高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用课件 苏教版必修4.ppt

2 5向量的应用 第2章平面向量 学习目标1 学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题 2 体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具 3 培养运算能力 分析和解决实际问题的能力 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一几何性质与向量的关系 思考1 证明线段平行 点共线及相似问题 可用向量的哪些知识 答案可用向量共线的相关知识 a b a b x1y2 x2y1 0 b 0 答案 设a x1 y1 b x2 y2 a b的夹角为 思考2 证明垂直问题 可用向量的哪些知识 答案可用向量垂直的相关知识 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 答案 平面几何图形的许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角等都可以由表示出来 梳理 向量的线性运算及数量积 知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为 2 通过 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 成几何关系 翻译 向量问题 向量运算 知识点三物理中的量和向量的关系 1 物理学中的许多量 如力 速度 加速度 位移都是 2 物理学中的力 速度 加速度 位移的合成与分解就是向量的 算与减法运算 向量 加法运 题型探究 类型一用平面向量求解直线方程 例1已知 abc的三个顶点a 0 4 b 4 0 c 6 2 点d e f分别为边bc ca ab的中点 1 求直线de ef fd的方程 解答 解由已知得点d 1 1 e 3 1 f 2 2 2 x 1 2 y 1 0 即x y 2 0为直线de的方程 同理可求 直线ef fd的方程分别为x 5y 8 0 x y 0 2 求ab边上的高线ch所在的直线方程 解答 解设点n x y 是ch所在直线上任意一点 4 x 6 4 y 2 0 即x y 4 0为所求直线ch的方程 反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题 首先将线段看成向量 再把坐标利用向量法则进行运算 跟踪训练1在 abc中 a 4 1 b 7 5 c 4 7 求 a的平分线所在的直线方程 设p x y 是角平分线上的任意一点 a的平分线过点a 整理得7x y 29 0 解答 类型二用平面向量求解平面几何问题 证明 例2已知在正方形abcd中 e f分别是cd ad的中点 be cf交于点p 求证 1 be cf 证明建立如图所示的平面直角坐标系 设ab 2 则a 0 0 b 2 0 c 2 2 e 1 2 f 0 1 证明 2 ap ab 反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 1 向量的线性运算法的四个步骤 选取基底 用基底表示相关向量 利用向量的线性运算或数量积找出相应关系 把几何问题向量化 2 向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系 把相关向量坐标化 用向量的坐标运算找出相应关系 把几何问题向量化 跟踪训练2如图 在正方形abcd中 p为对角线ac上任一点 pe ab pf bc 垂足分别为e f 连结dp ef 求证 dp ef 证明 证明方法一设正方形abcd的边长为1 ae a 0 a 1 方法二如图 以a为原点 ab ad所在直线分别为x轴 y轴建立平面直角坐标系 设正方形abcd的边长为1 类型三向量在物理学中的应用 命题角度1向量的线性运算在物理中的应用例3 1 在重300n的物体上系两根绳子 这两根绳子在铅垂线的两侧 与铅垂线的夹角分别为30 60 如图 求重物平衡时 两根绳子拉力的大小 解答 在 oac中 aco boc 60 aoc 30 则 oac 90 答与铅垂线成30 角的绳子的拉力是150n 与铅垂线成60 角的绳子的拉力是150n 2 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动 如果一帆船所受的风力方向为北偏东30 速度为20km h 此时水的流向是正东 流速为20km h 若不考虑其他因素 求帆船的速度与方向 解答 解建立如图所示的平面直角坐标系 风的方向为北偏东30 速度为 v1 20 km h 水流的方向为正东 速度为 v2 20 km h 设帆船行驶的速度为v 则v v1 v2 由题意 可得向量v1 20cos60 20sin60 10 10 向量v2 20 0 所以 30 所以帆船向北偏东60 的方向行驶 速度为20km h 反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路 第一种是几何法 选取适当的基底 将题中涉及的向量用基底表示 利用向量运算法则 运算律或性质计算 第二种是坐标法 通过建立平面直角坐标系 实现向量的坐标化 转化为代数运算 跟踪训练3河水自西向东流动的速度为10km h 小船自南岸沿正北方向航行 小船在静水中的速度为10km h 求小船的实际航行速度 解答 解设a b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度 aoc 60 小船的实际航行速度为20km h 按北偏东30 的方向航行 解答 命题角度2向量的数量积在物理中的应用例4已知两恒力f1 3 4 f2 6 5 作用于同一质点 使之由点a 20 15 移动到点b 7 0 1 求力f1 f2分别对质点所做的功 力f1 f2对质点所做的功分别为 99j和 3j 解答 2 求力f1 f2的合力f对质点所做的功 3 4 6 5 13 15 9 1 13 15 9 13 1 15 117 15 102 j 合力f对质点所做的功为 102j 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积 跟踪训练4一个物体受到同一平面内的三个力f1 f2 f3的作用 沿北偏东45 的方向移动了8m 其中 f1 2n 方向为北偏东30 f2 4n 方向为北偏东60 f3 6n 方向为北偏西30 求合力f所做的功 解以o为原点 正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系 如图所示 解答 当堂训练 1 2 3 4 5 1 已知一个物体在大小为6n的力f的作用下产生的位移s的大小为100m 且f与s的夹角为60 则力f所做的功w j 解析w f s f s cos f s 6 100 cos60 300 j 300 答案 解析 1 2 3 4 5 2 过点a 2 3 且垂直于向量a 2 1 的直线方程为 解析设p x y 为直线上一点 则 a 即 x 2 2 y 3 1 0 即2x y 7 0 2x y 7 0 答案 解析 1 2 3 4 5 3 用两条成120 角的等长的绳子悬挂一个灯具 如图所示 已知灯具重10n 则每根绳子的拉力大小为n 解析设重力为g 每根绳的拉力分别为f1 f2 则由题意得f1 f2与 g都成60 角 且 f1 f2 f1 f2 g 10n 每根绳子的拉力都为10n 10 答案 解析 1 2 3 4 5 22 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 o