5概率论与数理统计.ppt

1 概率论与数理统计 五 王柱2013 03 13 2 定义 随机试验E 样本空间 e 如果 对于每个e 都有一个实数X e 与之对应 这样就得到一个定义在 上的单值实函数X X e 称为随机变量 对于任意的实数集合L X L 表示事件 e X e L 又若 A P 为概率空间 令PX L P e X e L 则 R PX 也为概率空间 在其上令X X x x 也是随机变量 注意X与X 取值的概率情况相同 3 随机变量的特性 1 随试验的结果而取不同的值 2 试验前 能知道它可能的取值范围 却不能预知它确切的取值 3 取值有一定的概率 4 定义域为样本空间S 值域 R 4 定义 离散随机变量 它全部可能取到的值是有限个或可列无限个 显然 掌握一个离散随机变量X的统计规律 必需且只需知道 X的所有可能取的值 以及取每一个可能值的概率 设 离散随机变量可能取的值为xk k 1 2 称为离散型随机变量的概率分布或分布律 X取可能值的概率为pk P X xk k 1 2 5 显然 离散型随机变量的概率分布或分布律 满足1 Pk 0 k 1 2 2 反之 满足这两点的 pk 叫概率函数 它一定是某个离散型随机变量的概率分布或分布律 6 0 0 1 分布 定义 随机变量X只可能取0或1两个值 它的分布律是P X k pkq 1 k k 0 1 0 p 1 称此X为服从 0 1 分布 例如 性别 合格 扔币 标准 7 1 贝努利试验的二项分布 将随机试验E重复进行n次 若每次试验的结果互不影响 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果 则称这n次试验是相互独立的 设试验E只有两个可能结果A和Ac P A p P Ac 1 p q 0 p 1 将该试验E独立的重复进行n次 则称这串重复的独立试验为n重贝努利 Bernoulli 试验 简称贝努利试验 8 若 X为n重贝努利试验中事件A发生的次数 则X为随机变量 它所有可能取的值为0 1 2 n 取这些可能值的概率为pk P X k Cnkpkq n k k 0 1 2 n 这正好是 p q n的二项展开式中出现pk的项 故 称此X为服从参数为n p的二项分布 记为X B n p 9 2 几何分布 若 随机变量X 它所有可能取的值为1 2 3 取这些可能值的概率为 则称随机变量X服从几何分布 前已证明 在独立试验序列中 第k次试验首次出现 成功 的概率服从几何分布 10 3 超几何分布 设一堆同类产品共个 其中有个不合格品 现从中任取个 假定 则这个产品中所含的不合格品数是一个离散型随机变量 的概率分布如下 这里 这个概率分布称为超几何分布 11 4 泊松分布 若 随机变量X 它所有可能取的值为0 1 2 取这些可能值的概率为pk P X k ke k k 0 1 2 其中 0是常数 则称X为服从参数为 的泊松分布 记为X 例 呼叫次数 印刷错误 遗失信件 急诊人数 交通事故数 粒子计数 12 超几何分布与二项分布的关系 已经证明 若当时 不变 则 13 泊松定理 0是一常数 n是任意正整数 设npn 则对于任意固定的非负整数k 有 注意 定理的条件npn 意味着当n很大时pn必定很小 因此 当n很大 p很小时 右边 为 左边 的近似式 14 已知一电话总机每分钟收到传呼次数为一随机变量 服从的泊松分布 求 1 每分钟恰有8次传呼的概率 2 每分钟传呼次数大于8的概率 解 例05 1 15 已知某自动机床产品的次品率为0 001 从产品中任取5000个 求这5000个产品中次品超过5的概率 解 设5000个产品中次品数为 则 于是所求概率 如果直接按二项分布公式计算 计算量很大 由于很大 很小 这时不很大 可以利用泊松定理 可得 例05 2 16 某人进行射击 设每次射击命中率为0 02 独立射击400次 求至少击中两次的概率 P X 1 1 P X 0 P X 1 1 0 98 400 400 0 02 0 98 399 np 8 P X 1 1 P X 0 P X 1 1 e 8 8e 8 0 997 1 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小 但只要试验次数很多 而且试验是独立地进行的 那末这一事件的发生几乎是肯定的 2 如果射手在400次射击中 击中目标的次数竟不到两次 我们将怀疑 假设 的正确性 即认为该射手射击的命中率达不到0 02 查指数函数表得0 000335 例05 3 17 由 假设 推导出 小概率事件 再由此 小概率事件 的发生就可以推断 假设 不成立 统计推断原理 18 例5 为了保证设备正常工作 需配备适量的维修工人 现有同类型设备300台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0 01 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理 问至少需要配备多少工人 才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0 01 解 设需配备的维修工人数N 同一时刻发生故障的设备台数为X 则 X b 300 0 01 所需的N满足P X0 99 np 3 用泊松近似 查 泊松分布表 N 1 9 例05 4 19 例6 现有同类型设备80台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0 01 一台设备的故障能由一个人来处理 考虑两种配备维修工人的办法 其一是由4人维护 每人负责20台 其二是由3人共同维护80台 是比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率之大小 X 第i人维护的20台中同时发生故障的台数 X b 20 0 01 Ai 第i人维护的20台中发生故障不能及时维修 X 1 Y 80台中同时发生故障的台数 Y b 80 0 01 Y 3 np 0 2近似得 P 0 0175 np 0 8近似得 P 0 0091 例05 5 20 2 2 3随机变量的分布函数 称为X的分布函数 X的分布函数F x 是普通的函数 表示X落在区间 x 上的概率 X的分布函数F x 的性质 10F x 是一个不减函数 200 F x 1 且左无穷远点为0 右无穷远点为1 30F x 0 F x 即F x 是右连续的 且间断点最多有可列个 定义2 3 1 X为一个随机变量 x是任意实数 函数 21 实际上 令P x F x 则 R P 为一个概率空间 反之 一个函数F x 有性质 10F x 是一个不减函数 200 F x 1 且左无穷远点为0 右无穷远点为1 30F x 0 F x 即F x 是右连续的 且间断点最多有可列个 对任意实数x 定义X x x 则其为一个随机变量 其分布函数是F x 22 例2 3 1设随机变量的分布律为 求的分布函数 并求 解由概率的可加性 得所求分布函数为 例05 6 23 F x P X x 为阶梯函数 跳跃点在xk处 跃度为pk 24 一般离散型随机变量的分布函数 X可能取的值是xk k 1 2 X取可能值的概率是pk P X xk k 1 2 因为有 这里和式是对所有满足的求和 这时的分布函数为阶梯函数 跳跃点在xk处 且最多有可列个 跃度为pk 设离散型随机变量的分布律为 25 2 3连续型随机变量的概率密度 则称X为连续型随机变量 其中f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度 定义2 3 1 随机变量X分布函数F x 存在非负函数f x 对于任意实数x 有F x 为f x 在区间 x 上的积分 注意 这时F x 为连续函数 1 0 26 概率密度f x 的性质 10f x 是一个非负函数 30P x1 X x2 F x2 F x1 f x 在区间 x1x2 上的积分 40若f x 在点x处连续 则F x f x 20f x 在全区间上的积分为1 x1x2 0 27 例2 4 1 随机变量X的概率密度函数为 1 确定系数 2 求相应的分布函数 3 求概率 解 由 例05 7 28 求落在区间上的概率 用概率密度函数计算 用分布函数计算 29 特别需要指出的是 对于连续型随机变量来说 它取任一指定实数值的概率为零 即 由 在上面不等式中令 并注意到为连续型随机变量 其分布函数是连续的 即得 因此 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时 可以不必分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间 例如有 虽然P X a 0 但 X a 并非是空集 不可能事件 A空 则P A 0 但P A 0不能得出A空 30 1 连续型随机变量X一定具有概率密度fX x x 2 反之 有一个非负可积函数f x 其在全区间上的积分为1 则它一定是某个连续型随机变量X的概率密度函数 实际上 令FX x 为该f x 特定的一个原函数 FX 1 记P x1 X x2 FX x2 FX x1 则 R P 为概率空间 随机变量X x x的概率密度函数为该f x 31 1 均匀分布 定义 随机变量X的概率密度函数为f x 1 b a a x b 0 其它 则称此X在区间 a b 上服从均匀分布 几何概率 32 在区间 a b 上服从均匀分布的分布函数为 F x 0 x a x a b a a x b 1 b x 33 例2 4 2某汽车总站每隔3分钟发一趟车 乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的 则乘客的候车时间在区间上服从均匀分布 求乘客候车时间不超过2分钟的概率 解 的概率密度函数为 所求概率为 例05 8 34 其概率密度函数与分布函数图为 一般 若随机变量X的概率密度函数为 则称此X为服从参数为的指数分布 分布函数为 参数 1 3的指数分布 2 指数分布 35 例2 4 3设顾客按平均每小时20人的近似泊松过程到达商店 求店主等候第一位顾客到达所需时间超过5分钟的概率 解 以随机变量X表示按分钟计算的等候时间 则其概率密度函数为参数的下式 所求概率为 例05 9 36 3 正态分布 若 连续型随机变量X的概率密度函数为 f x 2 2 0 5exp x 2 2 2 其中 0 为常数 称服从参数为 的正态分布 记为N 2 37 正态分布的分布函数为 正态分布的密度函数为 38 解释密度函数的图形 1 曲线关于x 对称 2 曲线在x 处取到最大值 3 曲线在x 处有拐点 并以x轴为渐近线 4 固定 曲线以 位置参数 5 固定 越小曲线越高越尖 特别 当 0 1时称X服从标准正态分布 此时 概率密度记为 x 分布函