电动力学课后答案.pdf

1 根据算符 的微分性与矢量性推导下列公式 BABAABABBA rrrrrrrrrr AAAAA rrrrr 2 1 2 解1BABAABABBA vvvvvvvvvv 首先算符 是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 将作用于 BA vv和 又 是一个矢量算符具有矢量的所有性质 因此利用公式bacbcabac v vv v vv v vv 可得上式 其中右边前两项是 作用于A v 后两项是 作用于B v 2根据第一个公式令A v B v 可得证 2 设 u 是空间坐标 xyz 的函数证明 du Ad uuA du Ad uuA u du df uf r r r r 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z uf e y uf e x uf uf zyx x u zyx rrrrrr 2 du Ad u z u dz uAd y u du uAd x u du uAd z uzA y uA x uA uA z y xz y x rr r rr r r r 3 z x y y zx x y z zyux zyx e y A x A e x A z A e z A y A uAuAA zyx eee uA r r r r rr r r r rrr rrr r du Ad ue y u du Ad x u du Ad e x u du Ad z u du Ad e z u du Ad y u du Ad z x y y zx x y z r r r r r rr r r r 7有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球介质的电容率为 使介质内均匀带静止自由电荷 f 求 1 空间各点的电场2 极化体电荷和极化面电荷分布 解1 dVSdD f S rr r2 r r1 f rrrD 3 4 4 3 1 32 即 3 12 3 3 1 3 rrrr r rr E f r r 由 3 4 2 3 1 3 2 00 rrrr Q SdE f f S rr 3 2 3 0 3 1 3 2 rrr r rr E f r r 0 1时 Err r 2 EEEP e rrrr 0 0 0 00 3 3 3 3 10 3 3 1 3 00 r r r rr r rr EP ffP rrr rr ff 03 3 00 nnP PP 21 考虑外球壳时rr2 n 从介质 1 指向介质 2介质指向真空0 2 n P frrfnP r rr r r rr P 3 2 3 1 3 20 3 3 1 3 01 3 1 3 2 r 考虑到内球壳时rr20 3 13 3 1 3 0 rrfP r r rrr 9证明均匀介质内部的体极化电荷密度 P 总是等于体自由电荷密度 f 的倍 1 0 证明 f f P EEP 1 0 000 rrr 电动力学 第 页1 兰老师 3 设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动以 z0 区 域为真空试用唯一性定理求磁感应强度 B然后求出磁化电流分布 解本题的定解问题为 01 0 02 021 2 2 01 2 11 0 0 zz z AA AA zJA zJA rr rr rr rr 由本题具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为 r lId xA r lId xA r r r r r r 4 4 2 0 1 由此可推测本题的可能解是 0 2 0 2 0 ze r I ze r I B r r r 验证边界条件10 12021 BBnAA z rr r rr 即 题中0 eeen zz rrrr 且所以边界条件 1满足 20 11 1201 0 02 HHnAA zz rr r rr 即 本题中介质分界面上无自由电流密度又 e r IB H e r IB H r r r r r r 2 2 2 2 0 1 1 0 12 HH rr 满足边界条件0 12 HHn rr r 综上所述由唯一性定理可得本题有唯一解 0 2 0 2 0 ze r I ze r I B r r r 在介质中M B H r r r 0 故在 z 0 的介质中 2 0 2 H B M r r r 即 e r I e r I e r I M rrr r 1 222 00 介质界面上的磁化电流密度 rzM e r I ee r I nM rrrr r r 1 2 1 2 00 总的感应电流 1 1 2 0 2 00 Iedre r I l d MJM rr rr 电流在 z 0 的空间中 沿 z 轴流向介质分界面 4 设 x0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流动 求磁感应强度和磁化电流分布 解假设本题中得磁场分布仍呈轴对称则可写作 e r I B v v 2 其满足边界条件 0 0 12 12 v vv v vv v HHn BBn 即可得在介质中 e r IB H v v v 2 2 而Me r I M B H v v v v v 00 2 2 在 xpQ 0 h即 散射后频率降低 28 一个处于基态的原子吸收能量为 h的光子跃迁到激发态基态能量比激发态能量低 w 求光子的频率 解设原子基态静止质量为 1 M激发态静止质量为 0 M光子能量为 h h动量为 k v h原子吸收光子后动量为p v 设原子基态时静止 吸收前四维动量为 2 11 h v h cMkp 吸收后四维动量为 42 0 22 2 cMcppp v 由四维动量守恒 2 1 42 1 222 1 cMcpcM kp h v h r 由1得 c kp hh 得 2222 h cp 3 又wcMcM 2 1 2 0 得 22 1 42 0 wcMcM 4 3 4 代入2得 22 1 2222 1 wcMcM hh 整理得 22 1 2 1 2 1 222wwcMhcMcM h 光子频率 2 1 2 1c M w h w 电动力学 第 页5 25 频率为 的光子能量为 h动量为k v h碰在静止的电子上试证明 1 电子不可能吸收光子否则能量和动量守恒定律不能满足 2 电子可以散射这个光子散射后光子频率 比散射前光子频率 小不同于经典理 论中散射光频率不变的结论 证明1设电子可以吸收这个光子反应后它的动量为p v 反应前光子能量 h电子 能量 2 cme反应后能量为 22