【四维备课】高中数学 1.2.1 函数的概念备课资料素材库 新人教A版必修1.doc

1.2.1 函数的概念其他版本的例题与习题1.（苏教版)判断下列对应是否为函数：（1)x-12x,xr;（2)x1,xr;(3)xy,其中y=|x|,xr,yr;(4)ts,其中s=t2,tr,sr;(5)xy,其中y2=x,x0,+,yr;(6)xy,其中y为不大于x的最大整数，xr,yz.解：根据函数定义可以判断，(1)(2)(3)(4)(6)是函数，（5)不是函数.2.（北师大版)某山海拔7 500 m，海平面温度为25 ,气温是海拔高度的函数，而且高度每升高100 m,气温下降0.6 .请你用解析表达式表示出气温t随海拔高度x变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域.解：函数解析式为t(x)=25-0.6x100=25-3500x.函数的定义域为0，7 500，值域为-20，25.3.如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2 m，渠深1.8 m，边坡的倾角是45.(1)试用解析表达式将横断面中水面积a(单位：m2)表示成水深h(单位：m)的函数；（2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.解：（1)a（h+2)h;(2)定义域是0,1.8,值域是0,6.84;(3)图象如图1.2-1-3.备选例题与练习1.求下列函数的定义域：（1)f（x)=x+10 x-x；（2)f（x)= x-2+3+13x+7.思路分析：函数定义域是使解析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.解：（1)要使式子有意义，则有 &x+10，&x-x0x0且x-1. 函数的定义域为x|x0且x-1.（2)要使式子有意义，则有3x+70，即x-73. 函数的定义域为 x| xr且x-73.2.已知f（x)的定义域为-1，3，求f（x+1)，fx2的定义域；解： f（x)的定义域为-1，3， -1x+13. -2x2，即f（x+1)的定义域为-2，2.又-1x23， - 3x 3. fx2的定义域为- 3， 3.3.已知函数fx=x2+1,xr.(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.解：1f1-f-1=12+1-12+1=2-2=0;f2-f-2=22+1-22+1=5-5=0;f3-f-3=32+1-32+1=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意xr,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意得f-x=-x2+1=x2+1=f(x). 对任意xr,总有f(x)=f(-x).课外拓展求函数的值域函数值域就是所有函数值的集合.函数y=f(x),xa的值域是集合 y|y=fx,xa .值域是由函数的定义域和对应关系决定的，因而解题中要明确函数的定义域和对应关系.求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应关系后，值域就确定了，但求值域要注意方法，常用的方法有：1.观察法通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或者利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法.例1求下列函数的值域：(1)y= x2+5；(2)y=1x+1.解：(1) x20, x2+55， y 5. 函数的值域为 & 5,+ .(2)由1x+10，得y0. y=1x+1的值域为 y|y0 .2.配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数型值域的方法求函数的值域，这就是配方法.例2求y=x2-x+1的值域.解： y=x2-x+1=x-122+3434 ， y=x2-x+1的值域为34,+.点评：形如fx=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法，需注意定义域.3.判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等.使用此法要特别注意自变量的取值范围.形如y=ax2+bx+cmx2+nx+p（a，m中至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式法.但要注意以下三个问题：一是检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或使函数无意义，都应从值域中去掉该值；二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在；三是分子、分母必须为既约分式.例3求函数y=x2-2x+3x2+2x+3的值域.解：原函数可变形为y-1x2+2(y+1)x+3(y-1)=0.当y1时，关于x的方程有解的条件是=4y+12-12y-120，解得2- 3y2+ 3(y1).当y=1时，解得x=0，方程有解. 原函数的值域为2- 3,2+ 3.点评：使用判别式法求函数值域，关键是“关于x的二次方程有解”.本题将函数变形为y-1x2+2(y+1)x+3(y-1)=0的形式，问题转化为关于x的方程y-1x2+2(y+1)x+3(y-1)=0有解.例4已知函数f(x)=2x2+ax+bx2+1的值域为1,3，求a，b的值.思路分析：给出函数的值域求解参数时，通常将函数化成以x为未知数的方程形式，首先考虑二次项系数为0时，是否满足条件；其次，二次项系数不为0时，二次方程恒有解，此时利用0求解.解：y=2x2+ax+bx2+1， xr， y-2x2-ax+y-b=0.当y-2=0时，满足题意；当y-20时， x r， 0，即a2-4(y-2)(y-b)0，整理得4y2-4b+2y+8b-a20. 1y3， 1，3是方程4y2-4b+2y+8b-a2=0的两根，由此可解得a=2，b=2.4.换元法通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.形如y=ax+b cx+d的形式，可用换元法，即设t= cx+d，转化成二次函数再求值域（注意t0).例5求函数y=2x+ 1-x的值域.思路分析：将 1-x整体换元，问题转化为熟知的求二次函数值域问题.注意判断换元后“新元”的取值范围.解：令 1-x=t(t0)，则y=-2t2+t+2=-2t-142+178178，所以函数的值域为 -,178.点评：换元的目的是将含有较复杂成分的函数表达式化简为常见、简单的表达式.换元多用于处理可化简为二次函数的问题.需要注意的是，在换元后，新变量的定义范围.例6已知函数f(x)的值域是14,4，求g(x)=f(x)-2 fx的值域.解：因为f(x)14,4，所以 fx12,2，设 fx=t12,2，所以ht=t2-2t=t-12-1-1,0，所以函数g(x)的值域为-1,0.点评：（1)换元法是一种常用的数学变换方法，换元后一定要先求出新变元的取值范围；（2)求二次函数在给定区间上的值域时，宜采用数形结合的方法，即画出二次函数在给定区间上的图象，结合图象观察值域.5.分离常数法形如y=cx+dax+b(ac0,adbc)的函数，一般先分离常数，再利用反比例函数求值域.变形过程为cx+dax+b=caax+b+d-bcaax+b=ca+d-bcaax+b，再结合x的取值范围确定d-bcaax+b的取值范围，从而确定函数值域.例7求y=x2-xx2-x+1的值域.解：y=x2-x+1-1x2-x+1=1-1x2-x+1，而x2-x+1=(x-12)2 +3434，即01x2-x+143， -13y1.即y=x2-xx2-x+1的值域为-13,1.点评：分离常数仅仅是一个步骤，有时分离常数后结论就很明显，而有时分离常数后，还需要用其他方法才能求出.反馈练习 求下列函数的值域：（1)y=5x-14x+2；（2)y=x2-4x+32x2-x-1；（3)y=2x2+4x-7x2+2x+3；（4)y=2x- x-1.思路分析：根据各个式子不同的结构特点，选择不同的方法.解：（1)分离常数，借助反比例函数的特征求解.y=5x-14x+2=544x+2-1-1044x+2=544x+2-1444x+2=54-724x+2. 724x+20， y54. 函数的值域为 yr| y54 .（2) y=x2-4x+32x2-x-1=x-1x-3x-12x+1=x-32x+1(x1)，又x-32x+1=122x+1-722x+1=12-722x+1.当x=1时，x-32x+1=1-321+1=-23. 函数的值域为yr|y12且y-23.（3)该函数的分子、分母分别是关于x的二次式，因而可考虑转化为关于x的二次方程，然后利用判别式求值域.已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7，即y-2x2+2(y-2)x+3y+7=0.当y2时，将上式视为关