高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（2）空间向量与垂直关系课件 新人教A版选修21.ppt

3 2立体几何中的向量方法 二 空间向量与垂直关系 学习目标1 能用向量法判断一些简单线线 线面 面面垂直关系 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直关系 3 能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一向量法判断线线垂直 思考 若直线l1的方向向量为 1 1 3 2 直线l2的方向向量为 2 1 1 1 那么两直线是否垂直 用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么 答案 l1与l2垂直 因为 1 2 1 3 2 0 所以 1 2 又 1 2是两直线的方向向量 所以l1与l2垂直 2 判断两直线的方向向量的数量积是否为零 若数量积为零 则两直线垂直 否则不垂直 梳理 设直线l的方向向量为a a1 a2 a3 直线m的方向向量为b b1 b2 b3 则l m a1b1 a2b2 a3b3 0 a b 0 知识点二向量法判断线面垂直 思考 答案 垂直 因为 1 2 所以 1 2 即直线的方向向量与平面的法向量平行 所以直线l与平面 垂直 判断直线与平面的位置关系的方法 1 直线l的方向向量与平面 的法向量共线 l 2 直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线与平面平行或直线在平面内 3 直线l的方向向量与平面 内的两相交直线的方向向量垂直 l 梳理 设直线l的方向向量a a1 b1 c1 平面 的法向量 a2 b2 c2 则l a a k k r 知识点三向量法判断面面垂直 思考 平面 的法向量分别为 1 x1 y1 z1 2 x2 y2 z2 用向量坐标法表示两平面 垂直的关系式是什么 x1x2 y1y2 z1z2 0 答案 梳理 若平面 的法向量为 a1 b1 c1 平面 的法向量为 a2 b2 c2 则 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 题型探究 类型一证明线线垂直 例1已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长都为1 m是底面上bc边的中点 n是侧棱cc1上的点 且cn cc1 求证 ab1 mn 证明 设ab中点为o 作oo1 aa1 以o为坐标原点 ob为x轴 oc为y轴 oo1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 求直线的方向向量 证明向量垂直 得到两直线垂直 反思与感悟 直三棱柱abc a1b1c1底面三边长ac 3 bc 4 ab 5 ac bc c1c两两垂直 如图 以c为坐标原点 ca cb cc1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则c 0 0 0 a 3 0 0 c1 0 0 4 b 0 4 0 跟踪训练1如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac 3 bc 4 ab 5 aa1 4 求证 ac bc1 证明 类型二证明线面垂直 例2如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 证明 如图所示 取bc的中点o 连接ao 因为 abc为正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 又因为ba1 bd b 所以ab1 平面a1bd 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一 1 建立空间直角坐标系 2 将直线的方向向量用坐标表示 3 找出平面内两条相交直线 并用坐标表示它们的方向向量 4 分别计算两组向量的数量积 得到数量积为0 方法二 1 建立空间直角坐标系 2 将直线的方向向量用坐标表示 3 求出平面的法向量 4 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 跟踪训练2如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 点p为dd1的中点 求证 直线pb1 平面pac 证明 又pa pc p 所以pb1 平面pac 类型三证明面面垂直 例3在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc ab bc ab bc 2 aa1 1 e为bb1的中点 求证 平面aec1 平面aa1c1c 证明 设平面aa1c1c的法向量为n1 x y z 令x 1 得y 1 故n1 1 1 0 设平面aec1的法向量为n2 a b c 令c 4 得a 1 b 1 故n2 1 1 4 因为n1 n2 1 1 1 1 0 4 0 所以n1 n2 所以平面aec1 平面aa1c1c 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法 1 常规法 利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直 线线垂直去证明 2 向量法 证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练3在四面体abcd中 ab 平面bcd bc cd bcd 90 adb 30 e f分别是ac ad的中点 求证 平面bef 平面abc 证明 设平面abc的法向量为n1 x1 y1 z1 n1 1 1 0 为平面abc的一个法向量 设n2 x2 y2 z2 为平面bef的一个法向量 同理可得n2 1 1 n1 n2 1 1 0 1 1 0 平面bef 平面abc 当堂训练 1 下列命题中 正确命题的个数为 若n1 n2分别是平面 的法向量 则n1 n2 若n1 n2分别是平面 的法向量 则 n1 n2 0 若n是平面 的法向量 a与平面 平行 则n a 0 若两个平面的法向量不垂直 则这两个平面不垂直 a 1b 2c 3d 4 中平面 可能平行 也可能重合 结合平面法向量的概念 易知 正确 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知两直线的方向向量为a b 则下列选项中能使两直线垂直的为a a 1 0 0 b 3 0 0 b a 0 1 0 b 1 0 1 c a 0 1 1 b 0 1 1 d a 1 0 0 b 1 0 0 因为a 0 1 0 b 1 0 1 所以a b 0 1 1 0 0 1 0 所以a b 故选b 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为 2 0 4 则a l b l c l d l与 斜交 a l 答案 解析 2 3 4 5 1 4 平面 的一个法向量为m 1 2 0 平面 的一个法向量为n 2 1 0 则平面 与平面 的位置关系是a 平行b 相交但不垂直c 垂直d 不能确定 1 2 0 2 1 0 0 两法向量垂直 从而两平面垂直 答案 解析