高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第八节 解三角形课件 文.ppt

第八节解三角形 总纲目录 教材研读 2 实际问题中的常用角 考点突破 3 解关于解三角形的应用题的一般步骤 考点二测量高度问题 考点一测量距离问题 考点三测量角度问题 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离 高度 角度问题 计算面积问题等 教材研读 2 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角 目标视线在水平线 上方的角叫仰角 目标视线在水平线 下方的角叫俯角 如图甲 2 方向角一般指相对于正北或正南方向的水平锐角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角从 正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如点b的方位角为 如图乙 4 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角 附 坡度 坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比 3 解关于解三角形的应用题的一般步骤 1 理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题 3 根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解 4 将所得结论还原到实际问题 注意实际问题中有关单位 近似计算等的要求 1 如图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm 灯塔a在观察站c的北偏东20 的方向上 灯塔b在观察站c的南偏东40 的方向上 则灯塔a与灯塔b的距离为 a akmb akmc akmd 2akm b 答案b在 abc中 acb 180 20 40 120 ab2 ac2 bc2 2ac bccos120 a2 a2 2a2 3a2 ab a km 故选b 答案a对于 由正弦定理可确定a b间的距离 对于 由余弦定理可确定a b间的距离 对于 不能确定a b间的距离 故选a a 3 如图所示 d c b三点在地面的同一直线上 dc a 从c d两点测得a点的仰角分别为60 30 则a点离地面的高度ab等于 a b c ad 答案b因为 d 30 acb 60 所以 cad 30 故ca cd a 所以ab asin60 b 4 一船自西向东匀速航行 上午10时到达灯塔p的南偏西75 距灯塔68海里的m处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处 则此船航行的速度为海里 小时 答案 解析如图 由题意知 mpn 75 45 120 pnm 45 在 pmn中 mn 68 34海里 又由m到n所用的时间为14 10 4小时 此船的航行速度v 海里 小时 5 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45 和60 而且两条船与炮台底部所连的线成30 角 则两条船相距m 5 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45 和60 而且两条船与炮台底部所连的线成30 角 则两条船相距m 答案10 10 解析由题意画示意图 如图 om aotan45 30 m on aotan30 30 10 m 在 mon中 由余弦定理得 mn 10 m 典例1 1 如图 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为75 30 此时气球的高是60m 则河流的宽度bc等于 a 240 1 mb 180 1 mc 120 1 md 30 1 m 考点一测量距离问题 考点突破 2 如图 某观测站c在城a的南偏西20 的方向上 从城a出发有一条走向为南偏东40 的公路 在c处观测到距离c处31km的公路上的b处有一辆汽车正沿公路向a城驶去 行驶了20km后到达d处 测得c d两处的距离为21km 这时此车距离a城千米 答案 1 c 2 15 解析 1 如图 acd 30 abd 75 ad 60m 在rt acd中 cd 60m 在rt abd中 bd 60 2 m bc cd bd 60 60 2 120 1 m 2 在 bcd中 bc 31km bd 20km cd 21km 由余弦定理得cos bdc 所以cos adc 所以sin adc 在 acd中 cd 21km cad 60 所以sin acd sin 60 adc 由正弦定理得 所以ad 15km 方法技巧求解距离问题的一般步骤 1 画出示意图 将实际问题转化成三角形问题 2 明确所求的距离在哪个三角形中 有几个已知元素 3 使用正弦定理 余弦定理解三角形 对于解答题 应作答 1 1设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 则可以计算出a b两点间的距离为 a 50mb 50mc 25md m a 答案a由题意 易得b 30 由正弦定理 得 ab 50 m 100 答案100 解析依题意有ab 600m cab 30 cba 180 75 105 dbc 30 dc cb acb 45 在 abc中 由 得 解得cb 300m 在rt bcd中 cd cb tan30 100m 则此山的高度cd为100m 易错警示解决高度问题的注意事项 1 在解决有关高度的问题时 要理解仰角 俯角的概念 2 在实际问题中 可能会遇到同时研究空间与平面 地面 的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 一般是把高度问题转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关系的应用 若是空间的问题 则要注意空间图形和平面图形的结合 2 1在200米高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 60 则塔高是 a 米b 米c 200米d 200米 a 答案a如图所示 ab为山高 cd为塔高 则由题意知 在rt abc中 bac 30 ab 200米 则ac 米 在 acd中 cad 60 30 30 acd 30 adc 120 由正弦定理得 cd 米 解析如图 设红方侦察艇在c处拦截住蓝方的小艇 且经过的时间为x小时 则ac 14x nmile bc 10 x nmile abc 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos120 解得x 2 负值舍去 故ac 28nmile bc 20nmile 根据正弦定理得 解得sin 所以 要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇 则所需要的时间为2小时 角 的正弦值为 易错警示解决测量角度问题的注意事项 1 明确方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正 余弦定理的综合运用 3 1如图所示 位于a处的信息中心获悉 在其正东方向 相距40海里的b处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的c处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线前往b处救援 求cos 的值 解析在 abc中 ab 40海里 ac 20海