山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 2.3《一元二次方程》复习教案 北师大版.doc

2.3 一元二次方程复习教案教学目标：1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；2.了解一元二次方程根的判别式，并会用其判断根的情况；3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；4.会列一元二次方程解实际问题.教学重点与难点：重点：熟练用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程.难点：会用根的判别式，根与系数的关系解决有关根的问题.教法与学法指导：本节课主要采用题组复习，在教学过程中我先由“构建知识框架巩固知识点典题尝练互查反馈 例题及精析应用提高反思提高”的方式完成本节课的教学，学生通过自主学习，小组合作，展开互动性学习，让学生体会到学习数学的成就感、在整个专题复习过程中，要充分学生的自主性，让学生积极主动参与复习的全过程，特别是让学生参与知识梳理、板演批发挥改、错误剖析、规范整理、总结归纳等环节，只有这样才能使学生有效地掌握所学习的知识和方法.课前准备:教师准备：导学案、多媒体课件学生准备：尝试完成导学案、阅读课本九（上）第二章教学过程：一、激趣导入，预习展示 【师】知识在于积累，能力在于训练，这节课我们一起来重点回顾一元二次方程的概念、解法和应用，查缺补漏，以求厚积薄发.希望人人达标过关！大家有没有信心？【生】有（学生充满信心！） 【设计意图】本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的 【师】(鼓励性的语气)很好！课前要求同学们做了自主复习，大家在知识和能力方面都有哪些方面的收获，请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果. 【生】积极的小组内交流收获，共同构建知识结构网络.一元二次方程是初中数学学习的重要内容,是通过数学建模(方程模型)解决实际问题的重要手段考查涉及一元二次方程的定义、解法以及运用一元二次方程解决实际问题,并根据课标的补充规划,对一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系进行了适当补充；考查一元二次方程与函数、几何综合运用也是本章的热点考题考试类型小到填空与选择,中到简答,大到综合与压轴新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.【设计意图】通过课前导学案学生先独自回忆了本专题知识，课上再和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.【师】请各组同学们展示：什么是一元二次方程？一元二次方程都有哪些解法？常用来解决哪些问题？一元二次方程根的判别式与方程根的关系？根与系数的关系公式有哪些？请你先想一想然后代表小组说一说.【生】各数学小组学生主动起立，结合上面的知识框架图依次回顾知识点（生生互动、师生互动，纠错完善，让学生适当举例说明，加强对知识的理解）【设计意图】以问题串的方式再次总结本专题的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做课本知识面面俱到为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本章知识建议：回顾一元二次方程的解法时，老师应引导学生结合具体例子阐述各解法特征，使学生感悟一元二次方程解法的灵活性二、典题尝练，互查反馈 a组：（必做题） 1（2012，贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） a、1 b、1 c、0 d、无法确定2一元二次方程的根是（ ）a、 b、 c、, d、 3（2012，荆门）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ） a、 b、 c、 d、4（2012，常德）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） a、 b、 c、 d、5 (2012，烟台)下列一元二次方程两实数根和为的是（ ）a、 b、 c、 d、6（2012，娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） a、 b、 c、 d、（学生先独立完成再小组交流，做错的题小组内帮助分析原因并纠错.老师巡视必要时给与指导）【设计意图】a题组主要是帮助学生复习回忆一元二次方程的解，一元二次方程的解法、应用，以及根的判别式和根与系数的关系公式.这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2、3题考查一元二次方程的解法，第4题是根的判别式求解字母的取值范围，第5题是根与系数的关系公式训练，第6题是一元二次方程在实际中的应用，这是经典增长率问题处理时，第3、4题让学生板书，其余题目口述考查的知识点以及解题思路和方法b组：（选做题） 3（2012，安徽）解方程：（各小组代表，黑板板演.小组间批阅、错误剖析.教师鼓励评价各组表现情况.） 【设计意图】设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，要求独立限时完成.这样的设计，不是简单的让学生重复概念及其做法，而是通过题组检查的形式以题代知识点 【实际效果】本环节设计a、b组形式，使不同层次的同学都得到发展，增强学生的学习积极性.实际上学生对于一元二次方程的定义掌握的很好，能注意二次项系数不为零的条件限制，但对于含字母的根的判别式逆用题目学生解决不熟练.解方程方法选择不够灵活.通过这几道题，让学生关注了本专题的常考题型，了解自己复习的不足和努力方向，对于下面的学习也作了部分铺垫三、范例导航、方法总结【师】（微笑着）通过上面题组的研究，同学们能不能总结一下本节的考题类型呀？下面请同学们以小组为单位进行总结归纳.【生】小组合作探究后交流整理.并展示小组的成果【设计意图】设计本环节目的是让学生自行研讨考题类型，以备学生有的放矢的进行复习和练习，以寻求应对策略，增强学习的针对性.【师】同学们表现都很棒！下面我们通过几个例题深入复习一元二次方程. (2009，日照）若（n0）是关于的方程的根，则的值为（ ） a、 b、 c、 d、【点拨与解】【师】谁来介绍一下这题所考查的知识及做题思路.生1：本题考查了利用一元二次方程的解求代数式值的知识.生2：因为是方程的根，所以，即，可得或，所以，因此选择d. 【反思回味】若已知方程的根，求其他字母的对应值，关键是将这个方程的根带入原方程，进而求得字母的值. 【跟踪练习】1.（2011，滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则 的值为 . 2.（2012，贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程(m1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ） a、1 b、1 c、0 d、无法确定【参考答案】1. 2.b 【设计意图】通过学生口答互评的方式，复习巩固一元二次方程根的意义.由简单知识展 开复习，激发了全体学生投入复习的热情，从而保证后续复习的开展. 【师】很好！本节的重点是选择恰当方法正确解出一元二次方程，请大家完成例2.请在下式的横线处填入一个整式：，使它分别最适合用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法来解答.【点拨与解】【师】经过一元二次方程解法的探究，大家已经明确了一个一元二次方程的简便解法应根据所给方程的特点所决定的你能快速的完成上题吗？请小组间竞赛完成（一组填值，一组解答） 【生】（思考并尝试解决，2分钟后各小组同学分组交流.）各小组的每一名组员都要分担一项任务【师】点评得分，鼓励学生学习的积极性.请大家总结用公式法和配方法的关键点.（学生独立思考，大约半分钟后有学生举手作答）生1：用公式法的关键在于把握两点：将该方程化为标准形式；牢记求根公式.生2：用配方法的关键在于：先把二次项系数化为1，再移常数项；两边同时加上一次项系数一半的平方.【师】同学们总结的很好！【设计意图】一元二次方程的解法是本章的重点，通过设置开方型题目，让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，让学生进一步体会各解法之间的联系及熟练地根据方程的特征选择适当解法【跟踪练习】解方程：1（2012，浙江温州） 2（2012，湖南永州）3（2012，菏泽）【反思回味】1形如的方程可以用直接开平方法求解2千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）【实际效果】各小组的同学积极参与，数学成绩优秀的同学负责直接开平方法，因式分解法，数学成绩一般的同学负责配方法，公式法.经过这一轮的训练学生更加熟悉了一元二次方程的解法，能深刻把握各种解法的步骤和注意事项 【师】在一元二次方程的四种解法中，公式法及配方法是万能方法，直接开平方法和分解因式法是特殊方法，我们要选择恰当的方法解一元二次方程.有时我们不解方程也能判定方程根的情况，请大家思考下面的例题. 已知关于的方程，当为何值时， （在横线上试补充有关根的情况，然后完成计算）生1：有两个相等的实数根；生2：有两个不相等的实数根；生3：有实数根；生4：无实数根；生5：只有一个实数根；生6：有两个实数根.【师】将题目分到各组完成、展示.学生：先独立思考解答，然后交流并派代表板演，做好展示准备.【设计意图】设计开放性题目,学生在参与题目的设计中，复习根的判别式与一元二次方程的关系，同时将方程的根全面扩充至一元一次方程，正因如此也锻炼了学生分类的数学思想，从而增强了学生思维的严谨性. 【跟踪练习】1（2012，湖南岳阳）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 2（2012，四川广安改编）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）a、 b、 c、 d、3（2012，东营）方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） a、 b、 c、 d、 【参考答案】1、，且k0. 2、b. 3、d. 【反思回味】利用根的判别式解决问题，方程要先化为一般形式再求判别式，同时注意在这里二次项系数不能为零；要注意运用分类的数学思想考虑全面；注意读题的重要性. 【师】一元二次方程的根与系数有关系也是中考一重要考点，请大家完成例4巩固这一知识点. （1）设、是方程的两根，则 ； ； . （2）（2012，枣庄）已知关于的方程的一个根为，则这个方程的另一个根是 （3）（2012，莱芜）已知、是方程的两根，则代数式的值为（ ） a、 b、 c、 d、 【点拨与解】【生】（）题由三位同学自发板书，（2）题小组竞赛，几个学生分别回答不同的解题方法，渗透一题多解的思想.（3）题小组活动、探讨，交流激烈，气氛活跃.（留给学生足够的时间探索） 【师】此题考查一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值.想一想如何把转化含和的代数式？ 【生】m、n是方程x22x10的两根，mn=，mn=1. .故选c. 【师】 这位同学回答得非常棒!(此时老师和同学不约而同的响起掌声） 【设计意图】这三个题是根与系数关系的三个典型的应用（1）题是利用根与系数的关系求有关根的代数式，三个小题代表了三个类型，遇到分母就通分，遇到括号就展开，遇到平方就用完全平方式；（2）题可以将根代入再求解，也可以利用根与系数的关系，体现了一题多解的思路；（3）题是利用根与系数的关系，求代数式的值，此类题要注意转化思想的训练。【跟踪练习】 1、（2012，湖北天门）如果关于x的一元二次方程的两个不相等实数根x1，x2满足，那么a的值为（ ）a、 b、 c、 d、 2、（2012，黑龙江绥化改编）设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为 。 3、（2012，四川泸州）设x1，x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为 4、（2012，湖北孝感）已知关于的一元二次方程(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且，求的值和此时方程的两根 【参考答案】1、b；2、2013；3、7；4、略 【反思回味】利用根与系数的关系，求与根有关代数式的值，要注意把所求代数式转化成含两根之和、两根之积的形式，然后整体带入既可求解.【师】经过前几站的学习，想信你一定有许多收获！我们的最后一站是一元二次方程的应用，希望同学们接下来有更好的表现. （1）（2012江苏泰州市）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是（ ） a、b、36(12x)25 c、 d、 【师】这是一道利用一元二次方程解决增长率的问题，哪位同学谈一下你的思路？ 【生】（马上站起来）解题的关键是连续两次降价，一次降价可表示为，再次降价既再乘，则可列方程为： 【师】回答的很好，其他同学还有补充说明吗？【生】本题是连续降价两次，降价率（）问题的固定模式是，为原始数据，为最后数据【师】这位同学总结得非常好若是连续增长两次，每次增长率相同，我们又可得到什么？【生】（齐声）.【设计意图】通过设计这样一个问题，一可以复习巩固列一元二次方程解应用题的步骤,感受在实际问题中检验方程解的合理性的必要性.形成反思总结的良好学习习惯. 【跟踪练习】（2011浙江义乌）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出 件设每件商品降价元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 【反思回味】解一元二次方程应用题的一般步骤和解方程(组)基本相同,特别需要注意的是一元二次方程的根有两个,所以求出方程的根以后要检验这两个根是否都符合题意. 四、反思小结、拓展提高【师】祝贺同学们顺利的完成本课的学习内容，请说一说你的收获有哪些？(课件提示：学生从方面入手探究：一是学到了哪些知识；二是掌握了哪些数学思想和方法；三是还有哪些发现与猜想；四是还有哪些问题与困惑.）生1：我知道了将根带入方程,可求出字母的值.生2：通过这节课的复习，我知道了如何选择适当的方法，解一元二次方程.生3：我觉得根据根与系数的关系，在解决相关问题时要灵活运用“转化”的数学思想.【师】同学们的收获还真不少，那还有什么遗憾？生1：我遗憾我的发言还不够多.生2：我遗憾我的计算正确率还不高.【师】细心成就成功，信心铸就辉煌！相信经过大家的努力，我们会做的更好！【设计意图】充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态