信息及其数学表达.pdf

1999年8月系统工程理论与实践第8期 信息及其数学表达 刘开第 庞彦军 吴和琴 姚立根 河北建筑科技学院不确定性数学研究所 河北 邯郸056038 摘要 简述消息的含义 在此基础上建立了信息的概念及运算 并给出灰信息 模糊信息 未确知信息 随机信息的定义及数学表达 关键词 消息 信息 盲信息 Information then from this sets up the concept and operationsof information Further it gives the definitions andmathematicalex2 pressionsof grey information fuzzy information unascertained information random infor2 mation respectively Keywords new s information blind information 0 前言 只包含一种不确定性的信息称为单式信息 那么 人们现在认识到的单式信息有随机信息 模糊信息 灰 信息和未确知信息 并且各有相应的数学处理方法 概率与统计 模糊数学 灰色数学和未确知数学 但是 实际中 信息往往含有两种以上不确定性 如随机性与模糊性共存 这种情况下的信息处理称作 信息综合 处理 这是目前国内外研究的一个热点 王光远院士与他的博士生张跃用模糊随机微分方程去描述随机 性 模糊性共存时的模糊 随机动力系统 在信息的综合处理方面作了卓有成效的尝试 我们在信息综合处 理研究方面的思路是 分析不确定性信息自身的特点 寻求各种不确定性信息间的联系与差异 在运算一致 的前提下 建立能包含两种以上不确定性的新信息 即盲信息概念 那么 信息综合处理即是盲信息的处理 为此 必须明确信息及各种不确定性信息的概念及其数学表现 1 信息概念 定义1 1 大量物质以川流不息的特殊运动方式表现出的属性集合称为客体 定义1 2 使人们减少未知程度的客体称为消息 定义1 3 若由消息A必然得知消息B 则称A是B的子消息 记作A B 定义1 4 人们想知道的事物记为x 称x为一个欲知元 定义1 5 设x为欲知元 则一切消息对x而言可分为两类 如果消息A能使人得知x的情况 称A 为x的相关消息 记作A x 否则 称A为x的无关消息 记作A x 收稿日期 1998212204 资助项目 国家自然科学基金资助项目 编号69675003 河北省自然科学基金资助项目 编号696391 699319 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 定义1 6 设x是欲知元 U是一个消息 S是一个非空Cantor集 若U为 x在S中 则称U为x的 限位消息 对任意的消息A 若A U 则称A是x的关于限位消息U的信息 简称信息 2 信息的运算及性质 设A B C为信息 A与B的和是指这样的信息 它使人的得知相当于A或B使人的得知 记作A B A与B的积是指这样的信息 它使人的得知是A与B使人得知的公共部分 记作A B或AB A的逆信息是指这样的信息 它使人得知A信息不正确 记作A A与B的差定义为A B 记为A B 信息运算具有下列性质 性质2 1 A B B A A B B A 性质2 2 A B C A B C A B C A B C 性质2 3 A B C A C B C 性质2 4 A A A A A A 规定 在同一式中出现和与积运算时 先算积运算后算和运算 则性质2 3可写成 A B C A C B C 3 灰信息 定义3 设x是欲知元 S是非空Cantor集 S S U为 x在S中 A为 x在S 中 则称A为灰信息 取S为实数集R S 2 3 U为 x在S中 A为 x在S 中 显然 U是x的限位消息 A是关于U 的信息 由定义3知A是灰信息 信息A仅仅使人得知欲知元x是区间 2 3 中的数 并未告知x的确切值 所以 灰信息仅使人得知欲 知元所在范围 却不知范围中的具体位置 设E为论域 映射 和 为 E 0 1 u E u u 0 1 E 0 1 u E u u 0 1 并且 u u u E 则以 和 为上 下隶属函数确定的论域E上的集合G称为E的灰子集 u 和 u 分别称为元素u对集合G的上 下隶属度 若E R 则称G为灰数 如果A是灰信息 即对给定的欲知元x 存在非空Cantor集S 限位消息U为 x在S中 信息A为 x 在S 中 S S 令 u 1 u S 0 u S 且u S x 0 u S 以 u 和 u 为上 下隶属函数确定的S 上的灰子集G恰好表达了灰信息A 4 随机信息与未确知信息 定义4 设x是欲知元 S是非空Cantor集 U为 x在S中 A为 x在S中并且x是e S的可能性为 e 0 e 1 若6 e 1 称A为随机信息 若6 e 1 则称A为未确知信息 例如 x是欲知元 S是实数集R U为 x在S中 A为 x在S中并且x是1的可能性 1 1 4 x是2的 可能性 2 3 4 由定义4知 A是随机信息 若 1 1 4 2 1 3 则A为未确知信息 设A是随机信息或未确知信息 即对给定的欲知元x 存在非空Cantor集S R 限位消息U为 x在S 中 A为 x在S中并且x是e S的可能性为 e 0 e 1 6 e 1 不妨设S为有限集 令 29系统工程理论与实践1999年8月 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved x e x e S 0 x S且x R 则A m inS maxS x 是一个未确知有理数 并且恰好为信息A的数学表达 当6 e 1时 A是离散型随机变量的分布密度 当6 e 1时 A表达的是未确知信息 5 确知信息与模糊信息 定义5 设x是欲知元 S是非空Cantor集 U为 x在S中 A为 x在S中并且x是e S的从属度 为 e 则称A是模糊信息 若对任意e S 有 e 0或 e 1 则称A是确知信息 也称为白信息 设x是欲知元 S 1 2 3 U为 x在S中 A为 x在S中并且x是1的从属度 1 0 x是2的从属 度 2 1 x是3的从属度 3 0 显然A是信息 并且A是白信息 或者说由A知x 2 若A改为 x在S中 并且x是1 2 3的从属度分别为 1 0 2 1 3 3 1 4 则A为模糊信息 若将 从属度改为可能性 则A为未确知信息 若A改为 x在S中并且x是1 2 3的从属度 1 0 2 1 3 3 1 则A为模糊信息 若将从属度改为可能性 则A既不是模糊信息也不是未确知信息 因为总可能性大于 1 称A为矛盾信息 由此看出 从属度与可能性的含义是不同的 x是e S的从属度为 e 是指e这个元素实实在在有 整 体的 e部分属于x 并且不受归一化条件限制 即6 e可以大于1 而x是e S的可能性为 e 仅指可能 而已 并非说e必定有 整体的 e部分属于x 并且 e严格满足6 e 1 设E为论域 映射 满足 x E x 0 1 则以 x 为隶属函数确定了E上的一个模糊子集A x 表示E中元素x隶属于集合A的程度 若A为模糊信息 即对欲知元x 存在非空Cantor集S 限位消息U为 x在S中 A为 x是e S的从 属度为 e 0 e 1 取S为论域 令 x x x S 则以 x 为隶属函数确定了S上的一个模糊子集A A恰好为模糊信息A的数学表达 例如 甲是年青人 是个模糊信息A 令 x 1 0 x 25 1 x 25 5 2 1 25 x 50 则以 x 为隶属函数 该函数是L A Zadeh所给 确定了论域 0 50 上的一个模糊子集A A恰好是模糊 信息A的数学表达 6 盲信息 灰信息 模糊信息 未确知信息和随机信息均称为单式信息 任意复杂的信息称为信息混沌 在信息混 沌类中 最多只同时具有灰性 模糊性 未确知性和随机性四种不确定性的信息称为盲信息 由于盲信息大 量存在 所以 研究盲信息的表达和处理 即综合处理上述四种不确定性信息具有重要的理论和实践意义 参 考 文 献 1 邓聚龙 灰色系统理论教程 武汉 华中理工大学出版社 1990 2 王光远 未确知信息及其数学处理