【备战】高考数学专题讲座 第19讲 高频考点分析之数列探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第19讲：高频考点分析之数列探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。数列是高考数学的必考内容，全考查的比重不小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数和导数、三角函数、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点和难点。从解题思想方法的规律着眼，高考数学中主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程(组)； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用等。从题型的角度，高考中数列问题主要有以下几种：1. 等差、等比数列的相关知识；2. 裂项求和法的运用：3. 逐商求积法的运用：4. 错位相减法的运用：5. 周期（循环）数列（扩展）的运用：6. 数列特征方程的应用；7. 数列与函数（方程）的综合应用；8. 数列与三角函数的综合应用。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上八方面探讨数列问题的求解。一、等差、等比数列的相关知识：包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或可直接转化为等差、等比数列的数列。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知数列的前项和为，则=【 】a. b. c. d.【答案】b。【考点】数列的通项公式和求和公式的应用。【解析】，即。 又，。，即。 。当时，是公比为的等比数列。 。故选b。例2. （2012年全国课标卷理5分）已知为等比数列，则【 】 【答案】。【考点】等比数列。【解析】为等比数列， 或。 由 得，即；由 得，即。故选。例3. （2012年北京市文5分）已知为等比数列，下面结论中正确的是【 】a. b. c.若a1=a3，则a1=a2 d.若a3a1，则a4a2【答案】b。【考点】等比数列的基本概念，均值不等式。【解析】本题易用排除法求解：设等比数列的公比为，则 a，当时，此时，选项错误。 b. 根据均值不等式，有，选项正确。 c. 当时，a1=a3，但a1=a2 ，选项错误。 d. 当时，选项错误。故选b。例4. （2012年安徽省文5分）公比为2的等比数列 的各项都是正数，且 =16，则【 】 【答案】【考点】等比数列。【解析】等比数列 的公比为2，且 =16，即。 又等比数列各项都是正数，。故选。例5. （2012年福建省理5分） 等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为【 】a1 b2 c3 d4【答案】b。【考点】等差数列的通项。【解析】设等差数列an的公差为，根据已知条件得： 即 解得2d4，所以d2。故选b。例6. （2012年辽宁省理5分）在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和s11=【 】(a)58 (b)88 (c)143 (d)176【答案】b。【考点】等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式。【解析】在等差数列中，。故选b。例7. （2012年辽宁省文5分）在等差数列an中，已知，则=【 】(a) 12 (b) 16 (c) 20 (d)24【答案】b。【考点】等差数列的通项公式。【解析】， 。故选b。例8. （2012年重庆市理5分）在等差数列中，则的前5项和=【 】 a.7 b.15 c.20 d.25 【答案】b。【考点】等差数列的性质。【分析】利用等差数列的性质，可得，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论：等差数列中，。故选b。例9. （2012年全国课标卷文5分）等比数列的前n项和为sn，若s3+3s2=0，则公比q= 【答案】。【考点】等比数列。【解析】等比数列的前n项和为sn，。 又s3+3s2=0，即，解得。例10. （2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和。若，则= ； 【答案】1；。【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得 。 。例11. （2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，则。【答案】。【考点】等差数列。【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得， 解得，舍去负值，。例12. （2012年广东省文5分）若等比数列满足，则 【答案】。【考点】等比数列的性质。【解析】是等比数列,。=。例13. （2012年江西省理5分）设数列都是等差数列，若，则 。【答案】35。【考点】等差中项的性质，整体代换的数学思想。【解析】数列都是等差数列，数列也是等差数列。由等差中项的性质，得，即，解得。例14. （2012年江西省文5分）等比数列的前项和为，公比不为1。若，且对任意的都有，则= 。【答案】11【考点】数列递推式，数列的求和。【解析】设等比数列的公比为。 ，即。 解得 =2，或 =1（舍去）。 。例15. （2012年浙江省理4分）设公比为的等比数列的前项和为若，则 【答案】。【考点】等比数列的性质，待定系数法。【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：，两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。例16. （2012年辽宁省理5分）已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an = 。【答案】。【考点】等比数列的通项公式。【解析】设等比数列an的公比为。，。，。又，。解得或。又等比数列an为递增数列，舍去。例17. （2012年辽宁省文5分）已知等比数列an为递增数列.若,且 ,则数列an的公比 = .【答案】2。【考点】等比数列的通项公式。【解析】，即，解得或。 数列为递增数列，且，。例18.（2012年重庆市文5分）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 【答案】5。【考点】等比数列的前项和。【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前项和公式，运算求得结果：。例19. （2012年山东省文12分）已知等差数列的前5项和为105，且.()求数列的通项公式；()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.【答案】解：()由已知得：，解得。通项公式为。(ii)由，得，即，是公比为49的等比数列。【考点】等差数列和等比数列的性质。【解析】（）根据已知条件不求出和即可求出数列的通项公式。（）由（）和题设得不等式，解出后根据条件得到是公比为49的等比数列，再求和。例20. （2012年湖北省理12分）已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.（）求等差数列的通项公式；（ii）若成等比数列，求数列的前n项的和。【答案】解：（）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 由等差数列通项公式可得，或。等差数列的通项公式为，或。 （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件。 记数列的前项和为，当时，；当时，；当时， 。当时，满足此式。综上， 【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。【解析】（）设等差数列的公差为，根据等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。（ii）对（）的结果验证符合成等比数列的数列，应用等差数列前n项和公式分，分别求解即可。例21. （2012年湖南省理12分）已知数列an的各项均为正数，记a（n）=a1+a2+an，b（n）=a2+a3+an+1，c（n）=a3+a4+an+2，n=1,2，（）若a1=1，a2=5，且对任意nn，三个数a（n），b（n），c（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式.()证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数a（n），b（n），c（n）组成公比为q的等比数列.【答案】解：（）对任意,三个数是等差数列，即，。a1=1，a2=5，。数列是首项为，公差为的等差数列，即。（）（）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有。由知，均大于，于是，即。三个数组成公比为的等比数列。（）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则。得即。由有即，从而。，。数列是首项为，公比为的等比数列。综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意nn，三个数组成公比为的等比数列。【考点】等差数列、等比数列的定义、性质，充要条件的证明。【解析】（）由等差数列定义可得。（）从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证。例22. （2012年湖南省文13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.【答案】解：（）由题意得，。（）由（）得。整理得。由题意，解得。该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元。【考点】递推数列问题在实际问题中的应用。【解析】（）建立数学模型，得出与an的关系式。 （）把（）中的迭代，即可以解决。例23. （2012年重庆市文13分）已知为等差数列，且（）求数列的通项公式（6分）； （）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值（7分）。【答案】解：（）设数列 的公差为，由题意知，解得。（）由（）可得， 成等比数列，即，即 。解得 或（舍去）。【考点】等比数列的性质，等差数列的通项和前项和公式。【分析】（）设等差数列的公差等于，则由可得关于和的二元一次方程组，解出即可求得数列的通项公式。（） 由（）可得的前项和为，再由 成等比数列，得a即可求得正整数的值。例24. （2012年陕西省文12分）已知等比数列的公比为.（i）若，求数列的前项和；（）证明：对任意，成等差数列【答案】解：（1）由通项公式可得，得。 由等比数列求和公式得数列的前项和为。（）证明：，即。对任意，成等差数列。【考点】等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质，等差数列的确定。【解析】（i）由 ，以及可得 ，代入等比数列的前项和公式，运算求得结果。（）对任意，化简可得=0，故成等差数列。例25.（2012年陕西省理12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列.【答案】解：（1）设数列的公比为（），由成等差数列，得，即。由得，解得。的公比不为1，舍去。 。 （2）证明：对任意，对任意，成等差数列。【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。【解析】（1）设数列的公比为（），利用成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列的公比。（2）对任意，可证得，从而得证。另解：对任意，所以，对任意，成等差数列。例26.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。例27.（2012年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则 .【答案】。【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，。二、裂项求和法的运用：裂项求和法是把一个数列分成几个可直接求和的数列（等差、等比数列），适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为【 】a b c d【答案】a。【考点】等差数列的通项公式和前项和公式的运用，裂项求和的综合运用。【解析】通过已知，列式求解，得到公差与首项，从而得的通项公式，进一步裂项求和：设等差数列的公差为，则由可得。故选a。例2. （2012年山东省理12分）在等差数列中，。（）求数列的通项公式；（）对任意mn，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和。【答案】解：（）由可得。而，则。，即。（）对任意mn，即，而，由题意可知。，即。【考点】等差数列的性质，数列的求法。【解析】（）根据已知条件不求出和即可求出数列的通项公式。（）由（）和将数列中落入区间内得不等式，解出后根据条件得到，再求和。三、逐商求积法的运用：逐商求积法是利用恒等式求通项的方法，适用于的递推数列通项公式，其中可求前积。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷文12分）已知数列中， =1，前n项和（1）求，（2）求的通项公式。【答案】解：（1）由 =1，得，解得。 同理，解得。（2），。 ，即。 。 ，即。 由 =1，得。 的通项公式为。【考点】数列。【解析】（1）由已知条件，可直接求出。 （2）由求出，两式相减，求出。从而各项相乘即可求得的通项公式。四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如的数列，其中为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。典型例题：例1. （2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（）求数列的通项公式；（）设，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（）取n=1，得，。 若=0，则=0, 当n时，。 若，则，有当n时，两个相减得：，。数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0, 则 ；若，则。（）当且时，令，则。 是单调递减的等差数列（公差为lg2） 则 b1b2b3b6=；当n7时，bnb7=。数列lg的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（i）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。 （ii）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。例2. （2012年天津市理13分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记，证明.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。()证明：由（1）得， ； ；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例3. （2012年天津市文13分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式； ()记，证明。【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。()证明：由（1）得， ； ；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例4. （2012年广东省理14分）设数列的前n项和为sn，满足且成等差数列。（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有.【答案】解：（1）且成等差数列 ，解得。即。（2） ，得。，。，。数列成首项为，公比为的等比数列，。 。（3）（当n=1时，取等号。）， （当且仅当n=1时，取等号）。【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。【解析】（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。（2）由，两式相减即可得，可知，数列成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。（3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。因此。例5. （2012年广东省文14分）设数列的前项和，数列的前项和为，满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式【答案】解：（1）当时，。 ，解得。（2） ， 当时， ，得： ，此式对也成立。当时， 。得：，即 。是以为首项，2为公比的等比数列。 ，即，。【考点】数列递推式，等比数列的性质。【解析】（1）当时，。由得解得。 （2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。例6. （2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1）当n时，snn2kn取最大值，即8skk2k2k2，k216，k4。n(n2)。又a1s1，ann。（2）设bn，tnb1b2bn1， tn2tntn2144。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n时，取得最大值，代入可求，然后利用可求通项，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解。（2）设bn，可利用错位相减求和即可。例7. （2012年江西省文12分）已知数列的前项和（其中，为常数），且（1）求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1），当时，。则，。=2。，即，解得=2。（）。当=1时，。综上所述。（2）， ， 。得，即。【考点】数列的求和，等比数列的通项公式。【解析】（1）先根据前项和求出数列的通项表达式；再结合求出，即可求出数列的通项。（2）直接利用错位相减法求和即可。例8. （2012年浙江省文14分）已知数列an的前n项和为sn，且sn=，nn，数列bn满足an=4log2bn3，nn.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和tn.【答案】解：（1）由sn=，得 当n=1时，；当n2时，nn。由an=4log2bn3，得，nn。（2）由（1）知，nn，。，nn。【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。【解析】（1）由sn=，作即可求得an；代入an=4log2bn3，化为指数形式即可求得bn。 （2）由an，bn求出数列anbn的通项，得到，从而作即可求得t。例9. （2012年重庆市理12分）设数列的前项和满足，其中. （i）求证：是首项为1的等比数列；（5分） （ii）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.（7分）【答案】证明：（），。 。 ，。 ，。 。是首项为1，公比为的等比数列。（ii）当=1或=2时，易知成立。当时，成立。当时，。当时，上面不等式可化为，设，当时， 。当时，所要证的不等式成立。当时，令，则。在（0，1）上递减。在（0，1）上递增。当时，所要证的不等式成立。 当时，由已证结论得：。当时，所要证的不等式成立。综上所述，当且时，。当且仅当=1,2或时等号成立。【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。【分析】（i）根据，得，两式相减，即可证得是首项为1，公比为的等比数列。（ii）当=1或=2时和当时， 成立。当时，分，三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。五、周期（循环）数列（扩展）的运用：对于数列an，如果存在一个常数t,对于任意整数nn，使得对任意的正整数恒有ai=a(i+t)成立，则称数列an是从第n项起的周期为t的周期数列。典型例题：例1. （2012年全国课标卷文5分）数列满足，则的前60项和为【 】（a）3690 （b）3660 （c）1845 （d）1830【答案】d。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出的通项：由得， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（）。，的四项之和为（）。设（）。则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，的前项和=的前15项和=。故选d。例2. （2012年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=.；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是.【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知；依次类推；，；b2+b4+b6+b8=。（2）由（1）知cm的最大值为。例3. （2012年上海市文18分）对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（4分）（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（6分）（3）设，常数，若，是的控制数列，求（8分）【答案】解：（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。 （2）证明：，。，即。 。 （3）对，； ；。 比较大小，可得。 ，即； ，即。 又，。 = = =。 【考点】数列的应用。【解析】（1）根据题意，可得数列。（2）依题意可得，又，从而可得，整理即证得结论。（3）根据，可发现，；。通过比较大小，可得，而，从而可求得的值。六、数列特征方程的应用：所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：1. 形如的数列，一般是令，解出，则是公比为的等比数列 。2. 形如的数列，一般是令，解出，则 当时, ，其中为待定系数，可根据初始值求出；当时，其中为待定系数，可根据初始值求出。3. 形如的数列，一般是令，解出，则 当时，为等比数列；当时，为等差数列。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理12分）函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。（1）证明：；（2）求数列的通项公式。【答案】解：（1），点在函数的图像上。 由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。直线的直线方程为。令，可求得，解得。下面用数学归纳法证明：当时，满足，假设时，成立，则当时，由得，即，。也成立。综上可知对任意正整数恒成立。下面证明：，由得，。即。综上可知恒成立。 （2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或。 ，。两式相除可得。而数列是以为首项以为公比的等比数列。【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明，运用差值法证明，从而得证。 （2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。七、数列与函数（方程）的综合应用：数列与函数的结合，利用函数的性质体现数列的变化。典型例题：例1. （2012年四川省文5分）设函数，是公差不为0的等差数列，则【 】a、0 b、7 c、14 d、21【答案】d。【考点】高次函数的性质，等差数列性质。【解析】是公差不为0的等差数列，记公差为。 。 则 。，。设，则。故选d。例2. （2012年安徽省理5分）公比为等比数列的各项都是正数，且，则【 】 【答案】。【考点】等比数列，分数指数幂，对数。【解析】是等比数列，且，。 又等比数列的各项都是正数，。 。 。故选。例3. （2012年湖北省理5分）定义在（-，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在（-，0）（0，+）上的如下函数：；。则其中是“保等比数列函数”的的序号为【 】a. b. c. d.【答案】c。【考点】等比数列的判定，新定义。【解析】逐一检验：令等比数列的公比为，对，是等比数列；对，不一定是常数，不一定是等比数列； 对，是等比数列；对，举个特例，令是等差数列不是等比数列。从而是“保等比数列函数”的的序号为，故选c。例4. （2012年江西省文5分） 观察下列事实的不同整数解的个数为4 ，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12 .则的不同整数解的个数为【 】a.76 b.80 c.86 d.92【答案】b。【考点】归纳推理，等差数列的应用。【解析】观察可得不同整数解的个数4，8，12，可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为，则所求为第20项，所以。故选b。例5. （2012年上海市文4分）已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是 【答案】。【考点】数列的概念、组成和性质，函数的概念。【解析】根据题意，并且，得到。 当为奇数时，。 当为偶数时，由，得到，解得（负值舍去）。 由得，解得。 当为偶数时，。 。例6. （2012年四川省理12分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】解：（）取n=1，得 取n=2，得 由，得 （1）若=0, 由知=0。 （2）若，则, 由得：。（）当时，由（i）知，。当时，有 ， ，即=。 令，则 数列是以为公差，且单调递减的等差数列。b1b2b3b7=；当n8时，bnb8=。n=7时，取得最大值，且的最大值为=。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（）取n=1和n=2可得关于，的方程，解之即得。 （）作差求得，代入，根据对数的性质求解。八、数列与三角函数的综合应用：数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化。典型例题：例1. （2012年四川省理5分）设函数，是公差为的等差数列，则【 】a、 b、 c、 d、【答案】d。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】，。是公差为的等差数列，。，解得。故选d。关于， 可化为。由，设，作图可得二者交点在处：例2. （2012年安徽省文13分）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（）求数列；（）设的前项和为，求。【答案】解：（i），。 令，解得。 当