3概率论与数理统计.ppt

1 概率论与数理统计 三 王柱2013 03 04 2 复习 一 随机试验 随机试验的特点 1 能在相同条件下重复进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并能事先明确试验的所有可能结果 3 但每次试验之前 不可能事先确定那一个试验结果会出现 3 二 样本空间 三 随机事件 随机试验E的所有可能结果组成的集合S称为E的样本空间 E的每个结果称为E的样本点 试验E的样本空间 的子集合称为E的随机事件 一个样本点组成的单点集 称为基本事件 样本空间 包含所有的样本点 称为必然事件 空集不包含任何的样本点 称为不可能事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 则称这一事件发生 4 四 事件的关系与运算一览 包含关系 相等关系 并事件 交事件 补事件 差事件 相交关系 互斥关系 对立关系 5 运算原理 交换结合分配对偶 6 1 P A 0 非负性 2 P 1 完全性 3 可列可加性 加法公式 A P 称为概率空间 是指 在随机试验E的样本空间 上 对每个事件A A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 如果这个集合函数P 满足下列条件 即可列个Ai i 1 2 则有 五 概率的定义 7 样本空间 S P A k n n为样本空间S中基本事件的总数 k为事件A中包含基本事件的个数 显然 P A k n 0 P S n n 1 有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空 有穷可加 可列可加 此时P ei 1 n 确为概率空间 因此 A P 称为等可能概型 古典概型 1 2 3 五 1 等可能概型 古典概型 定义 8 五 2 几何概率符合概率的数学定义 几何频率也有性质 假设区域以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的 其度量的大小分别用和表示 事件A A发生的概率取为称为几何概率 1 0 P A 1 2 P S 1 3 若A1 A2 是两两不相容的事件 则 1 度量 是欧式空间的距离形成的 度量 有此性质 2 区域S的 度量 是有界的 3 事件A是 由小区域经过最多可列个集合运算得到的 9 五 3 我们回忆 在一定的条件下 重复做n次试验 na为n次试验中事件A发生的次数 如果随着n逐渐增大 频率na n逐渐稳定在某一数值p附近 则数值p称为事件A在该条件下发生的概率 记做 这个定义称为概率的统计定义 由于频率na n和等可能的比例一样具有 非负性 完全性 可列可加性 因此 其逐渐稳定的数值也具有此三性 从而这个定义也符合概率的数学定义 10 六 概率的性质 1 P 0 2 有穷可加 4 3 5 6 11 E 接连抛二次硬币 S HH HT TH TT n 4 e1e2e3e4 A 至少有一次出现正面 B 二次出现相同 AB 二次出现正面 HH k 1 HH HT TH m 3 HH TT P A 3 4 P B 2 4 P AB 1 4 注意 P B A 1 3 k m k n m n P AB P A 1 3 1条件概率 先看 在事件A发生的条件下事件B发生的概率 值为1 3 这是因为 A为必然事件 样本点有3个 A中有利于B的基本事件有1个 写成P B A 1 3 1 3 0条件概率 乘法公式 全概率公式和贝叶斯公式 12 可以证明 条件概率P A 符合概率定义的三条 定义 A P 为概率空间 AB为两个事件 且P A 0 则称P B A P AB P A 为 在事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率 1 P B A 0 非负性 2 P A 1 完全性 3 可列可加性 即可列个两两不相容事件Ai i 1 2 A P 观点1 A AA P BA 观点2 A P B A 13 例03 1 袋中有五个球 3个白色 2个红色 球 W W W R R A 第一次是白球 AB 取到两球同为白色 E 不放回抽样 抽一个看 不放回接着再抽 共抽两次 n 5 4 B 第二次是白球 k 3 2 m 3 4 计算得 P B A P AB P A 3 2 5 4 3 4 5 4 1 2 以上是观点2的算法 再用局限的观点1 计算也得1 2 1 3 2乘法定理 设P A 0 则有P AB P B A P A 设P AB 0 则有P ABC P C AB P B A P A 设P A1 A n 1 0 则有P A1 An P An A1 A n 1 P A n 1 A1 A n 2 P A2 A1 P A1 设P B 0 也有P AB P A B P B 15 例03 2袋中有r个红色球 t个白色球 每次任取一个记颜色后放回 并加入a个同色球 若连续抽取4次 试求 第一第二取红 第三第四取白 的概率 Ai 第i次是红球 i 1 2 3 4 Aic 第i次是白球 i 1 2 3 4 P A1A2A3cA4c P A4c A1A2A3c P A3c A1A2 P A2 A1 P A1 例03 3 透镜第一次落下时打破的概率为1 2 第一次未破第二次落下时打破的概率为7 10 前两次未破第三次落下时打破的概率为9 10 试求三次落下未打破的概率 Ai 第i次落下打破 i 1 2 3 B 三次落下未打破 P B P A1cA2cA3c P A3c A1cA2c P A2c A1c P A1c 又可以用 P Bc P A1cA2cA3 P A1cA2 P A1 P B 1 9 10 1 7 10 1 1 2 3 200 P Bc 1 2 7 20 27 200 197 200 17 例03 4N件产品 含有D N 件次品 任取n件 恰有k D 件次品的概率 为所求概率 这个概率称为超几何概率 排列组合与古典概率的计算 2 18 例03 5 将15名球手 可区分的 随机地平均分配到三个组 1 2 3 中去 15名球手中有3名国手 求这3名国手A 在同一组 B 各在一个组 的概率 有利于A的分法 有利于B的分法 P A 6 91 0 0659 P B 25 91 0 2747 19 例03 6 n个球 随机地放入N个盒子中 A 每盒至多有一球 B 都在指定的k个盒子中 球 盒均可区分时 放法总数为Nn 放法数为 例如 某班在年级大排队中的占位 放法数为kn 20 例03 7问题 咱们教室内的听课人数共有186人 你们注意到了否 你们中间有没有几个人同一天过生日的事发生 回答是 几乎肯定有 为什麽 n个人中至少有两人生日相同的概率为 经计算可得如下结果 30 演示8 21 例03 8从数字中每次任取一个 共取次 试问这个数的积被10除尽的概率是多少 解设 A 个数的乘积被10除尽 B 个数中不含5 C 个数中不含偶数 则 显然B和C是相容的 22 1 3 3全概率公式 定义 随机试验E的样本空间为 B1 B2 Bn为E的一组事件 若 1 两两不相容且 2 它们的和集为 则称B1 B2 Bn为 的一个划分 也叫完备事件组 这时 每次试验必有一个Bi发生 定理 随机试验E的样本空间为 B1 B2 Bn为 的一个划分 且P Bi 0 i 1 n A为E的一个事件 则P A P A B1 P B1 P A Bn P Bn 称为全概率公式 A A A B1 B2 Bn AB1 AB2 ABn 23 1 5 3定理 随机试验E的样本空间为 A为E的一个事件 P A 0 B1 B2 Bn为 的一个划分 且P Bi 0 i 1 n 则 称为贝叶斯公式 P Bi A P A Bi P Bi P A B1 P B1 P A Bn P Bn P Bi A P A Bi P Bi P A 1 3 4贝叶斯公式 24 例03 9设甲袋中有m个红球 n个白球 乙袋中有r个红球 s个白球 今从甲袋中任取一球放入乙袋 再从乙袋中任取一球 求该球是红球的概率 解令R 从乙袋中取出的球为红 W 从甲袋中取出的球为白 则有 25 求的是P B A P A B P B P A B P B P A Bc P Bc 已知 P A B 0 95P Ac Bc 0 95P B 0 005试求 普查化验阳性会被诊为有病的概率 A 化验阳性 B 被诊为有病 分析 B Bc为一个划分 得 P B A 0 95 0 005 0 95 0 005 0 05 0 995 0 087 例03 10 记 26 下面介绍全概率公式在敏感性调查中的应用 所谓敏感性调查是指调查内容中涉及到被访者的高度机密或隐私 如调查学生在考试中是否作弊 某人是否吸毒等 常常会发生被访者抗拒回答或不真实回答的情况 为此 1965年沃纳 Warner 提出一个随机化回答的方法 首先给被访者设定两个问题 A 你在本学年考试中作弊了吗 B 你在本学年考试中没有作弊吗 被调查者回答哪一个 由随机化方法确定 但要求正确回答 例03 11 27 一般设定选题A的概率为p 选题B的概率为 1 p q A的张数 B的张数 p q 这样从答卷中可以统计出n个学生答 是 的个数 设为m m n就是答 是 学生的频率 那么当n较大时 利用概率的统计定义 m n就可近似于概率P 答 是 利用全概率公式有 显然 是不行的 应避免 即 28 下面介绍全概率公式在智力测验中的应用 有三个房间A B C 其中一间放着一辆汽车 其余是空的 如果你猜对了 汽车归你所有 假设你猜A以后 主持人告诉你其余两间房中的一个 例如C 是空的 问你是否应该改变主意选B 还是照旧选A 哪个更明智些 首猜之房设为A 记事件A1 A中有车 p A1 1 3 A0 A中无车 p A0 2 3 打开的空房为C 主持人说应该改选的为B 例03 12 29 注意到 p 改0 A1 1 p 改1 A1 0 p 改0 A0 0 p 改1 A0 1 p 原1 A0 0 p 原1 A1 1 计算 p 原1 p A0 p 原1 A0 p A1 p 原1 A1 0 2 3 1 1 3 1 3p 改1 p A0 p 改1 A0 p A1 p 改1 A1 1 2 3 0 1 3 2 3 30 1 3 5事件的独立性 定义 A B为两事件 如果等式P AB P A P B 成立 则称 A B为互相独立 的事件 可以证明 若A与B互相独立 则Ac与B A与Bc Ac与Bc互相独立 定理 A B为两事件 且P A 0 则 A与B相互独立 与 P B A P B 等价 31 例03 13 1 E 接连抛二次硬币 S HH HT TH TT n 4 e1e2e3e4 先看 A 第一次出现正面 B 第二次出现正面 AB 二次同时出现正面 HH HT m 2 P A 2 4 HH TH P B 2 4 HH k 1 P AB 1 4 可算出 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 为P B A 1 2 P B A 1 2 P B 即 A与B相互独立 32 例03 13 2E 接连抛二次硬币 S HH HT TH TT n 4 e1e2e3e4 再看 A 至少有一次出现正面 B 二次出现相同 AB 二次出现正面 HH k 1 HH HT TH m 3 HH TT P A 3 4 P B 2 4 P AB 1 4 可算出 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 为P B A 1 3 而P B A 1 3 1 2 P B 即 A与B不是相互独立的 33 一般 A1 A2 An为E的一组n个事件 相似的可定义 两两 三三 及 n个相互独立 定义 A B C为三个事件 如果三个等式P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 成立 则称A B C为 两两独立 的事件 若再加一个等式P ABC P A P B P C 成立 则称 A B C为互相独立 的事件 34 再看例03 14 E 接连抛三次硬币 S HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT e1e2e3e4e5e6e7e8 A 第一次抛出现正面 p A 1 2 B 第二次抛出现正面 p B 1 2 C 第三次抛出现正面 p C 1 2 AB 第一 第二两次出现正面 p AB 1 4 AC 第一 第三两次出现正面 p AC 1 4 BC 第二 第三两次出现正面 p BC 1 4 ABC 第一 第二 第三三次出现正面 p ABC 1 8 A B C三事件相互独立 35 又例03 15 E 四张卡片中任抽一张 S e1e2e3e4 n 4 A 出现e1 e2 B 出现e2 e3 C 出现e1 e3 BC e3 AB e2 AC e1 A B C两两相互独立 P ABC 0 1 8 P A P B P C A B C三者不独立 但ABC 为空集 36 1 3 6独立试验序列 假若一串试验具备下列三条 1 每一次试验只有两个结果 一个记为 成功 一个记为 失败 2 成功的概率p在每次试验中保持不变 3 试验与试验之间是相互独立的 则这一串试验称为独立试验序列 也称为Bernoulli概型 37 在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率 1 n次试验中恰有k次 成功 的概率 2 第k次试验首次出现 成功 的概率 请读者自行证明第1种事件的概率为 第2种事件的概率为 38 例03 16有一批产品 其不合格率为10 每次抽取一个 观察后再放回 独立地重复5次 求5次观察中有2次是不合格品的概率 解设A 一次观察中出现不合格品 B 5次观察中出现2次不合格品 按照题意有 39 例