高中数学 第三章 导数应用 3.1.2 函数的极值课件8 北师大版选修22.ppt

1 函数的极值 一 教学目标 1 知识与技能 理解函数极值的概念 会求给定函数在某区间上的极值 2 过程与方法 通过具体实例的分析 会求函数的极大值与极小值 3 情感 态度与价值观 让学生感悟由具体到抽象 由特殊到一般的思想方法 二 教学重点 函数极值的判定方法教学难点 函数极值的判定方法三 教学方法 探究归纳 讲练结合四 教学过程 2 一 复习 利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为 求函数的定义域 求函数的导数 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 在上节课中 我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的 下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题 3 二 新课探析1 函数的极值 一般地 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 4 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 也就是说极值与最值是两个不同的概念 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 5 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 6 求可导函数f x 的极值 一般地 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 7 如图 若寻找函数极值点 可否只由f x 0求得即可 x 0是否为函数f x x3的极值点 解析 f x 3x2 当f x 0时 x 0 通过观察函数图像x 0不是该函数的极值点 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点 x0左右两侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0 注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 例1求函数f x 2x3 3x2 36x 5的极值点 解 这个函数的导函数为 通过解方程得到两个解x1 2和x2 3 当x 2时 函数在 2 上是增加的 当 2 x 3时 函数在 2 3 上是减少的 因此 x1 2是函数的极大值点 当 23时 函数在 3 上是增加的 所以x2 3是函数的极小值点 这个判断过程可通过下表直观反映出来 总结 求可导函数f x 的极值的步骤如下 2 求导数 3 求方程的根 4 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 1 求函数的定义域 11 例2求函数f x 3x3 3x 1的极值 解 首先求导函数 由导数公式表和求导法则可得 分析的符号 f x 的单调性和极值点 0 0 极大值 f x x 极小值 根据表可知为函数f x 3x3 3x 1的极大值点 函数在该点的极大值为 为函数f x 3x3 3x 1的极小值点 函数在该点的极小值为 x y o 函数图像如下图 变式练习 求函数的极值点 通过解方程得到两个解x1 1和x2 1 当 11时 函数在 1 上是减少的 因此 x2 1是函数的极大值点 当x 1时 函数在 1 上是减少的 当 1 x 1时 函数在 1 1 上是增加的 因此 x1 1是函数的极小值点 解析 求这个函数的导函数 解析 因为f x x2 4 由f x 0解得x1 2 x2 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 2时 f x 的极小值为 当x 2时 f x 的极大值为 求函数的极值 1 用导数来确定函数的极值步骤 1 先求函数的导数f x 2 再求方程f x 0的根 3 列出导函数值符号变化规律表 4 利用从 0 判断函数极大值 利用从 0 判断函数极小值 极大值 极小值 四 本课总结 17 2 函数的极值注意事项 4 函数的不可导点也可能是极值点 5 可导函数的极值点一定