中国精算师考试生命表笔记.pdf

1 参数生存模型 1 均匀分布 1 0 ta b f tba elsewhere 或 1 0 0 t f t elsewhere w w 0 t t F tf y dy w 1 t S tF t w w 1 f t t S tt l w 0 2 E Ttf t dt w w 2 22 12 Var TE TE T w 2 指数分布 t f te l l 0 0 t S tet l l 1 E T l 2 1 Var T l 3 Gompertz 分布 0 0 1 t tBc tBcl 0 exp exp 1 ln t t B S ty dyc c l 4 Makeham 分布 0 0 1 t tABc tBcABl 0 exp exp 1 ln t yt B S tABcdycAt c 5 Weibull 分布 0 0 0 n tkttknl 1 0 exp exp 1 n t n kt S tky dy n 2 截尾分布 1 X 的下截尾分布 nx S xn p S x 1 nx F xnF x q F x 1 f yf y f y Xx F xS x 2 双截尾分布 S xS z S x yXz S yS z S yS xF xF y F x yXz S yS zF zF y f x f x yXz S yS z f xx S x x yXz S xS zS xS z l l 3 截尾分布的矩 z y E XyXzx f x yXz dx 0 0 y y eE X Xyyxyf xXy dxt f ty Xy dt 4 中心死亡率 1 1 x x xx x S yy dy m S y dy l 0 0 x nn sxx s x nxx nn sx x S yy dypds m S y dyp ds lm 3 生命表 1 0 岁生存到 x 岁的概率 0 0 x x l p l 2 x 岁以前死亡的概率 0 0 00 xx x dll q ll 3 x 岁的人生存到 x n 岁的概率 x n nx x l p l 4 x 岁的人在 x n 岁前死亡的概率 nx nx x d q l 5 x 岁的危险率 ln x xx x d l d dx l ldx m 6 x 岁的死亡密度函数 无条件 00 xxx d pp dx m 7 新生人口的平均余命 0 0 0 00 00 0 xxx T expdxp dx l m 8 新生人口未来寿命的方差 2 0 22 00 00 0 00 2 xx YT Var Xxpdxe ll m 9 x 岁的人在 y 岁死亡的条件密度函数 y xxysxx s f y Xxppsyxmm 10 x 岁人的平均余命 0 x x sxx ssx xx x T espdsp ds l m 11 x 岁人未来寿命的方差 2 0 22 0 2 xx sxx sx xx YT Var S Xxspdse ll m 12 区间 x x n 上的中心死亡率 0 0 n x sx s nx nxn nx x s lds d m L lds m 13 暴露数的概念 0 n nxx s Llds xyy x y x Tl dyL 1 xy y x Tl xy x YT dy nxx n nx nx Ln l f nd 死亡的人在 x x 1 的平均生存年 数 4 非整数年龄的方法 1 x s l 的线性形式 11 1 x sxxxxxxx llsdls llsls l 1 x s sxx x l psq l sxx qsq 1 1 x sx s x p p sq 1 1 1 x sx s x s q q sq 1 x x s x q sq m sxx sx f s Xxpqm 1 1 0 11 22 xx sxxxx Lldsldld 1 11 22 xyyxxx y xy x TLldTl 11 1 22 xxx x x xxx ddq m L ldq 0 1 1 2 2 xx x x x xx Tl T ee ll 2 指数形式 1 1 1 s sss x x sxxxxx x l lllllp l s s sxx ppe m 1 1 1 ss sxxx qpq 1 1 1 ss sx sx ppe m 1 1 1 1 ss sx sxx qpq 5 ln x sx pmm s sxx s f s Xxpe m mm 11 00 ln s xxx xx sxx x l qd Lldslpds pm x x x d m L m y xy y xy x y d TL m 3 双曲线形式 1 1 111 x s xxx ls lll 11 111111 1 x sxxxxx sss llllll 1 1 1 1 xx sx xxx pq p psps q 1 1 x sx x s q q s q 1 1 1 1 sx sxxx ps qpsp 1 1 sx sx qs q 1 1 xx x s xxx qq ps qs q m 2 1 1 1 xx x qq f s Xx s q 1 ln x xx x p Ll q 2 ln x x xx q m pp 6 完整样本数据情况下表格生存模型的估计 被估计的函数 估计量 条件或无条件 有偏或无偏 方差 0tq t D n 无条件的 无偏 0 0 1 tt qq n S t t N n 无条件的 无偏 S t F t n t p 1t t N n 以 t n为条件 无偏 tt t p q n t q t t D n 以 t n为条件 无偏 tt t p q n tl ln n t t N n 以 t n为条件 有偏 t tt q p n f t 0 t t D q n 无条件的 无偏 0 0 1 tt qq n 7 非完整样本数据情况下表格生存模型的估计 1 年龄有序数对 2 双风险环境 死亡不在年龄 x t 之前发生的概率 0 exp t dd txx u pdum 0 1 exp t dd txx u qdum 退出不在年龄 x t 之前发生的概率 0 exp t ww txx u pdum 0 1 exp t ww txx u qdum 在年龄 x t 之前既未死亡也未退出的概率 dw txtxtx ppp t 在年龄 x t 时死亡的密度函数 d txx t p t m 在年龄 x t 时退出的密度函数 w txx t p t m 在年龄 x 1 前死亡的概率 1 0 dd xuxx u qpdu t m 在年龄 x 1 前退出的概率 1 0 ww xuxx u qpdu t m 从年龄 x 活到年龄 x 1 的概率 11 dw xxxx pqqq tt 3 矩估计 对于形式为死亡人数 暴露数 的每一个估计量 计算暴露数的方法 估计量 暴露数类型 暴露数的计算 xm或 常死力 m 确切暴露 ii sr 对于观察的结束者和区间生存者 ii tr 对于观察到的死亡者和退出者 xq 由 Hoem 矩估计法 预计暴露 ii sr 对于观察的结束者和区间生存者 ii tr 对于观察到的退出者 ii sr 对于观察到的死亡者 xq 由精算法 精算暴露 ii sr 对于观察的结束者和区间生存者 进入观察年龄 计划结束观察年龄 ii y z 在区间 x x 1 上进入和结束的时刻 ii r s 8 ii tr 对于观察到的退出者 1 i r 对于观察到的死亡者 1 矩估计的分组 特例 B 1 i s 1 xxxxrx rx E Dbqkqd x n分为0 i r x b 和0 i r x k 两部分 且0 i r 的均值为 r 双曲线假设下 1 x x xx d q br k 特例 C 0 i r xxxxxsxx E Dncqcqd x n 分为 1 i s xx nc 和 1 i s x c 两部分 且 1 i s 的均值为 s 线性假设下 1 x x xx d q ns c 特例 C 的另一种矩估计法 1 1 1 xxxxxxxxxx xxxxxxxx ncqcqnqcqd cqcqca cqe aa a a为 x c 中观察到的死亡 人数占全部死亡人数的比例 x e为样本中实际结束总人数 2 4 2 xx x x bbnd q n a a 其中 1 xxx bnedaa 2 矩估计的方差 1 2 11 1 iiiiii n srx rsrx r ixx xxii nn iiii ii qq p q Var Qnr s srsr 2 1 1 1 xsxsxxxxx xxx xx cqqnc qq Var Qn c ns c 3 双风险情况下 均匀分布假设 特例 A 时 2 2 xxd x x bbnd q n 其中 11 22 xxx bnwd 9 指数分布假设 特例 A 时 1 x xx d dw d xxx x x ndw q n 精算法下 双曲线假设 1 1 1 x x xxx d q r ns et w 4 对 S x 的估计 011 x S xppp L 1 2 1 1 1 x i i i ii q Var S xnS x p n Greenwood 公式 1 2 0 x i i i ii q Var S xnS x p n 4 极大似然估计 第 i 个人的似然函数 i iiii itrx rx t Lp d m 其中 0 1 i i d d i 生存或结束观察 t 1死亡 总似然函数 1 i iiii n trx rx t i Lp d m 1 单风险环境 特例 A 部分数据 x x x d q n 完全数据 线性假设 x x x d q n 完全数据 指数假设 1 x x d xxi i d ndt m 1 x qe m 2 单风险环境 一般情形 完全数据 线性假设 1 1 1 1 n d xixix i Lqr qt q je 其中j为生存者 e 为结束者 完全数据 指数分布 1 ii n trd i Le m m 1 x n ii i d tr m 3 部分数据 特例 C 1 1 dc ddn c d sxsxxx Lqqqq 10 其中 c 在 x s 前死亡或在 x s 前退出 n c 在 x 1 前死亡或在 x 1 前退出 d c 中的死亡人数 d n c 中的死亡人数 e c 中生存至退出的人数 均匀分布假设下 ln1 0 11 x xxxxx xxxx ddLs cdncd dqqsqq 指数分布假设下 1 ln 0 11 s xxxxxxx s xxxx sencddds pdL dpppp 若数据无法区分 xx nc x c x d x d时 均匀分布假设下 ln 0 11 xxxxx xxxx ds endedL dqqs qq 指数分布假设下 1 ln 0 1 xxxx xxx nds eddL dppp 1 x x xx d q ns e 5 乘积极限估计 1 对 x q的估计 以加入和终止为分界点 1 1 m ii x i i nd q n 其中 i d 第 i 个子区间上所观察到的死亡人数 i n 第 i 个子区间的样本容量 以每一死亡点进行分割 1 1 m jj x j j rd q r 其中 j r 恰好在标志第 j 个子区间结束的死亡之前区间中的样本容量 2 1 11 m i xix i ii q Var pnp p n 2 1 m i xixix i ii q Var qnVar pnp p n 2 S t 的估计 1 m jj j j rd S t r 1mm ttt 11 22 11 mm jj j jj jjjjj qd Var S trS tS t prr rd 3 Nelson Aalen 估计量 1 exp m jt j j d S te r L 1mm ttt 若每个死亡点仅有一次死亡 且不存在退出 1 1111 11 m j j t rnnnm L L 12 参数生存模型 13 大样本数据下年龄的处理及暴露数计算 1 实际年龄的计算 天数 小数年 年份 365 确切年龄 观察小数年 出生小数年 其中 0 1 i i iii yx r yxxyx 1 11 ii i i zxxzx s zx 00 1 01 i iii i xxx x q tqq q 00 1 01 i iii i kxxx x j jj j 估计量 暴露数类型 暴露数的计算 xm或 常死力 m 完全数据 指 数假设下的极大似然估计 确切暴露 i ii i s r k t 三者中大于 0 的最小者 xq 由 Hoem 矩估计法 预计暴露 i i i s r k xq 由精算法 精算暴露 1 i ii s kr 退出用 i k 死亡用 1 分组 1 上次生日年龄分组 2 日历年龄分组 CACYECYB 其中 CA 日历年龄 CYE 事件发生的日历年 CYB 出生的日历年 2 保险年龄 IA 最接近生日的实际年龄 或上次生日的实际年龄 VYB CYI IA 其中 VYB 评估出生年 CYI 保单签订的日历年 i i i i i y z v q j r 进入观察的年龄 预计终止的年龄 死亡的确切年龄 退出的确切年龄 年龄向量 期限向量 i i i x i i r s u k t r 14 对退出者用日历保险年龄 CIA 进行分组 CIA CYW VYB 其中 CYW 退出发生的日历年 日历持续期 CD CYW CYI 3 会计年龄 FYB z FA 其中 FYB 会计年龄 z 事件发生年 FA 根据 T 日期为每一投保人指定的会计年龄 4 用表格估值法计算精算暴露数 1 会计年龄表格估值法 z x F 日历年 z 的 T 日期上确切会计年龄为 x 的观察对象人数 z x m 净迁移 由于新成员加入和对象从团体中退出引起的 FYB z x 的团体人数变动 1 1 zzzz xxxx FFmd 1 1 11 22 zzzzz xxxxxx FmFFd 精算暴露数 1z z x g FYB z x 团体在 G 日期 T z 和 T z 1 的中点 的人数 1z zzzz xxaxax gFmd z ax d a 期 由 T z 到 G 的半年 中净死亡 z ax m a 期 由 T z 到 G 的半年 中净迁移 King 公式 1 zzz zz xxaxxax Fmgd 精算暴露数 2 保险年龄的表格估计法 15 死亡和生育测度 1 1 重复和遗漏 重复 二次计数 遗漏 统计时个人或家庭的有关信息被漏报 程度判断 计算终止误差 C tC tPt 终止误差 C t 第 t 年的实际人口普查数 P t 第 t 年的预期人口普查数 EIDBPtP 0 B 区间 0 t 期间出生人口 D 此期间死亡人口 I 移入人口 E 迁出人口 2 年龄误报 混合技术 确定年龄申报是否存在数字偏好 20 79 假设人口分布函数为 105 1000 xLx 加权计算以各个数字结尾的人数 i bP 6939299 7838288 7131211 7030200 10 1 10 9 10 8 10 2 10 9 10 1 PPPP PPPP PPPP PPPP b b b b M 若没有数字偏好或年龄误报 则 10 1 9 0 i i b i b P P 3 抽样误差 假设 总体规模为 N 从每 n 个人中抽一名进行调查 n N 有 Y 个人回答是 每个 人回答独立 则 总体中有此特征的人数为nYX 2 YVarnXVar Y 服从超几何分布 N M n N YE 1 1 N n N N N M N M n N YVar M 总体中具有这种特征的个体数 1 1 2 N M N M N n N N n N nXVar 16 当 N 很大时 用 X 代替 M 1 1 N X XnXVar X 的标准误差为 1 1 N X XnSEX 4 总误差比率与净误差比率 衡量总体误差 正确计数 所报数目 总计 在此类中数目 不在此类中数目 应在此类中数目 a b a b 不在此类中数目 c d c d 总计 a c b d n a b c d n cb n caba 净误差比率 n cb 生将由所有误报的数目产总误差比率 2 死亡率 1 粗死亡率 一年平均人口 可以是 6 月 30 日人口普查数 也可以年初 年末人口平均值 日历年 z 的粗死亡率 zP D d z z c z D 日历年 z 的死亡人数 P z 年平均人口 日历年 z 的粗出生率 zP B b z z c 人口自然增长率 z c z c z c dbr 2 分年龄和性别的死亡率 分年龄死亡率 z nx nx z nx D m P 测量 x 到 x n 岁的死亡水平 z xnD x 到 x n 岁之间的死亡人数 z xnP x 到 x n 岁年中的人口数 分性别 考察分年龄 性别死亡率 3 婴儿死亡测度 婴儿的死亡率 z z B D0 17 z B 日历年 z 的活产儿数目 z D0 日历年 z 未满一岁的死亡婴儿数 调整的婴儿死亡率 1 0000 1 z zz z zz B D B Drr z 0 r z 年死亡的婴儿中 z 1 年出生婴儿所占的比例 围产期死亡率 死产 超过 28 周妊娠期的死亡 率 新生儿死亡 婴儿出生 4 周内死 亡 率 4 调整的死亡率 直接调整法 当两个地区的分年龄死亡率 xnm 都能得到时使用 x s xn x j xn s xn D P mP ADR s xnP 年龄 x 到 x n 的标准人口数量 j xnm j 地区分年龄死亡率 间接调整法 得不到特定地区的 j xnm 时 标准死亡率 x j xn s xn j Pm D SMR 间接调整的死亡率 s s x j xn s xn j I P D Pm D ADR 3 生育率 日历年 z 的分年龄生育率 zF B f x z x z x zFx 日历年 z 年龄为 x 周岁的年中女性人口数 z x B 日历年 z 年龄为 x 岁的女性新生的婴儿数 日历年 z 的总和生育率 zz x x TFRf b a 分年龄 性别生育率 女性生育女婴的比例 f z f z nx nx B f F z 18 日历年 z 的毛再生产率 f z x x GRRf b a 净再生产率 0 zf zf xx x NRRfp b a 其中 0 f xp 为新生女婴生存到 x 岁的概率 19 人口模型 1 静止人口模型 假设 1 年出生人口是常数 且出生时间均匀分布 2 死力不随时间改变 适用于同一生命表 特征 1 在任何时刻总人口数为 0 P tT 2 静止人口每年死亡人数 0 Dl 3 静止人口模型中所有人口总剩余寿命为 0 0 y T dyY w 4 若存在不随时间变化的移民 静止性质仍保持不变 性质 1 有 x l个人年满 x 岁 2 任何时刻 年龄在 x 岁与 x 1 岁之间的人数为 x L 3 任何时刻 年龄在 x 岁以上的人数为 x T 寿命 1 每年有 x l人满 x 岁 其总寿命为 xx xlT 2 任何时刻 x 岁及以上人口 x T人 总寿命为2 xx xTY 3 任何时刻 x 岁及以上人口 x T人 总活过寿命为 xx xTY Lexis 图 确定符合某年龄段的成员总数 2 稳定人口模型 假设 1 出生人口受生育函数限制 出生率以增长力 i r连续变化 i nr B tnB t e 其中 B t 表示 t 的女性出生率 2 死亡假设服从于同一生命表 性质 1 若死力为常值 则人口规模满足 i nr P tnP t e 其中 P t 表示 t 时 的人口数 i r又称人口内在增长率 2 稳定人口中 任何年龄区间人口所占总人口比例不随时间变化而变化