【创新设计】高考数学一轮复习 第八章 第1讲 空间几何体的三视图 直观图 表面积知识点 新人教A版 .doc

第1讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)；5.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式知 识 梳 理1空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱s侧2rhvshr2h圆锥s侧rlvshr2hr2圆台s侧(r1r2)lv(s上s下)h(rrr1r2)h直棱柱s侧chvsh正棱锥s侧chvsh正棱台s侧(cc)hv(s上s下)h球s球面4r2vr35.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(4)圆柱的侧面展开图是矩形()2(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()a圆柱 b圆锥 c四面体 d三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选a.答案a3以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()a2 b c2 d1解析由题意得圆柱的底面半径r1，母线l1.所以圆柱的侧面积s2rl2，故选a.答案a4(2014浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是()a90 cm2 b129 cm2 c132 cm2 d138 cm2解析由三视图画出几何体的直观图，如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积s(463634)2333424353138(cm2)，选d.答案d5(人教a必修2p28练习2改编)一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_cm3.解析由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径r2(cm)，v球r334(cm3)答案4考点一空间几何体的三视图与直观图【例1】 (1)(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()a和 b和c和 d和(2)正aob的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xoy，则它的直观图的面积是_解析(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设a(0，0，2)，b(2，2，0)，c(1，2，1)，d(2，2，2)，则abcd即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选d.(2)画出坐标系xoy，作出oab的直观图oab(如图)d为oa的中点易知dbdb(d为oa的中点)，soabsoaba2a2.答案(1)d(2)a2规律方法(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽即“长对正，宽相等，高平齐”(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系【训练1】 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()a棱柱 b棱台c圆柱 d圆台(2)如图，矩形oabc是水平放置的一个平面图形的直观图，其中oa6 cm，cd2 cm，则原图形是()a正方形 b矩形c菱形 d一般的平行四边形解析(1)(排除法)由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项c；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项a，b，故选d.(2)如图，在原图形oabc中，应有od2od224(cm)，cdcd2 cm.oc6(cm)，oaoc，故四边形oabc是菱形答案(1)d(2)c考点二空间几何体的表面积【例2】 (1)(2014安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()a21b18c21d18(2)(2014大纲全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()a. b16c9 d.解析(1)由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分(如图所示)，其表面积为s6462()221.(2)易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(4r)2()2r2，解得r，所以球的表面积为4，故选a.答案(1)a(2)a规律方法(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【训练2】 (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()aa2 b.a2c.a2 d5a2(2)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为_解析(1)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设o，o1分别为下、上底面中心，且球心o2为o1o的中点，又ada，aoa，oo2，设球的半径为r，则r2aoao2ooa2a2a2.所以s球4r24a2a2.(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为s1222(12)2(24)3.答案(1)b(2)3考点三空间几何体的体积【例3】 (1)正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，d为bc中点，则三棱锥ab1dc1的体积为()a3 b.c1 d.(2)(2014辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()a82 b8 c8 d8解析(1)如图，在正abc中，d为bc中点，则有adab，又平面bb1c1c平面abc，adbc，ad平面abc，由面面垂直的性质定理可得ad平面bb1c1c，即ad为三棱锥ab1dc1的底面b1dc1上的高vab1dc1sb1dc1ad21，故选c.(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱，所以该几何体的体积为2321228.答案(1)c(2)b规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【训练3】 (1)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1与侧面bcc1b1的距离为2，侧面bcc1b1的面积为4，此三棱柱abca1b1c1的体积为_(2)(2014湖南卷改编)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于()a. b. c36 d.解析(1)(补形法)将三棱柱补成四棱柱，如图所示记a1到平面bcc1b1的距离为d，则d2.则v三棱柱v四棱柱s四边形bcc1b1d424.第(1)题解析图第(2)题解析图(2)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中ac6，bc8，acb90，则ab10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大即r2，故能得到的最大球的体积为r38，故选b.答案(1)4(2)b 微型专题空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题将空间几何体表面进行展开是化解该难点的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可【例4】 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab3，bc4，cc15，则沿着长方体表面从a到c1的最短路线长为_点拨求几何体表面上两点间的最短距离，可以将几何体的侧面展开，利用平面内两点之间线段最短来解答解析在长方体的表面上从a到c1有三种不同的展开图(1)将平面add1a1绕着a1d1折起，得到的平面图形如图1所示则ab1538，b1c14，连接ac1，在rtab1c1中，ac14.(2)将平面abb1a1绕着a1b1折起，得到的平面图形如图2所示则bc1549，ab3，连接ac1，在rtabc1中，ac13.(3)将平面add1a1绕着dd1折起，得到的平面图形如图3所示则ac437，cc15，连接ac1，在rtacc1中，ac1.显然43，故沿着长方体表面从a到c1的最短路线长为.答案点评本题的难点在于如何将长方体的表面展开，将其表面上的最短距离转化为平面内两点间距离来解决因为长方体的表面展开图形状比较多，其表面展开图因展开的方式不同，会得到不同的结果，应将这些结果再进行比较才能确定最值本题易出现的问题是只利用一种表面展开图得出数据就误以为是最小值思想方法1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状3与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径易错防范1台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行2同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同3在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线4对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算5在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变，平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形答案b2(2015合肥质量检测)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()a124 b188c28 d208解析由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为22242242208，故选d.答案d3.(2014福州模拟)如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为()a. b.c. d.解析三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为.答案a4(2014四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()a3 b2c. d1解析由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形由侧视图可知，三棱锥的高为.故该三棱锥的体积v21.答案d5(2014新课标全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()a6 b4c6 d4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥abcd，最长的棱为ad6，选c.答案c二、填空题6.如图所示，e，f分别为正方体abcda1b1c1d1的面add1a1、面bcc1b1的中心，则四边形bfd1e在该正方体的面上的正投影可能是_(填序号)解析由正投影的定义，四边形bfd1e在面aa1d1d与面bb1c1c上的正投影是图；其在面abb1a1与面dcc1d1上的正投影是图；其在面abcd与面a1b1c1d1上的正投影也是，故错误答案7(2014山东卷)在三棱锥pabc中，d，e分别为pb，pc的中点，记三棱锥dabe的体积为v1，pabc的体积为v2，则_解析如图，设点c到平面pab的距离为h，pab的面积为s，则v2sh，v1veadbshsh，所以.答案8已知三棱锥abcd的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析如图，构造正方体andmfbec.因为三棱锥abcd的所有棱长都为，所以正方体andmfbec的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥abcd的外接球就是正方体andmfbec的外接球，所以三棱锥abcd的外接球的半径为.所以三棱锥abcd的外接球的表面积为s球43.答案3三、解答题9如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积解(1)正六棱锥(2)其侧视图如图，其中abac，adbc，且bc的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即bca，ad的长是正六棱锥的高，即ada，该平面图形的面积s aaa2.(3)v6a2aa3.10如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ac1及直三棱柱b1c1qa1d1p的组合体由pa1pd1 cm，a1d1ad2 cm，可得pa1pd1.故所求几何体的表面积s522222()2224(cm2)，体积v23()2210(cm3)能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2015成都诊断)如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为()a7 cm2 b8 cm2 c9 cm2 d11 cm2解析依题意，题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分，其中该圆柱的底面半径是1 cm、高是3 cm，该球的半径是1 cm，因此该几何体表面积等于(412)122139(cm2)，故选c.答案c12已知球的直径sc4，a，b是该球球面上的两点，ab，ascbsc30，则棱锥sabc的体积为()a3 b2c. d1解析由题意知，如图所示，在棱锥sabc中，sac，sbc都是有一个角为30的直角三角形，其中ab，sc4，所以sasb2，acbc2，作bdsc于d点，连接ad，易证sc平面abd，因此v()24.答案c13(2014云南统一检测)已知球o的体积等于，如果长方体的八个顶点都在球o的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于_解析由球o的体积为r3，得球o的半径r.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2y2z2(2r)225，所以该长方体的表面积2xy2xz2yz2(x2y2z2)50，当且仅当xyz时取等号，所以表面积的最大值为50.答案5014如图1，在直角梯形abcd中，adc90，cdab，ab4，adcd2，将adc沿ac折起，使平面adc平面abc，得到几何体dabc，如图2所示(1)求证：bc平面acd；(2)求几何体dabc的体积(1)证明在题图中，可得acbc2，从而ac2bc2ab2，故acbc，又平面adc平面abc，平面adc平面abcac，bc平面abc，bc平面acd.(2)解由(1)可知，bc为三棱锥bacd的高，bc2，sacd2，vbacdsacdbc22，由等体积性可知，几何体dabc的体积为.第2讲空间点、线、面的位置关系 最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题知 识 梳 理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)梯形可以确定一个平面()(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面()(3)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad.()(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线()2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()a一定是异面直线 b一定是相交直线c不可能是平行直线 d不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾答案c3下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合a0 b1 c2 d3解析经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说明三个交点是否共线，不正确答案c4(2014广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()al1l4bl1l4cl1与l4既不垂直也不平行dl1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体abcda1b1c1d1，取l1为ad，l2为aa1，l3为a1b1，当取l4为b1c1时，l1l4，当取l4为bb1时，l1l4，故排除a，b，c，选d.答案d5(2015成都诊断)在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱a1b1，a1d1的中点，则a1b与ef所成角的大小为_解析如图，连接b1d1，d1c，b1c.由题意知ef是a1b1d1的中位线，所以efb1d1，又a1bd1c，即b1d1c(或其补角)为异面直线a1b与ef所成的角因为d1b1c为正三角形，所以b1d1c.故a1b与ef所成角的大小为.答案考点一平面基本性质的应用【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a，b，c，d共面，点a，b，c，e共面，则a，b，c，d，e共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面a0 b1c2 d3(2)在正方体abcda1b1c1d1中，p，q，r分别是ab，ad，b1c1的中点，那么正方体的过p，q，r的截面图形是()a三角形 b四边形c五边形 d六边形解析(1)正确，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；不正确，从条件看出两平面有三个公共点a，b，c，但是若a，b，c共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形(2)如图所示，作rgpq交c1d1于g，连接qp并延长与cb延长线交于m，且qp反向延长线与cd延长线交于n，连接mr交bb1于e，连接pe，则pe，re为截面与正方体的交线，同理连接ng交dd1于f，连接qf，fg，则qf，fg为截面与正方体的交线，截面为六边形pqfgre.答案(1)b(2)d规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置【训练1】 如图所示是正方体和正四面体，p，q，r，s分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_解析可证中的四边形pqrs为梯形；中，如图所示，取a1a和bc的中点分别为m，n，可证明pmqnrs为平面图形，且pmqnrs为正六边形；中，可证四边形pqrs为平行四边形；中，可证q点所在棱与面prs平行，因此，p，q，r，s四点不共面答案考点二空间两条直线的位置关系【例2】 如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n分别为de，be，ef，ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析把正四面体的平面展开图还原如图所示，gh与ef为异面直线，bd与mn为异面直线，gh与mn成60角，demn.答案规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【训练2】 (1)(2014余姚模拟)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列说法错误的是()amn与cc1垂直bmn与ac垂直cmn与bd平行dmn与a1b1平行(2)在图中，g，h，m，n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh，mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析(1)如图，连接c1d，bd，ac，在c1db中，mnbd，故c正确；cc1平面abcd，cc1bd，mn与cc1垂直，故a正确；acbd，mnbd，mn与ac垂直，故b正确；a1b1与bd异面，mnbd，mn与a1b1不可能平行，故d错误，选d.(2)图中，直线ghmn；图中，g，h，n三点共面，但m面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g，m，n共面，但h面gmn，因此gh与mn异面所以在图中gh与mn异面答案(1)d(2)考点三求异面直线所成的角【例3】 如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，dab60，对角线ac与bd交于点o，po平面abcd，pb与平面abcd所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若e是pb的中点，求异面直线de与pa所成角的余弦值解(1)在四棱锥pabcd中，po面abcd，pbo是pb与面abcd所成的角，即pbo60，在rtabo中，ab2，oab30，boabsin 301，po面abcd，ob面abcd，poob，在rtpob中，pobotan 60，底面菱形的面积s2222.四棱锥pabcd的体积vpabcd22.(2)取ab的中点f，连接ef，df，e为pb中点，efpa，def为异面直线de与pa所成角(或其补角)在rtaob中，aoabcos 30op，在rtpoa中，pa，ef.在正abd和正pdb中，dfde，在def中，由余弦定理，得cosdef.即异面直线de与pa所成角的余弦值为.规律方法求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移【训练3】 (2014潍坊一模)已知在三棱锥abcd中，abcd，且点m，n分别是bc，ad的中点(1)若直线ab与cd所成的角为60，则直线ab和mn所成的角为_(2)若直线abcd，则直线ab与mn所成的角为_深度思考求异面直线所成的角常采用“平移直线法”，你是不是用的这种方法？但还可以有一种不错的方法：补形法将该三椎锥放在长方体中，不妨用这种方法试一试本题第(1)问？解析(1)法一如图，取ac的中点p，连接pm，pn，则pmab，且pmab，pncd，且pncd，所以mpn(或其补角)为ab与cd所成的角则mpn60或mpn120，若mpn60，因为pmab，所以pmn(或其补角)是ab与mn所成的角又因为abcd，所以pmpn，则pmn是等边三角形，所以pmn60，即ab与mn所成的角为60.若mpn120，则易知pmn是等腰三角形所以pmn30，即ab与mn所成的角为30.综上直线ab和mn所成的角为60或30.法二由abcd，可以把该三棱锥放在长方体aa1bb1c1cd1d中进行考虑，如图，由m，n分别是bc，ad的中点，所以mnaa1，即baa1(或其补角)为ab与mn所成的角连接a1b1交ab于o，所以a1b1cd，即aoa1(或其补角)为ab与cd所成的角所以aoa160或120，由矩形aa1bb1的性质可得baa160或30.所以直线ab和mn所成的角为60或30.(2)取ac的中点p，连接pm，pn，则pm綉ab，所以mpn(或其补角)为ab与cd所成的角，由于abcd，所以mpn90.又abcd，所以pmpn，从而pmn45，即ab与mn所成的角为45.答案(1)60或30(2)45思想方法1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解易错防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是.4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()a一定平行b一定相交c一定是异面直线d平行、相交、是异面直线都有可能解析当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交答案d2(2014江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()a相交或平行 b相交或异面c平行或异面 d相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选d.答案d3l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故a不正确；l1l2，l2l3l1l3，故b正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故c不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故d不正确答案b4(2014三亚一模)在空间四边形abcd中，abcd，adbc，abad，m，n分别是对角线ac与bd的中点，则mn与()aac，bd之一垂直 bac，bd都垂直cac，bd都不垂直 dac，bd不一定垂直解析连接an，cn，adbc，abcd，bdbd，abdcdb，则ancn，在等腰anc中，由m为ac的中点知mnac.同理可证mnbd.故选b.答案b5(2014深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()a两条相交直线 b两条平行直线c两个点 d一条直线和直线外一点解析如图，在正方体abcdefgh中，m，n分别为bf，dh的中点，连接mn，de，cf，eg.当异面直线为eg，mn所在直线时，它们在底面abcd内的射影为两条相交直线；当异面直线为de，gf所在直线时，它们在底面abcd内的射影分别为ad，bc，是两条平行直线；当异面直线为de，bf所在直线时，它们在底面abcd内的射影分别为ad和点b，是一条直线和一个点，故选c.答案c二、填空题6平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面答案1或47如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对解析如图所示，与ab异面的直线有b1c1，cc1，a1d1，dd1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案248.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱c1d1，c1c的中点，有以下四个结论：直线am与cc1是相交直线；直线am与bn是平行直线；直线bn与mb1是异面直线；直线am与dd1是异面直线其中正确的结论为_解析a，m，c1三点共面，且在平面ad1c1b中，但c平面ad1c1b，因此直线am与cc1是异面直线，同理am与bn也是异面直线，am与dd1也是异面直线，错，正确；m，b，b1三点共面，且在平面mbb1中，但n平面mbb1，因此直线bn与mb1是异面直线，正确答案三、解答题9.如图，四边形abef和abcd都是直角梯形，badfab90，bc綉ad，be綉fa，g，h分别为fa，fd的中点(1)证明：四边形bchg是平行四边形；(2)c，d，f，e四点是否共面？为什么？(1)证明由已知fgga，fhhd，可得gh綉ad.又bc綉ad，gh綉bc，四边形bchg为平行四边形(2)解由be綉af，g为fa中点知，be綉fg，四边形befg为平行四边形，efbg.由(1)知bg綉ch，efch，ef与ch共面又dfh，c，d，f，e四点共面10如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，oa底面abcd，oa2，m为oa的中点(1)求四棱锥oabcd的体积；(2)求异面直线oc与md所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形abcd的面积s4，所以，四棱锥oabcd的体积v42.(2)如图，连接ac，设线段ac的中点为e，连接me，de，则emd(或其补角)为异面直线oc与md所成的角，由已知，可得de，em，md，()2()2()2，dem为直角三角形，tanemd.故异面直线oc与md所成角的正切值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2015长春一模)一个正方体的展开图如图所示，a，b，c，d为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()aabcd bab与cd相交cabcd dab与cd所成的角为60解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项a，b，c不正确图2中，becd，abe为ab与cd所成的角，abe为等边三角形，abe60，正确选项为d.答案d12(2014北京西城区模拟)如图所示，在空间四边形abcd中，点e，h分别是边ab，ad的中点，点f，g分别是边bc，cd上的点，且，则()aef与gh平行bef与gh异面cef与gh的交点m可能在直线ac上，也可能不在直线ac上def与gh的交点m一定在直线ac上解析依题意，可得ehbd，fgbd，故ehfg，所以e，f，g，h共面因为ehbd，fgbd，故ehfg，所以efgh是梯形，ef与gh必相交，设交点为m.因为点m在ef上，故点m在平面acb上同理，点m在平面acd上，即点m是平面acb与平面acd的交点，而ac是这两个平面的交线，所以点m一定在直线ac上答案d13四棱锥pabcd的所有侧棱长都为，底面abcd是边长为2的正方形，则cd与pa所成角的余弦值为_解析因为四边形abcd为正方形，故cdab，则cd与pa所成的角即为ab与pa所成的角，即为pab.在pab内，pbpa，ab2，利用余弦定理可知cospab.答案14.如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e，c，d1，f四点共面；(2)ce，d1f，da三线共点证明(1)连接ef，cd1，a1b.e，f分别是ab，aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e，c，d1，f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da.ce，d1f，da三线共点.第3讲直线、平面平行的判定与性质最新考纲1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平