二次函数 (4).docx

二次函数复习1. （2015宁德 第24题 4分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若ACB=PAB，求点P的坐标2. （2015福建 第24题 12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且MND=OAB，当DMN与OAB相似时，请你直接写出点M的坐标3如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F（1）求证：ABDODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MFBD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PDDQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由4（2015辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB匀速运动，到达点B时停止运动以AP为边作等边APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与AOC相似请直接写出所有符合条件的点M坐标1、考点：二次函数综合题分析：（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出ABC的度数；（3）利用ACB=PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标解答：解：（1）将点A的坐标（1，0），点C的坐标（0，3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x22x3；（2）由（1）得：0=x22x3，解得：x1=1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y=x3，B（3，0），C（0，3），BO=OC=3，ABC=45；（3）过点P作PDx轴于点D，ACB=PAB，ABC=PBA，ABPCBA，=，BO=OC=3，BC=3，A（1，0），B（3，0），AB=4，=，解得：BP=，由题意可得：PDOC，则BDPBOC，故=，则=，解得：DP=BD=，DO=，则P（，）2解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x1）21，将B点坐标代入函数解析式，得（51）2a1=3，解得a=故抛物线的解析式为y=（x1）21；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（51）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，OAB=90，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x1）21=0，解得x1=3，x2=1，D（3，0），DN=3a当MNDOAB时，=，即=，化简，得4b=a3 M在抛物线上，得b=（a1）21 联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=2，b=，M1（2，），当MNDBAO时，=，即=，化简，得b=124a ，联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=17，b=124（17）=80，M2（17，80）综上所述：当DMN与OAB相似时，点M的坐标（2，），（17，80）3分析：（1）由折叠和矩形的性质可知EDB=BCE=90，可证得EDO=DBA，可证明ABDODE；（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标解答：（1）证明：四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知BCEBDE，BDE=BCE=90，BAD=90，EDO+BDA=BDA+DAB=90，EDO=DBA，且EOD=BAD=90，ABDODE；（2）证明：=，设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，CE=DE=5x，AB=OC=CE+OE=8x，又ABDODE，=，DA=6x，BC=OA=10x，在RtBCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，抛物线解析式为y=x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，AF=，BF=ABAF=8=，在RtAFD中，由勾股定理可得DF=，BF=DF，又M为RtBDE斜边上的中点，MD=MB，MF为线段BD的垂直平分线，MFBD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，令y=0，可得0=x2+x+3，解得x=4或x=12，M（4，0），N（12，0），过D作DGBC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，点M、N即为满足条件的Q点，存在满足条件的Q点，其坐标为（4，0）或（12，0）点评：4分析：（1）直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可；（2）由特殊角的三角函数值得出DAP=60，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；（3）由于OC=，OA=3，OAOC，则OAC是含30的直角三角形，分两种情况探讨：当AMO以AMO为直角的直角三角形时；当AMO以OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+经过A（3，0），B（1，0）两点，解得，抛物线解析式为y=x2x+；则D点坐标为（2，）（2）点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tanDAP=，DAP=60，又APQ为等边三角形，点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD=2当0t2时，P在线段AO上，此时APQ的面积即是APQ与四边形AOCD的重叠面积AP=t，QAP=60，点Q的纵坐标为tsin60=t，S=tt=t2当2t3时，如图：此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，设QP与DC交于点H，DCAP，QDH=QAP=QHD=QPA=60，QDH是等边三角形，S=SQAPSQDH，QA=t，SQAP=t2QD=t2，SQDH=（t2）2，S=t2（t2）2=t当3t4时，如图：此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，OP=t3，FPO=60，OF=OPtan60=（t3），SFOP=（t3）（t3）=（t3）2，S=SQAPSQDESFOP，SQAPSQDE=tS=t（t3）2=t2+4t综上所述，S与t之间的函数关系式为S=（3）OC=，OA=3，OAOC，则OAC是含30的直角三角形当AMO以AMO为直角的直角三角形时；如图：过点M2作AO的垂线，垂足为N，M2AO=30，AO=3，M2O=，又OM2N=M2AO=3