【命题探究】高考数学知识点讲座 考点24 数列的综合问题与数列的应用（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点24数列的综合问题与数列的应用（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标等差、等比数列的综合运用；灵活运用数列知识、解决有关数列的综合问题.二.知识梳理（一）.数列的知识结构（二）.数列总论1.数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2.等差、等比数列中，a、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3.求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4.数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等（三）.等差数列1相关公式：（1）定义：（2）通项公式：（3）前n项和公式：（4）通项公式推广： 2等差数列的一些性质（1）对于任意正整数n，都有（2）的通项公式（3）对于任意的整数，如果，那么（4）对于任意的正整数，如果，则（5）对于任意的正整数n1，有（6）对于任意的非零实数b，数列是等差数列，则是等差数列（7）已知是等差数列，则也是等差数列（8）等都是等差数列（9）是等差数列的前n项和，则 仍成等差数列，即（10）若，则（11）若，则（12），反之也成立（四）.等比数列1相关公式：（1）定义：（2）通项公式：（3）前n项和公式：（4）通项公式推广：2等比数列的一些性质（1）对于任意的正整数n，均有（2）对于任意的正整数,如果，则（3）对于任意的正整数，如果，则（4）对于任意的正整数n1,有（5）对于任意的非零实数b，也是等比数列（6）已知是等比数列，则也是等比数列（7）如果，则是等差数列（8）数列是等差数列，则是等比数列（9）等都是等比数列(10)是等比数列的前n项和，当q=1且k为偶数时，不是等比数列当q1或k为奇数时， 仍成等比数列（五）.数列前n项和1.拆项法求数列的和，如an=2n+3n 2.错位相减法求和，如an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）3.分裂项法求和，如an=1/n(n+1) （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）4.反序相加法求和，如an=5.求数列an的最大、最小项的方法：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=三考点逐个突破1.等差、等比数列的综合问题例1.(1) 设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,.给出下列结论: ; ; 的值是中最大的; 使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是abcd【答案】b由得，由得，即，所以，所以正确.因为，所以，即错误.，所以错误.，而，所以使成立的最大自然数等于198，所以正确.所以选b.(2)在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:若数列满足,则该数列不是比等差数列;若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.其中所有真命题的序号是_ . 【答案】由得.，因为，所以，即数列不是比等差数列.所以正确.若数列满足，则，所以为常数，所以数列是比等差数列，且比公差，正确.若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列.当等差数列为时，有，为比等差数列.所以错误.若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误，即真命题的序号.(3) 已知数列的前项和为，且满足：，n*，（）求数列的通项公式；（）若存在n*，使得，成等差数列，是判断：对于任意的n*，且，是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解：（i）由已知可得，两式相减可得 即又所以r=0时，数列为：a，0，0，；当时，由已知（），于是由可得， 成等比数列，综上，数列的通项公式为（ii）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（i）知，对于任意的，且成等差数列，当，时，若存在，使得成等差数列，则，由（i）知，的公比，于是对于任意的，且成等差数列，综上，对于任意的，且成等差数列.2.数列与圆锥曲线知识的综合运用例2. 数列an的前n项和sn=na+(n1)nb,(n=1,2,),a,b是常数，且b0,求证an是等差数列；求证以(an,sn/n1)为坐标的点pn都落在同一直线上，并求出直线方程；设a=1,b=1/2,c是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0),求使得点p1,p2,p3都落在圆外的r的取值范围证明：根据得an=a+(n1) 2b,an是等差数列，首项为a,公比为2b由x=an=a+(n1)2b, y=sn/n1=a+(n1)b两式中消去n,得：x2y+a2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)p1(1,0),p2(2,1/2),p3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r1)2+r2r2; (r2)2+(r1/2)2r2; (r3)2+(r1)2r2 r的取值范围是(1,5/2)(0,1)(4+,+)3.数列与三角函数知识的综合运用例3. 设，在中，正数的个数是a25 b50 c75 d100【答案】d【解析】当124时，0，当2649时，0，但其绝对值要小于124时相应的值，当5174时，0，当7699时，0，但其绝对值要小于5174时相应的值，当1100时，均有0.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.4.数列与方程例4. 等差数列an中，已知公差d0,an0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (rn)是关于x的一组方程证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列1/(mr+1)是等差数列解：依题意，由an是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1 (rn),即x=1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=1;设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=ar+2/ar, 1/(mr+1)=ar/(arar+2)=ar/(2d), 1/(mr+1+1)1/(mr+1)= ar+1/(2d)ar/(2d)=1/2, 1/(mr+1)是等差数列5.数列的实际应用例5. （1）某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=03)解：用归纳法求解，第一年存量：125ax;第二年存量：125(125ax)x=a1252x(1+125);第三年存量：125a1252x(1+125)x=a1253x(1+125+1252);第20年末存量：a12520x(1+125+1252+12519)=a125204x(112520)依题意：a125204x(112520)=4a,又设y=12520lgy=20lg125=20(13lg2)=2 y=100,即12520=100x=8a/33答：每年的最大砍伐量为8a/33（2） 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为a人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：解得：,再用二项式定理进行计算可得：x4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：x4 (公顷)6.数列与函数例6. （1）对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则的前n项和是_.【答案】 【解析】曲线,曲线导数为,所以切线效率为,切点为,所以切线方程为,令得,即,所以,所以,是以2为首项,为公比的等比数列,所以. （2）已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为a b cd【答案】b 若0x1,则1x10,得f(x)=f(x1)+1=2x1, 若1x2,则0x11,得f(x)=f(x1)+1=2x2+1 若2x3,则1x12,得f(x)=f(x1)+1=2x3+2 若3x4,则2x13,得f(x)=f(x1)+1=2x4+3 以此类推,若nxn+1(其中nn),则f(x)=f(x1)+1=2xn1+n, 下面分析函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2), 由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后将函数f(x)=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f(x)=2x1和y=x的图象, 取x0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当x0时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=0. 取中函数f(x)=2x1和y=x图象1x0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位, 即得f(x)=2x1和y=x在0x1上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当0x1时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=1. 取中函数f(x)=2x1和y=x在0x1上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到f(x)=2x2+1和y=x在1x2上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当1x2时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=2. 以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3,(3,4,(n,n+1上的交点依次(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程f(x)x=0在(2,3,(3,4,(n,n+1上的根依次为3,4,n+1. 综上所述方程f(x)x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0.,1,2,3,4, 其通项公式为,选b 7.数列的求和例7. 已知等差数列的通项公式为an=3n-2,等比数列中,.记集 ,把集合u中的元素按从小到大依次排列,构成数列.()求数列bn的通项公式,并写出数列的前4项;()把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由;()求数列的前n项和【答案】解:()设等比数列的公比为q, ,则q3=8,q=2,bn=2n-1, 数列的前4项为1,4,7,10,数列bn的前4项为1,2,4,8, 数列的前4项为1,2,4,7; ()据集合b中元素2,8,32,128a,猜测数列的通项公式为dn =22n-1. dn=b2n ,只需证明数列bn中,b2n-1a,b2na(). 证明如下: b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=34n-1,即b2n+1=b2n-1+34n-1, 若mn*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+34n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1a,则b2n+1a.因为b1a,重复使用上述结论,即得b2n-1a(). 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=24n-24n-1=324n-1,即b2n+2=b2n+324n-1,因为“324n-1” 数列的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2同时属于a或同时不属于a, 当n=1时,显然b2=2a,即有b4=2a,重复使用上述结论, 即得b2na,dn =22n-1; ()(1)当n=1时,所以因为,所以s1=1; (2)当n2时,由()知,数列bn中,b2n-1a,b2na,则,且kn,使得 下面讨论正整数k与n的关系: 数列中的第n项不外如下两种情况: 或者 , 若成立,即有, 若成立,即有 , 有或者, 显然=n*,所