【四维备课】高中数学 1.4.2《正切函数的性质与图象》导学案 新人教A版必修4.doc

1.4.2正切函数的图象与性质导学案【学习目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.新授课阶段一、 正切函数的图象：当在第一象限时， 正弦线sin=bm0t余弦线cos=om0m正切线tan=at0那么，当在其它三个象限的情况呢？请同学们画abx出其他三个象限的正切线.o我们将区间进行八等分，9个点分别为分别画出其中的正切线，然后利用描点法画出正切函数的大致图象.y=tan xy由正切三角比的诱导公式可知：，那么y=，可知为y=tanx的一个周期.由此，我们可以画出y=tanx在r上的大致图象如下：0yx例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小;（2）比较与的大小.解： 二、 正切函数的性质观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质：1.定义域：，2.值域：r 观察：当从小于， 时， 当从大于，时，.3.周期性：.4.奇偶性：奇函数.5.单调性：在开区间内，函数单调递增.从图象上看出函数y=tanx的单调区间是，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察这个区间内的函数y=tanx的单调性.在这个区间内任意取，且，y1-y2=tanx1-tanx2=.因为，所以则cosx1、cosx20， sin()0,从而tanx1-tanx20，y1y2.即正切函数y=tanx在上是增函数.由奇函数的性质可知，在上正切函数y=tanx也是增函数.由于y=tanx的周期为，则函数y=tanx在开区间内单调递增.除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx，你还有什么方法能够证明它在开区间内单调递增吗？证法2：在这个区间内任意取，且,tanx1-tanx2= 因为tan(x1-x2)0.因此1+tanx1tanx20.则tanx1-tanx20, tanx1tanx2,即正切函数y=tanx在上是增函数.接下来的证明同前一种方法.说明在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在每一个单调区间上是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明之.例2 讨论函数的性质.解：例3 求下列函数的单调区间：解：变式训练1：求函数的单调区间.解： 例4 求下列函数的周期：解： 变式训练2：求解解： 例5 求函数y=tan的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.解： 课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容：正切函数y=tanx的性质：定义域：值域：全体实数r周期性：正切函数是周期函数，最小正周期t=奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx的周期是的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+t)，求出函数的周期.作业见同步练习拓展提升1. 函数的周期是 ( )(a) (b) (c) (d)2.函数的定义域为 ( )(a) (b) (c) (d)3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是( )(a) (b) (c) (d)4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_.5.给出下列命题:(1)函数y=sin|x|不是周期函数; (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是/2;(3)函数y=tanx在定义域内是增函数; (4)函数y=sin(5/2+x)是偶函数;(5)函数y=tan(2x+/6)图象的一个对称中心为(/6,0)其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确命题的序号全填上)6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域参考答案例1.解：(1)900167017301800，而y=tanx在9001800上单调增函数，tan1670tan1730(2)，又：内单调递增，例2 略解：定义域：;值域： r ; 它是非奇非偶函数;在上是增函数;令f(x)=tan(x+)=tan(x+)=tan(x+)+=f(x+)因此，函数f(x)的周期是.例3 解：数，递增区间为；单调递增区间是：.变式训练1：解：因为原函数可以化为：单调递增区间为：单调递减区间为例4 解：.变式训练2： 解：（）例5解：令u=3x-,则y=tanu，由u可得：，即函数的定义域是，y=tanu的值域为r，因此y=tan的值域为r .存在x=和x=-,使tan(3-)tan3(-)-,所以，y=tan是非奇非偶函数.由可以得到，y=tan在上是增函数