山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册 第一章《直角三角形的边角关系》教案 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案 北师大版教学过程：一、提出问题，明确目标师：今天这节课我们进行第一章 直角三角形的边角关系的回顾与思考（板书课题：第一章 直角三角形的边角关系）三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题，是中考的重点内容，一是特殊锐角函数值的考查，以填空，选择题的形式出现；二是解决实际问题，以解答题的形式出现；三是渗透在中高档解答证明题中，在复习时，要正确了解三角函数概念把握其本质，才能正确理解直角三角形中边角之间关系，才能利用这些关系解题，另外还要注意数形结合，解题时通过画图来找出函数关系，帮助解题下面我们对这一部分内容进行具体的复习回顾二、师生互动，复习提高（一）基础知识回顾师：首先我们来直角三角形中的边角关系如图，在rtabc中，它的三边分别用a,b,c之后，需要同学们掌握的知识点如下，请同学们快速的阅读一下课件出示：1、直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a2b2c2(2)锐角之间的关系：ab90(3)边角之间的关系：sinacosb， cosasinb tana， tanb2、三角函数的关系（1）同角的三角函数的关系 平方关系：sin2acos2a1 倒数关系：tanatanb1 商的关系：tana（2）互为余角的函数之间的关系 sin(90a)cosa， cos(90a)sina3一些特殊角的三角函数值304560sincostan14锐角的三角函数值 的符号及变化规律.(1)锐角的三角函数值都是正值(2)若090 则sin，tan随的增大而增大，cos 随的增大而减小.生阅读课件上的内容师：边角之间的关系具体所指就是我们学习的这些锐角三角函数，请同学们一定要特别注意这些锐角三角函数的比值顺序下面，我们利用这些知识来快速的解决下面的练习设计意图：生对本章知识点有了全面、清晰的认识，为下一步在解决实际问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。（二）基本应用课件出示：基本应用1如图在rtabc中，acb=90，bc=1，ab=2，则下列结论正确的是（）asina= bcosb= ctana= dtanb=师：需要的条件我已经标在了图上，请同学们来计算一下生计算师：谁来说一下自己的答案和思路？生:我选择d.因为在rtabc中，ac=，所以tanb=其他的几个选项都不对，sina=，cosb=，tana= 师：同学们赞同他的意见的请举手学生举手，教师观察，掌握学生对基本概念的理解情况师：接下来，请同学们计算一下这道题目多媒体出示：一个钢球沿坡角30的斜坡向上滚动了5米，此时钢球底部距地面的高度是 米，坡度是 ？ 师：同学们还记得什么叫做坡度吗？生：斜坡的铅直高度与水平宽度的比师：是的，坡度是一个比值，它实际上就是三角函数中的正切值其中有一点请同学们注意，在描述坡度时一般都写成“1：几”的形式我们先来看一下小球运动结束后的位置示意图现在请同学们开始计算吧学生计算师：答案是多少？生：此时钢球底部距地面的高度是2.5米，坡度是1：师：下面我们来看第三题课件出示：3如图所示，站在离旗杆be底部10米处的d点，目测旗杆的顶部，视线ab与水平线的夹角bca为34，并已知目高ad为1米旗杆的实际高度约为 米（精确到1米，参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67）师：我们不妨来做一个实验，如果不看图只看文字的话很难理解题目想表达的意思，但结合图像来看就一目了然了，这充分说明了图的重要性同学们还要注意本题对答案是有要求的：要取近似数精确到1米同学们先来思考一下生思考，整理思路师：这位同学，先来说一下你的思路生：要求旗杆的高度，要先求出bc的长利用tan34来求因为tanbca=，所以bc=actanbac100.67=6.7米，be=6.7+18米师：看来“直角三角形的边角关系”的基本应用，同学们都掌握的不错了，下面我们来看一类典型例题（三）典例分析师：希望通过这节课的分析同学们对这一类型的题目能有一个整体的把握课件出示：如图，小明在点c处测得山顶某点a的仰角为45，再往前走60米到达点d，测的山顶点a的仰角为60，求山高ab（小明的身高忽略不计，计算过程和结果均不取近似值）师：对于这种解答题，对过程的要求比较高，所以我要求大家在解答时要完整的书写出过程来，同时我安排一位同学到黑板上来板书，开始解答吧生独立在练习本上解答本题，一位同学到黑板上板书解题过程（大约四分钟时间）师：现在我们一起来看一下这位同学的板书，同时和自己的答案比对一下，看看有哪些值得学习的地方，同时看看还存在什么问题这位同学是设db的长为am,可得60+a=a，从而解得同学们先看这个思路对不对？生：对师：那在他的解答过程中有没有什么问题呢？生1：写的不够条理生2：结果没有加单位生3：最终的结果没有进行分母有理化师：同学们观察的非常仔细，希望咱们同学们不要犯同样的错误那本题还有没有其他的思路呢？生：我认为可以直接设ab的长师：是的现在我就把这种思路的完整的解题过程给大家展示一下，好让同学们清楚这些过程时那些是必要的多媒体展示：解：在rtabc中，acb=45， ab=bc 设ab=x（米）,则bd=x-60（米） 在rtabd中，adb=60 tanadb= （米）ab（米）答：山高ab为（）米师：现在我们对这道例题进行总结大家看对于这种图形是我们经常遇到的：题目中出现了两个我们熟悉的基本图形60角、45角的直角三角形，并且这两个直角三角形有一条公共的直角边，我们可以通过条件的转换把已知和所求集中到一个直角三角形中，运用锐角三角函数构建关系式进行求解这是我们在解直角三角形时常用到的思想方法下面我们来看几个变式练习（4）变式练习师：在刚才我们有标准的答题过程的情况下，同学们在做下面几道题目的时候可以稍微略写一下现在同学们先来完成这道题目多媒体出示：变式练习1：（测河宽）如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点a，再在河这边沿河边取两点d、c，使得adc=60，acd=45，量得dc长为100米，求河的宽度（即求dc边上的高，结果保留根号）师安排一生板书，其他同学在练习本上独立完成师：现在就请这位同学介绍一下自己的做法生：我先过a点作abcd ，垂足为b点，因为db=， bc=，db+bc=100米，所以+=100米，带入数值即可求出和的宽度为（）米师：说的非常好解答此类题目一定要首先把握未知量，清楚所求是什么这位同学是设ab，当然我们也可以设间接地，设db，设bc都可以现在我呈现完整的解题过程给大家比对一下多媒体出示：解：在rtacb中，acb=45ab=cb设ab=x（米），则bd=100-x（米）在在rtabd中，adb=60 tanadb= （米）ab（米）答：河的宽度为（）米师： 大家看这道题和例题实际上差不多，同学们要把握住等量关系从何而来，其实就是三角函数我们看这两道题有什么区别和联系？生：这两道题中都有60角、45角的直角三角形，并且这两个直角三角形有一条公共的直角边，不同点是例题的两个三角形在公共边的同一侧，而变式练习的两个直角三角形在公共边的两侧师：这我同学观察的非常仔细，接下来我们看一看像这样的图形还有那些组合多媒体出示：变式练习2：（侧方位）如图，一艘轮船位于灯塔p的北偏东60方向，与灯塔p的距离为80海里的a处，他沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东45方向上的b处求此时轮船所在的b处于灯塔p的距离（结果保留根号）师：同学们还记得什么是方向角吗？请看大屏幕：方向角：指南或指北方向线与目标方向线所组成的小于90的角，叫做方向角在表达的时候都是说南偏哪儿、北偏哪儿现在请同学们做一下这道题吧，如果有问题的话可以在小组内讨论一下学生尝试解答，师巡视，并适时的给予指导多数学生完成后，找一生到黑板上讲解解题思路生讲解自己的解题思路，师作评价师：这位同学讲解的非常详细，我就不做重复了，再来一起看一下本题的解题过程多媒体出示：解：过点p作pcab垂足为c，则apc=30，bpc=45，ap=80（海里）在rtapc中，cosapc=pc=pacosapc=40（海里）在rtpcb中，cosbpc=pc= = =40（海里）答：此时轮船与灯塔p的距离为40海里师：大家看，本题没有设未知数，而是直接用线段的长来表示的，这样做也是可以的，同学们也可以多多的采用这种方法下面我们再来看一看测高度的问题多媒体出示：变式练习3：（测高度）如图，小芸在自家楼房的窗户a处，测量楼前的一棵树cd的高现测得树顶c处的俯角为45，树底d处的俯角为60，楼底到大树的距离bd为20米请你帮助小芸计算树的高度（精确到0.1米）师：不忙着做，先来复习一下，俯角是指什么？生：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角师：对于站在楼上的人来说，哪个俯角是60，哪个俯角是45，一定要注意这道题我打算找两位同学来板书，看看有没有不同的做法生在练习本上独立完成，师巡视，适时做出指导，并发现思路不同的两位学生，进行板书生作图后讲解自己的思路，是做总结评价师：两位同学采用了不同的辅助线的添加方法，但最终的目的都是构建直角三角形，把这道题目有转化为我们刚才研究的那类型的题目师：现在我把刚才出现过的图形统一的展示一下多媒体出示：常见图形师：大家再来体会一下，这一类图形具有怎样共同的特点？我们如何利用三角函数来求解？学生各抒己见，师做出总结师：对于一图多变问题，常常需要找出这些图形之间的联系，构造出基本图形，然后利用直角三角形的边角关系有关知识来加以解决设计意图：透过一道“典例分析”和三道“变式练习”，引导学生发现题目间的内在联系，增强总结意识和“举一反三”的能力。三、课堂小结师：通过以上的解题过程，同学们能不能总结一下如何利用“直角三角形的边角关系”有关的知识点来解决实际问题？生：先将实际问题转化成数学问题，画出符合题意的图形，然后构造直角三角形，在运用有关知识建立关系式求解师：在解题的过程中参透了建模思想、化归思想和数形结合思想下面请同学们独立完成以下题目设计意图：发展学生归纳、概括、总结的能力，并进一步发展学生语言表达能力和演绎推理能力。四、当堂反馈1.计算(1)(2) (3) 2.在rtabc中，c=90，b=60，ab=4，求ac，bc，sina和cosa。3.如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角，把一根长为4.5 m的竹竿a c斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6 m，又量得竿顶与坝脚的距离bc=2.8 m这样就可以计算出来了请你算一算4.一块四边形空地如图所示，求此空地的面积(结果精确到0.01 m2)5海岛a的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行在点8处测得海岛a位于北偏东60，航行l2海里后到达点 c处，又测得海岛a位于北偏东30如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险?设计意图：在解题的过程中考查学生综合运用所学的知识和技能解决问题，发展学生的应用意识。让学生学会尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。五、布置作业1、课本32页，复习题第9题2、课本35页，复习题第18题3、选作题如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物abcd，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度ad和高度dc都可直接测得，从a、d、c三点可看到塔顶端h，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度hg的方案，具体需求如下： （1）测量数据尽可能少 （2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测a、d间的距离用m表示；如果测d、c间距离用n表示；如果测角用、等表示，测倾器高度不变。） （3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度hg（用字母表示）设计意图：在布置了基础型练习题后，根据 “不同学生有不同发展需要”的思想，设计了选作题，使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对三角函数的应用中渗透数形结合的思想。六、板书设计第一章 直角三角形的边角关系1、知识点(1)三边之间的关系：a2b2c2(2)锐角之间的关系：ab90(3)边角之间的关系：sinacosb， cosasinb tana， tanb2、典例分析七、教后记上完这节课感到很兴奋，享受这种状态从上课时学生活跃的思维状态就可以推测学生掌握的不错为了真正了解学生的情况，在课后我请课代表找一部分学生做了调查，果不其然，学生的反应很热烈他们说“以前的复习课，全由老师讲，我们很多同学听一会儿就分散精力，有一些学