§2 实数完备性的基本定理.doc

2 实数完备性的基本定理 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。 2.1 实数基本定理的陈述1. 确界存在原理 定理1.2.1 非空有上界数集必有上确界(非空有下界数集必有下确界) 2. 单调有界原理 定理2.1.8 单调有界数列必收敛3. Cantor闭区间套准则定义2.1(区间套) 设是一闭区间序列. 若满足条件(1) 对, 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; (2) . 即当时区间长度趋于零。则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套。简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。区间套还可表达为 。我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减。例2.1 和都是区间套. 但、和 都不是。 定理2.1(Cantor区间套准则) 设是一闭区间套。 则存在唯一的点，使对有。 简言之, 区间套必有唯一公共点。推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有。推论2 若是区间套确定的公共点, 则有单增且收敛于，同时单减且收敛于，。 4. Cauchy收敛准则 数列收敛的充要条件 定理2.1.9(Cauchy收敛准则) 数列收敛 是Cauchy列。证 上节3证必要性，现证充分性：根据假设，对任给的，总存在自然数，对一切，都有，即在区间内含有中除掉有限项外几乎所有的项。 据此，令，则存在，在区间上含有中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为。 再令，则存在，在上含有中除有限项外几乎所有项。记，它也含有中有限项外几乎所有的项，且和。照以上的方法，依次令，得一闭区间列，它的每个区间都含有中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件 从而由区间套定理知，存在唯一一个数，现在证明这个就是数列的极限。因为对任给，由定理2.1推论知存在自然数，当时，便有 。因此在内就含有中除有限项外几乎所有的项，这就证得。5. Weierstrass聚点原理 定义2.2(数集的聚点,亦称为接触点) 设是无穷点集。若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点。例2.2 数集=有唯一聚点, 但；开区间 的全体聚点之集是闭区间 ; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间。 定理2.3(Weierstrass聚点原理) 每一个有界无穷点集必有聚点。6. Bolzano致密性定理 定理2.2 (Bolzano致密性定理) 任一有界数列必有收敛子列。 7. HeineBorel有限复盖定理定义2.3 设是一个数集 , 是区间族。 若对, 则称区间族覆盖了, 或称区间族是数集的一个覆盖。 记为。若指标集仅有有限个元素，则称区间族是数集的一个有限覆盖。若区间族的子集族覆盖了数集，则称此子集族为数集的覆盖的子覆盖。若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族。 开区间族常记为。定义2.4(开覆盖) 数集的一个开区间族覆盖称为的一个开覆盖, 简称为的一个覆盖。若 中的开区间的个数是无限的，则称为的一个无限开覆盖。若中的开区间个数是有限的，则称为的一个有限开覆盖。例2.3 覆盖了区间, 但不能覆盖;覆盖, 但不能覆盖。 定理2.4(HeineBorel有限复盖定理) 闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖。2.2 实数基本定理等价性的证明 我们注意到，实数完备性基本定理等价性的证明，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。证明七个实数基本定理等价性的路线:确界原理 单调有界原理 Contor区间套定理 Cauchy收敛准则 Weierstrass聚点原理 Bolzano致密性定理 HeineBorel 有限复盖定理 确界原理。确界原理单调有界原理 证明 参见定理2.1.8的证明。单调有界原理Contor区间套定理 证明 因为，所以有 从而可见数列单增有上界，数列单减有下界故由单调有界定理可知 使得, 使得,且有有，所以 ，于是成立 。又因为，所以。记，从而存在性得证。 假设不唯一，即存在，则仿上面易得。Contor区间套定理Cauchy收敛准则 证明 上节已经证明了Cauchy收敛准则的必要性，在此只需证明充分性。证法一 设为Cauchy列，即，有 。 (1)先证明，Cauchy列有界：事实上，在(1)中取，就可知。其次，我们用Cantor区间套定理找出的一个收敛的子列如下：定义闭区间具有性质 含有数列的无限项。Step(1): 由有界性知，闭区间具有性质。从中任取一项作为。易得。 Step(2): 将对半分为两个闭区间和， 则其中至少有一个闭区间具有性质，不妨记此区间为。易知中仍含有数列的无限项。从中任取一项作为。易得。 Step(k): 将对半分为两个闭区间和，则其中至少有一个闭区间具有性质，不妨记此区间为。易知中仍含有数列的无限项。从中任取一项作为。易得。由此可得一闭区间套满足(i) ； (ii) ； (iii) 。由闭区间套定理可知存在唯一的。且。现在，我们可以证明。事实上，由知，有 。 (2)于是，由(1)和(2)知， 。至此，我们完成了Cauchy收敛准则的充分性证明。 证毕 证法二 设为Cauchy基本列，即有 ，即。定义性质 有。则 Step(1): 令，则使得具有性质，不妨记此区间为。 Step(2): 令， 则使得具有，不妨记此区间为。 Step(k): 令，则 使得具有，不妨记此区间为。由此可得一闭区间套满足(i) ; (ii) ; (iii) 具有性质，即含有某个后的所有项。由闭区间套定理可知存在唯一的。从而。Cauchy收敛准则Weierstrass聚点原理 证明 设为直线上有界点集，则使得。 定义性质 至少含有中的无限多个点。 利用二等分法容易构造出具有性质的区间套满足： 。 (3)由性质任意挑选中不同的点构成的数列使得。，由(3)和极限定义知， 有 。由定义知是Cauchy列。由Cauchy收敛准则知， 使得 。从而可知即为的一个聚点。Weierstrass聚点原理Bolzano致密性定理 证明 设为有界无穷数列(若有无限多相等的项，则命题显然成立)。由Weierstrass聚点原理知，至少有一个聚点，则由聚点的定义： Step(1) 令 ，则且。Step(2) 令 且 。 Step(k) 令 且 。从而得到的子列使得当时有。即。故 。Bolzano致密性定理HeineBorel有限复盖定理 证明(反证法) 假设区间不能被开覆盖有限覆盖。定义性质 不能被有限个开区间覆盖。 利用二等分法容易得到一个具有性质的区间套满足 (3) 。由于都是有界数列，故由Bolzano致密性定理知，存在子列，使得 ，。由(3)易证。从而，使得有。从而，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。HeineBorel有限复盖定理确界原理 证明 设是有上界的非空数集，则使得有，取，得到区间 。反证法，假设没有上确界，则，使得满足条件：若是的上界，那么中的点都是的上界；若是中的点