例析函数最值题的几种解法.doc

例析函数最值题的几种解法南陵二中 汪后胜函数的最值求解是函数中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用.其涉及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异.本文就常用的几种方法例析如下：一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值.例1 求函数（）的最值解：，当时， 时，=.例2 求函数=()的最值解：由解析式及正弦函数的有界性得：当=时，=（）；当=时，=（）. 二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于的二次型：=.由于为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）.例3 求函数=的最值 解：分母,定义域为.原式化为=.当时，此二次方程有实根.=0，即；当=时，=，即=时，=,.= ，=.例4 求函数 =的最值 解：由=平方整理得：.由于为实数，=，故或.当函数在时，=x；在时，显然有，不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.=.三、单调性法： 如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函数的最值.例5 求函数=2的最值 解：去掉绝对值符号得：=(x)或=()或=(),由此可知：在时，为减函数且；在时，为增函数且；在 时，为增函数且.= ，= .例6 求函数=5的最值 解：由已知不等式得：=( 或=()或=(5)或=(5 )，由此可知：在时，为减函数且；在 时，为减函数且；在5 时，为增函数且；在5时，为减函数且；综上可得：=()=.四、均值不等式法：若、，=，=.当是定值，则当且仅当=时，有最小值；当是定值，则当且仅当=时，有最大值.例7 求函数=的最值 解：定义域为，=，当，即时，有=. 注：若无使等号成立，则此法无效，应改用其它方法.例8 求函数=的最值 解：定义域为R，虽然 = ，但无解，等号不成立，这说明.可将原函数式配方得 =（），视为未知元，对于、递增，递减，递增.递增，由于，（）也递增.而，时有最小值且无最大值.故当 = 时，= .五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如： =（），可令；（），可令 （）； =，可令等.例9 求函数=的最值 解：设，则，取最小值时，.故，.例10 设 、都是正数，且，求的最值解：将方程变形为.设（）是此椭圆上的点，令，则.当时， ；当时，.即函数的最小值为,最大值为. 六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法. 例11 已知实数、满足等式，求的最值 解：如图，点（）在圆上，表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线、（为切点），则的最值分别是直线、的斜率. =，即，=.整理为 ： = 0,解得,=,=. 例12 求函数的最小值 解：等价于“求动点到距离之和的最小值”，即的最小值.，当且仅当在线段上时，等号成立.故的最小值为.即原函数的最小值为. 七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位置加以解决. 例13 求函数的最小值 解：将函数变为，在直角坐标系中，设，问题可化为在轴上找一点，使的值最小.、在轴同侧，取点关于轴的对称点，连，交轴于，则直线的方程为，即.令得，点坐标为，. 例14 求函数的最大值 解：，在直角坐标系中，、，问题化为在轴上求一点，使的值最大.、在轴同侧，直线与轴的交点即为点.直线的方程为，即.得 ，点坐标为.八、利用复数的模：将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法.但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数. 例15 求函数