高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第16讲 导数在函数中的应用配套课件 理.ppt

第16讲导数在函数中的应用 1 函数的单调性 单调递减 若函数y f x 在 a b 内可导 则 1 若f x 0 则f x 在 a b 内单调递增 2 若f x 0 则f x 在 a b 内 2 函数的极值 f x 0 f x 0 1 判断f x0 是极值的方法 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根的左右两边导函数值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极小值 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小 值 f b 为函数的最大值 极值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各 与端点值比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 如图2 16 1是函数f x 的导函数f x 的图象 则下列判 断中正确的是 a a 函数f x 在区间 3 0 上是减函数b 函数f x 在区间 1 3 上是减函数c 函数f x 在区间 0 2 上是减函数 d 函数f x 在区间 3 4 上是增函数 图2 16 1 解析 当x 3 0 时 f x 0 则f x 在 3 0 上是减函数 其他判断均不正确 d a 2 函数f x 4 x ex的单调递减区间是 a 4 b 3 c 4 d 3 解析 f x ex 4 x ex ex 3 x 令f x 0 3 x3 3 已知e为自然对数的底数 则函数y xex的单调递增区 间是 a 1 c 1 b 1 d 1 a 4 函数f x x2 2lnx的单调递减区间是 b 1 a 0 1 c 1 d 1 1 时 f x 0 f x 为减函数 当x 1 时 f x 0 f x 为增函数 考点1 利用导数研究函数的单调性 例1 1 2017年浙江 函数y f x 的导函数y f x 的图 象如图2 16 2 则函数y f x 的图象可能是 图2 16 2 a b c d 解析 原函数先减再增 再减再增 且由增变减时 极值 点的横坐标大于0 故选d 答案 d 2 已知函数f x x2 2x ex x r e为自然对数的底数 则函数f x 的单调递增区间为 解析 因为f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 3 2015年陕西 设f x x sinx 则f x a 既是奇函数又是减函数b 既是奇函数又是增函数c 是有零点的减函数d 是没有零点的奇函数解析 因为f x 1 cosx 0 所以函数为增函数 排除选项a和c 又因为f 0 0 sin0 0 所以函数存在零点 排除选项d 故选b 答案 b 规律方法 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个 这些区间之间一般不能用并集符号 连接 只能用 或 和 字隔开 考点2 含参数函数的单调性 例2 已知函数f x x3 ax 1 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在r上为增函数 求实数a的取值范围 3 若f x 在区间 1 上为增函数 求a的取值范围 4 若f x 在区间 1 1 上为减函数 试求a的取值范围 5 若f x 的单调递减区间为 1 1 求a的值 6 若f x 在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 2 因为f x 在r上是增函数 所以f x 3x2 a 0在r上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 因为3x2 0 所以只需a 0 又因为a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在r上是增函数 所以a 0 即a的取值范围为 0 3 因为f x 3x2 a 且f x 在区间 1 上为增函数 所以f x 0在 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 上恒成立 所以a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 即a的取值范围为 3 规律方法 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数取值范围问题 一是可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 二是利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 互动探究 1 若函数f x 2x3 3mx2 6x在区间 2 上为增函数 则实数m的取值范围为 答案 d 答案 c 思想与方法 运用分类讨论思想讨论函数的单调性 例题 2016年新课标 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 所以f x 在 上单调递增 故当x ln 2a 1 时 f x 0 当x ln 2a 1 时 f x 0 所以f x 在 ln 2a 1 上单调递增 在 ln 2a 1 上单调递减 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 上单调递增 在 1 ln 2a 上单调递减 2 设a 0 则由 1 知 f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 故f x 在 1 上至多有一个零点 在 1 上至多 有一个零点 由于f 2 a 0 f 1 ee x 2 a x 1 2 a x 1 2 e x 1 e 因此 当x0 又f 1 e 0 根据零点存在定理 f x 在 1 上 有且只有一个零点 所以f x 有两个零点 设a 0 则f x x 2 ex 所以f x 有一个零点 1 上单调递增 又当x 1时 f x f ln 2a a ln 2a 2 2 1 0 故f x 不存在两个零点 1 ln 2a 上单调递增 又当x 1时 f x f 1 e 0 故f x 不存在两个零点 综上所述 a的取值范围为 0 规律方法 本题第一问是用导数研究函数单调性 对含有参数的函数单调性的确定 通常要根据参数进行分类讨论 要注意分类讨论的原则 互斥 无漏 最简 第二问是求参数取值范围