点三含有量词的命题的真假判断【例3】 下列四个命题p1：存在x0(0，)，x0x0；p2：存在x0(0,1)，logx0logx0；p3：任意x(0，)，xlogx；p4：任意x，xlogx.其中真命题是()ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p4解析根据幂函数的性质，对任意x(0，)，xx，故命题p1是假命题；由于logxlogx，故对任意x(0,1)，logxlogx，所以存在x0(0,1)，logx0log x0，命题p2是真命题；当x时，x1，logx1，故xlogx不成立，命题p3是假命题；任意x，x1，logx1，故xlogx，命题p4是真命题答案d规律方法对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立. 【训练3】 (2013鹰潭二模)下列命题中的真命题是()a存在xr，使得sin xcos xb任意x(0，)，exx1c存在x(，0)，2xcos x解析因为sin xcos xsin，故a错误；当x0时，y2x的图像在y3x的图像上方，故c错误；因为x时有sin xcos x，故d错误所以选b.答案b1逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真答题模板1借助逻辑联结词求解参数范围问题【典例】 (12分)已知a0，设命题p：函数yax在r上单调递增；命题q：不等式ax2ax10对任意xr恒成立若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围规范解答函数yax在r上单调递增，p：a1.不等式ax2ax10对任意xr恒成立，且a0，a24a0，解得0a4，q：0a4.(5分)“p且q”为假，“p或q”为真，p、q中必有一真一假(7分)当p真，q假时，a|a1a|a4a|a4(9分)当p假，q真时，a|0a1a|0a4a|0a1(11分)故a的取值范围是a|0a1，或a4(12分)反思感悟 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算答题模板第一步：求命题p、q对应的参数的范围第二步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”第三步：根据新命题的真假，确定参数的范围第四步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范【自主体验】(2014渭南模拟)命题p：关于x的不等式x22ax40对一切xr恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax40对一切xr恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故4a2160，2a2.又函数f(x)(32a)x是增函数，32a1，a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，则1a2；(2)若p假q真，则a2.综上可知，所求实数a的取值范围是(，21,2).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1命题“存在x0rq，xq”的否定是()a存在x0rq，xqb存在x0rq，xqc任意xrq，x3qd任意xrq，x3q解析根据特称命题的否定为全称命题知，选d.答案d2已知p：235，q：54，则下列判断正确的是()a“p或q”为真，p为假b“p且q”为假，q为真c“p且q”为假，p为假d“p且綈q”为真，“p或q”为真解析p为真，綈p为假又q为假，綈q为真，“p且綈q”为真，“p或q”为真答案d3命题：“对任意k0，方程x2xk0有实根”的否定是()a存在k0，使方程x2xk0无实根b对任意k0，方程x2xk0无实根c存在k0，使方程x2xk0无实根d存在k0，使方程x2xk0有实根解析将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k0，使方程x2xk0无实根”故选c.答案c4下列命题中的假命题是()a存在x0r，lg x00b存在x0r，tan x0c任意xr，x30d任意xr,2x0解析当x1时，lg x0，故命题“存在x0r，lg x00”是真命题；当x时，tan x，故命题“存在x0r，tan x0”是真命题；由于x1时，x30，故命题“任意xr，x30”是假命题；根据指数函数的性质，对任意xr,2x0，故命题“任意xr,2x0”是真命题答案c5已知命题p1：函数y2x2x在r上为增函数，p2：函数y2x2x在r上为减函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(綈p1)或p2和q4：p1且(綈p2)中，真命题是()aq1，q3bq2，q3cq1，q4dq2，q4解析命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真答案c