【备战】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题10 圆锥曲线 文.doc

1 备战备战 2013 2013 高考数学高考数学 5 5 年高考真题精选与最新模拟年高考真题精选与最新模拟 专题专题 1010 圆锥曲线圆锥曲线 文文 2012 2012 年高考真题精选年高考真题精选 1 2012 高考新课标文 4 设 12 ff是椭圆 22 22 1 0 xy eab ab 的左 右焦点 p为直线 3 2 a x 上一点 12pf f 是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a 1 2 b 2 3 c d 2 2012 高考新课标文 10 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线xy16 2 的准线 交于 a b两点 4 3ab 则c的实轴长为 a2 b 2 2 c d 3 2012 高考山东文 11 已知双曲线 1 c 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为 2 若抛物线 2 2 2 0 cxpy p 的焦点到双曲线 1 c的渐近线的距离为 2 则抛物线 2 c的方程为 a 2 8 3 3 xy b 2 16 3 3 xy c 2 8xy d 2 16xy 2 答案 d 解析 抛物线的焦点 2 0 p 双曲线的渐近线为x a b y 不妨取x a b y 即0 aybx 焦点到渐近线的距离为2 2 22 ba p a 即cbaap44 22 所以 4 p a c 双曲线的离心率为 2 a c 所以2 4 p a c 所以8 p 所以抛物线方程为yx16 2 选 d 4 2012 高考全国文 5 椭圆的中心在原点 焦距为4 一条准线为4x 则该椭圆的方程为 a 22 1 1612 xy b 22 1 128 xy c 22 1 84 xy d 22 1 124 xy 5 2012 高考全国文 10 已知 1 f 2 f为双曲线 22 2c xy 的左 右焦点 点p在c上 12 2 pfpf 则 12 cosfpf a 1 4 b 3 5 c 3 4 d 4 5 6 2012 高考浙江文 8 如图 中心均为原点 o 的双曲线与椭圆有公共焦点 m n 是双曲线的两顶点 若 m o n 将椭圆长轴四等分 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 3 a 3 b 2 c 3 d 2 7 2012 高考四川文 9 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点 0 2 my 若 点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om a 2 2 b 2 3 c 4 d 2 5 8 2012 高考四川文 11 方程 22 ayb xc 中的 2 0 1 2 3 a b c 且 a b c互不相同 在所有这 些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 a 28 条 b 32 条 c 36 条 d 48 条 答案 b 解析 本题可用排除法 2 0 1 2 3 a b c 5 选 3 全排列为 60 这些方程所表示的曲线要是 抛物线 则0a 且0b 要减去242 2 4 a 又22或 b时 方程出现重复 重复次数为 4 所以不 同的抛物线共有 60 24 4 32 条 故选 b 4 9 2012 高考上海文 16 对于常数m n 0mn 是 方程 22 1mxny 的曲线是椭圆 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 mn 0 0 0 n m 或 0 0 n m 方程 22 nymx 1 表示的曲线是椭圆 则一定有 0 0 n m 故 mn 0 是 方程 22 nymx 1 表示 的是椭圆 的必要不充分条件 10 2012 高考江西文 8 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右顶点分别是 a b 左 右焦点分别是 f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 a 1 4 b 5 5 c 1 2 d 5 2 11 2012 高考湖南文 6 已知双曲线 c 2 2 x a 2 2 y b 1 的焦距为 10 点 p 2 1 在 c 的渐近线上 则 c 的方程为 a 2 20 x 2 5 y 1 b 2 5 x 2 20 y 1 c 2 80 x 2 20 y 1 d 2 20 x 2 80 y 1 w ww zzy 由 0 18 5 x 得 0 57 5 y 它们满足 式 故点 的坐标为 2 3 或 2 3 或 1857 55 或 1857 55 2011 2011 年高考真题精选年高考真题精选 1 2011 年高考海南卷文科 9 已知直线l过抛物线 c 的焦点 且与 c 的对称轴垂直 l与 c 交于 a b 两 点 ab 12 p 为 c 的准线上一点 则abp 的面积为 a 18 b 24 c 36 d 48 答案 c 解析 因为 ab 过抛物线的焦点且与对称轴垂直 所以线段 ab 是抛物线的通径 长为212p 所以 15 6p 又点 p 到 ab 的距离为焦参数p 所以abp 的面积为 2 1 236 2 ppp 故选 c 2 2011 年高考安徽卷文科 3 双曲线xy 的实轴长是 a 2 b c 4 d 4 3 2011 年高考浙江卷文科 9 已知椭圆 22 1 22 1 xy c ab a b 0 与双曲线 2 2 2 1 4 y cx 有公共的焦 点 2 c的一条渐近线与 1 c 2 c的长度为直径的圆相交于 a b两点 若 1 c恰好将线段ab三等分 则 a 2 13 2 a b 2 13a c 2 1 2 b d 2 2b 答案 c 解析 由 1 c恰好将线段 ab 三等分得 1 3 3 a a x xx x 由 22 2 5 5 a yx xa xy 52 5 1515 xa ya 22 22 22 52 5 52 5 1515 111 1515 a a a aab ab 在椭圆上 又 222 1 5 2 abb 故选 c 4 2011 年高考天津卷文科 6 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左顶点与抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点的距离为 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲 线的焦距为 a 2 3 b 2 5 c 4 3 d 4 5 16 5 2011 年高考福建卷文科 11 设圆锥曲线 i 的两个焦点分别为 f1 f2 若曲线 i 上存在点 p 满足 1 pf 12 ff 2 pf 4 3 2 则曲线 i 的离心率等于 a 13 22 或 b 2 2 3 或 c 1 2 2 或 d 23 32 或 答案 a 解析 由 1 pf 12 ff 2 pf 4 3 2 可设 1 4pfk 12 3ffk 2 2pfk 若圆锥曲线为椭 圆 则26ak 23ck 1 2 e 若圆锥曲线为双曲线 则22ak 23ck 3 2 e 故选 a 6 2011 年高考陕西卷文科 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程是 a 2 8yx b 2 4yx c 2 8yx d 2 4yx 答案 c 解析 设抛物线方程为 2 yax 则准线方程为 4 a x 于是2 4 a 8a 故选 c 7 2011 年高考湖南卷文科 6 设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为320 xy 则a的值为 a 4 b 3 c 2 d 1 答案 c 解析 由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a 故可知2a 8 2011 年高考湖北卷文科 4 将两个顶点在抛物线 2 2 0 ypx p 上 另一个顶点是此抛物线焦点的 正三角形个数记为 n 则 a 0n b 1n c 2n d 3n 答案 c 17 解析 设满足条件的正三角形的三顶点为 a b f 0 2 p 依题意可知 a b 必关于 x 轴对称 故设 2 0 0 2 y ay p 0 0 y 则 2 0 0 2 y by p 则 0 2aby 故由抛物线定义可得 2 0 22 yp af p 则由 abaf 解得 22 00 40ypyp 由判别式计算得 0 故有两个正三角形 可知选 c 9 2011 年高考辽宁卷文科 7 已知 f 是抛物线 2 yx 的焦点 a b 是该抛物线上的两点 af bf 3 则线段 ab 的中点到 y 轴的距离为 a 3 4 b 1 c 5 4 d 7 4 10 2011 年高考四川卷文科 14 双曲线 22 1 6436 xy 上一点 p 到双曲线右焦点的距离是 4 那么点 p 到 左准线的距离是 11 2011 年高考全国卷文科 16 已知f1 f2分别为双曲线c 2 9 x 2 27 y 1 的左 右焦点 点 a c 点 m 的坐标为 2 0 am 为 f1af2的平分线 则 af2 已知f1 f2分别为双曲线c 2 9 x 2 27 y 1 的左 右焦点 点 a c 点 m 的坐标为 2 0 am 为 f1af2 的平分线 则 af2 答案 6 解析 12 6 0 6 0 ff 由角平分线的性质得 11 22 8 2 4 affm afmf 18 又 12 2 36afaf 2 6af 12 2011 年高考山东卷文科 22 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆 2 2 1 3 x cy 如图所示 斜率为 0 k k 且不过原点的直线 l交椭圆c于a b两点 线段ab的中点为e 射线oe交椭圆c于点g 交直线3x 于点 3 dm 求 22 mk 的最小值 若 2 ogod oe i 求证 直线l过定点 ii 试问点b g能否关于x轴对称 若能 求出此时abga的外接圆方程 若不能 请说明理 由 19 线l的斜率为 2 2 3 3 1 3 m m k m 又因为 1 m k 所以解得 2 1m 或 6 又因为 2 30m 所以 2 6m 舍 去 即 2 1n 此时 k 1 m 1 e 3 4 1 4 ab 的中垂线为 2x 2y 1 0 圆心坐标为 1 0 2 g 3 2 1 2 圆 半径为 5 2 圆的方程为 22 15 24 xy 综上所述 点b g关于x轴对称 此时abga的外接圆的 方程为 22 15 24 xy 13 2011 年高考江西卷文科 19 本小题满分 12 分 已知过抛物线 02 2 ppxy的焦点 斜率为22的直 20 线交抛物线于 12 a x y 22 b xy 12 xx 两点 且9 ab 1 求该抛物线的方程 2 o为坐标原点 c为抛物线上一点 若oboaoc 求 的值 14 2011 年高考福建卷文科 18 本小题满分 12 分 如图 直线 l y x b 与抛物线 c x2 4y 相切于点 a 1 求实数 b 的值 11 求以点 a 为圆心 且与抛物线 c 的准线相切的圆的方程 解析 i 由 2 4 yxb xy 得 2 440 xxb 因为直线l与抛物线 c 相切 所以 2 4 4 4 0b 解得1b ii 由 i 可知1b 故方程 即为 2 440 xx 解得2x 将其代入 2 4xy 得 y 1 故 点 a 2 1 21 因为圆 a 与抛物线 c 的准线相切 所以圆心 a 到抛物线 c 的准线 y 1 的距离等于圆 a 的半径 r 即 r 1 1 2 所以圆 a 的方程为 22 2 1 4xy 15 2011 年高考湖南卷文科 21 已知平面内一动点p到点 f 1 0 的距离与点p到y轴的距离的 等等于 1 i 求动点p的轨迹c的方程 ii 过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 l l 设 1 l与轨迹c相交于点 a b 2 l与轨迹c相 交于点 d e 求ad eb 的最小值 1212 2 4 2 1xxx x k 因为 12 ll 所以 2 l的斜率为 1 k 设 3344 d xyb xy则同理可得 2 3434 24 1xxkx x 故1234 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 2 1 1 24 1 1 84 ad ebaffdeffb af efaf fbfd effd fb affbfdef xxxx k k k k a aaaa aa 2 2 1 84 216k k a 22 当且仅当 2 2 1 k k 即1k 时 ad eb 取最小值 16 16 2011 年高考陕西卷文科 17 本小题满分 12 分 设椭圆 c 22 22 10 xy ab ab 过点 0 4 离心率为 3 5 求 c 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 c 所截线段的中点 坐标 17 2011 年高考四川卷文科 21 本小题共 12 分 过点 0 1 c的椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 椭圆与x轴交于两点 0a a 0 ba 过点c的直线l与椭圆交于另一点d 并与x轴交于点p 直线ac与直线bd交于点q i 当直线l过椭圆右焦点时 求线段cd的长 当点 p 异于点 b 时 求证 op oq 为定值 23 18 2011 年高考全国卷文科 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知o为坐标原点 f为椭圆 2 2 1 2 y c x 在y轴正半轴上的焦点 过f且斜率为2 的直线l与 c交与a b两点 点p满足0 oaobop 证明 点p在c上 设点p关于点o的对称点为q 证明 a p b q四点在同一圆上 24 2 1 2 1212 2 4 2 2 1121 3 21 3 xxyy y xx x 2 1 4 2 d 则ab的中垂线为 4 1 2 2 xy 则 pq的中垂线与ab 的中垂线的交点为 8 1 8 2 o 8 113 qopo 25 8 1 8 2 o 到直线ab的距离为 8 33 3 1 8 1 8 2 2 d 2 23 43 21 2 21 2 21 2 21 xxxxyyxxab 8 113 2 2 2 d ab boao 即 qopoboao a p b q四点在同一圆上 19 2011 年高考湖北卷文科 21 本小题满分 13 分 平面内与两定点 12 0 0 0 aaa aa连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹 加 上 a1 a2两点所在所面的曲线 c 可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线 c 的方程 并讨论 c 的形状与 m 的位置关系 当 m 1 时 对应的曲线为 c1 对给定的 1 0 0 m 对应的曲线为 c2 设 f1 f2是 c2的两个焦点 试问 在 c1上 是否存在点 n 使得 f1nf2的面 积 2 sm a 若存在 求 12 tanf nf的值 若不存在 请说明理由 本小题主要考查曲线与方程 圆锥曲线等基础知识 同时考查推理运算的能力 以及分类与整合 和数形结合的思想 解析 1 设动点为 m 其坐标 x y 当xa 时 由条件可得 2 12 22 yyy kmkmm xa xaxa 即 222 mxymaxa 又 12 0 0 aaa a 的坐标满足 222 mxyma 故依题意 曲线 c 的方程为 222 mxyma 当1m 时 曲线 c 的方程为 22 22 1 xy ama c 是焦点在y轴上的椭圆 当1m 时 曲线 c 的方程为 222 xya c 是圆心在原点的圆 当10m 时 曲线 c 的方程为 22 22 1 xy ama c 是焦点在x轴上的椭圆 当0m 时 曲线 c 的方程为 22 12 1 xy ama c 是焦点在x轴上的双曲线 2 由 1 知 当1m 时 c1的方程为 222 xya 26 当 1 0 0 m 时 c2的两个焦点分别为 12 1 0 1 0 famf am 对于给定的 1 0 0 m c1上存在点 000 0 n xyy 使得 2 sm a 的充要条件是 222 000 2 0 0 1 21 2 xyay am ym a 由 得 0 0 ya 由 得 0 1 m a y m 当 0 1 m a a m 即 15 0 2 m 或 15 0 2 m 时 存在点 n 使 2 sm a 当 1 m a a m 即 15 1 2 m 或 15 2 m 时 不存在满足条件的点 n 当 1515 0 0 22 m 时 由 100200 1 1 nfamxynfamxy 可得 2222 1200 1 nfnfxm ayma 令 112212 fnf nfrnfr 则由 2 121 2cos nfnfrrma 可得 2 1 2 cos ma rr 从而 2 2 1 2 1sin1 sintan 22cos2 ma srrma 于是由 2 sm a 可得 22 1 tan 2 mam a 即 2 tan m m 综上可得 当 15 0 2 m 时 在 c1上 存在点 n 使得 2 sm a 且 12 tan2 f nf 当 15 0 2 m 时 在 c1上 存在点 n 使得 2 sm a 且 12 tan2 f nf 当 1515 1 22 m 时 在 c1上 不存在满足条件的点 n 20 2011 年高考天津卷文科 18 本小题满分 13 分 27 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 f f 点 p a b满足 212 pfff 求椭圆的离心率e 设直线 2 pf与椭圆相交于 a b 两点 若直线 2 pf与圆 22 1 3 16xy 相交于 m n 两点 且 mn 5 8 ab 求椭圆的方程 21 2011 年高考江苏卷 18 如图 在平面直角坐标系xoy中 m n 分别是椭圆1 24 22 yx 的顶点 过 坐标原点的直线交椭圆于 p a 两点 其中 p 在第一象限 过 p 作 x 轴的垂线 垂足为 c 连接 ac 并延 长交椭圆于点 b 设直线 pa 的斜率为 k 1 当直线 pa 平分线段 mn 求 k 的值 2 当 k 2 时 求点 p 到直线 ab 的距离 d 3 对任意 k 0 求证 pa pb n m p a x y b c 28 22 2011 年高考辽宁卷文科 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 c1的中心在圆点 o 长轴左 右端点 m n 在 x 轴上 椭圆 c1的短轴为 mn 且 c1 c2 29 的离心率都为 e 直线 l mn l 与 c1交于两点 与 c1交于两点 这四点按纵坐标从大到小依次为 a b c d i 设 e 1 2 求 bc 与 ad 的比值 ii 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 bo an 并说明理由 因为 ta 又01e 所以 2 2 1 1 e e 解得 2 1 2 e 30 所以当 2 0 2 e 时 不存在直线 l 使得 bo an 当 2 1 2 e 时 存在直线 l 使得 bo an 23 2011 年高考安徽卷文科 17 本小题满分 13 分 设直线 11221212 x 1 y k x1kkk k 20lykl 其中实数满足 i 证明 1 l与 2 l相交 ii 证明 1 l与 2 l的交点在椭圆 22 2x y 1上 1 121212 k llkbb 且 31 2 1212 kllk 与相交 3 121212 k llkbb 与重合且 证明两数不等可采用反证法的思路 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可 或求出交点的轨迹方程并 判断与所给的曲线方程是否一致即可 本题属于中档题 24 2011 年高考重庆卷文科 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如题 21 图 椭圆的中心为原点 0 离心率 e 2 2 一条准线的方程是2 2x 求该椭圆的标准方程 设动点 p 满足 2opomon 其中 m n 是椭圆上的点 直线 om 与 on 的斜率之积为 1 2 问 是否存在定点 f 使得pf与点 p 到直线l 2 10 x 的距离之比为定值 若存在 求 f 的坐标 若 不存在 说明理由 题 21 图 解析 解 i 由 2 2 2 2 2 ca e ac 解得 222 2 2 2acbac 故椭圆的标准方程为 22 1 42 xy ii 设 1122 p x y m x yn xy 则由 32 2010 2010 年高考真题精选年高考真题精选 1 2010 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则p的值为 c a 1 2 b 1 c 2 d 4 33 所以2 1 2 p p 2 2010 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为f 虚轴的一个端点为b 如果直线fb与该双曲 线 的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 a 2 b 3 c 31 2 d 51 2 3 2010 全国卷 2 文数 12 已知椭圆 c 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 过右焦点 f 且斜率 为 k k 0 的直线于 c 相交于 a b 两点 若3affb 则 k a 1 b 2 c 3 d 2 答案 b 解析 1122 a x yb xy 3affb 12 3yy 3 2 e 设 2 3at ct bt 222 440 xyt 直线 ab 方程为 3xsyt 代入消去x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 34 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 解得 2 1 2 s 2k 4 2010 浙江文数 10 设 o 为坐标原点 1 f 2 f是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的焦点 若在双曲线上存在点 p 满足 1 fp 2 f 60 op 7a 则该双曲线的渐近线方程为 a x 3y 0 b 3x y 0 c x 2y 0 d 2x y 0 答案 d 解析 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性 质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 5 2010 福建文数 11 若点o和点f分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 p 为椭圆上的任意 一点 则op fp a的最大值为 a 2 b 3 c 6 d 8 6 2010 全国卷 1 文数 8 已知 1 f 2 f为双曲线 c 22 1xy 的左 右焦点 点 p 在 c 上 1 fp 2 f 0 60 则 12 pfpf a a 2 b 4 c 6 d 8 答案 b 解析 1 由余弦定理得 35 cos 1 fp 2 f 222 1212 12 2 pfpfff pfpf 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 pf pf pfpfpf pfff pf pfpf pf 12 pfpf a4 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 f pf sbpf pfpf pf 12 pfpf a4 7 2010 四川文数 10 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的右焦点为f 其右准线与x轴的交点 为a 在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f 则椭圆离心率的取值范围是 a 0 2 2 b 0 1 2 c 21 1 d 1 2 1 解析 由题意 椭圆上存在点p 使得线段ap的垂直平分线过点f w w w k s5 u c o m 即f点到p点与a点的距离相等 而 fa 22 ab c cc pf a c a c 于是 2 b c a c a c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e 0 1 36 故e 1 1 2 答案 d 8 2010 四川文数 3 抛物线 2 8yx 的焦点到准线的距离是 a 1 b 2 c 4 d 8 9 2010 上海文数 8 动点p到点 2 0 f的距离与它到直线20 x 的距离相等 则p的轨迹方程为 y2 8x 10 2010 全国卷 2 文数 15 已知抛物线 c y2 2px p 0 的准线 l 过 m 1 0 且斜率为的直 线与 l 相交于 a 与 c 的一个交点为 b 若 则 p 解析 2 本题考查了抛物线的几何性质 设直线 ab 33yx 代入 2 2ypx 得 2 3 62 30 xp x 又 ammb 1 2 2 xp 解得 2 4120pp 解得 2 6pp 舍去 11 2010 安徽文数 12 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 答案 2 0 解析 抛物线 2 8yx 所以4p 所以焦点 2 0 12 2010 重庆文数 13 已知过抛物线 2 4yx 的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 2af 则bf 37 解析 由抛物线的定义可知 1 2afaakf abx 轴 故af bf 2 13 2010 天津文数 13 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是3yx 它 的一个焦点与抛物线 2 16yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 14 2010 福建文数 13 若双曲线 2 x 4 2 2 y b 1 b 0 的渐近线方程式为 y 1 x 2 则 等于 答案 1 解析 由题意知 1 22 b 解得 b 1 15 2010 全国卷 1 文数 16 已知f是椭圆c的一个焦点 b是短轴的一个端点 线段bf的延长 线交c于点d 且bf2fd uu ruur 则c的离心率为 xo y b f 1 d d 38 答案 3 3 16 2010 湖北文数 15 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的两焦点为 12 f f 点 00 p xy满足 2 2 0 0 01 2 x y 则 1 pf 2 pf 的取值范围为 直线 0 0 1 2 x x y y 与椭圆 c 的公共点个数 答案 2 2 2 0 解析 依题意知 点 p 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 p 在原点处时 12max 2 pfpf 当 p 在椭圆顶点处时 取到 12max pfpf 为 2 1 21 2 2 故范围 为 2 2 2 因为 00 xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部 则直线 0 0 1 2 x x y y 上的点 x y 均在椭圆外 故 39 此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为0 个 17 2010 上海文数 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 0 ab 0 bb 和 0 q a为 的三个顶点 1 若点m满足 1 2 amaqab 求点m的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于c d两点 交直线 22 lyk x 于点e 若 2 12 2 b kk a 证 明 e为cd的中点 3 设点p在椭圆 内且不在x轴上 如何构作过pq中点f的直线l 使得l与椭圆 的两个交点 1 p 2 p满足 12 pppppq 12 pppppq 令10a 5b 点p的坐标是 8 1 若椭圆 上的点 1 p 2 p满足 12 pppppq 求点 1 p 2 p的坐标 解析 1 22 ab m 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab 消y得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆 于c d两点 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设c x1 y1 d x2 y2 cd中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消y得方程 k2 k1 x p 40 18 2010 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 1 f 2 f分别为椭圆 22 22 1 xy c ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 f的直线l与椭圆c 相交于 a b两点 直线l的倾斜角为60 1 f到直线l的距离为2 3 求椭圆c的焦距 如果 22 2aff b 求椭圆c的方程 41 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆c的方程为 22 1 95 xy 19 2010 全国卷 2 文数 22 本小题满分 12 分已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 c 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 b d 两点 且 bd 的中点为 m 1 3 求 c 的离心率 设 c 的右顶点为 a 右焦点为 f df bf 17 证明 过 a b d 三点的圆与 x 轴相切 20 2010 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 c 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线 y t 椭圆 c 交与不同 的两点 m n 以线段为直径作圆 p 圆心为 p 求椭圆 c 的方程 若圆 p 与 x 轴相切 求圆心 p 的坐标 设 q x y 是圆 p 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解析 解 因为 6 3 c a 且2c 所以 22 3 1abac 所以椭圆 c 的方程为 2 2 1 3 x y 由题意知 0 11 ptt 由 2 2 1 3 yt x y 得 2 3 1 xt 42 所以圆 p 的半径为 2 3 1 t 解得 3 2 t 所以点 p 的坐标是 0 3 2 由 知 圆 p 的方程 222 3 1 xytt 因为点 q x y在圆 p 上 所以 222 3 1 3 1 yttxtt 设cos 0 t 则 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 3 即 1 2 t 且0 x y取最大值 2 21 2010 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 a b 已知点 a 的坐标为 a 0 i 若 4 2 ab 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 qy0 0 在线段 ab 的垂直平分线上 且qa qb 4 a 求y0的值 44 45 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 72k 故 14 7 k 所以 0 2 14 5 y 46 综上 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 2009 2009 年高考真题精选年高考真题精选 1 2009 山东文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 f 且和y轴交于点 a 若 oaf o 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 a 2 4yx b 2 8yx c 2 4yx d 2 8yx 2 2009 安徽文 下列曲线中离心率为的是 a b c d 解析 依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得 6 2 c e a 选 b 答案 b 3 2009 安徽文 直线 过点 1 2 且与直线垂直 则 的方程是 a b c d 解析 可得l斜率为 33 2 1 22 l yx 即3210 xy 选 a 答案 a 4 2009 天津文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐 近线方程为 a xy2 b xy2 c xy 2 2 dxy 2 1 答案 c 47 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐近线方程 为xx a b y 2 2 5 2009 宁夏海南文 已知圆 1 c 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 c与圆 1 c关于直线10 xy 对称 则圆 2 c的方程为 a 2 2 x 2 2 y 1 b 2 2 x 2 2 y 1 c 2 2 x 2 2 y 1 d 2 2 x 2 2 y 1 6 2009 福建文 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 a 2 b 3 c 3 2 d 1 答案 d 解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参照选项知 而应选 d 7 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为f 右顶点为a 点b在椭圆上 且bfx 轴 直线ab交y轴于点p 若2appb 则椭圆的离心率是 a 3 2 b 2 2 c 1 3 d 1 2 答案 d 48 解析 对于椭圆 因为2appb 则 1 2 2 2 oaoface 8 2009 天津文 若圆4 22 yx与圆 0 062 22 aayyx的公共弦长为32 则 a 答案 1 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线 的距离 d 1 1 a 为132 2 2 解得 a 1 9 2009 宁夏海南文 已知抛物线 c 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物线 c 交于 a b 两点 若 2 2p为ab的中点 则抛物线 c 的方程为 答案 2 4yx 解析 设抛物线为 y2 kx 与 y x 联立方程组 消去 y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 10 2009 年广东文 本小题满分 14 分 已知椭圆 g 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 f和 2 f 椭圆 g 上一点到 1 f和 2 f的距离之和为 12 圆 k c 02142 22 ykxyx rk 的圆心为点 k a 1 求椭圆 g 的方程 2 求 21f fak 的面积 3 问是否存在圆 k c包围椭圆 g 请说明理由 49 1 2 12 11 26 326 3 22 k a f f sff v 3 若0k 由 22 60120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k c外 若0k 由 22 6 0120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k c外 不论 k 为何值圆 k c都不能包围椭圆 g 11 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知抛物线c 2 2 0 xpy p 上一点 4 a m到其焦点的 距离为 17 4 i 求p与m的值 ii 设抛物线c上一点p的横坐标为 0 t t 过p的直线交c于另一点q 交x轴于点m 过点q作pq的垂线交c于另一点n 若mn是c的切线 求t的最小值 50 12 2009 山东文 本小题满分 14 分 设mr 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 m x y的 51 轨迹为 e 1 求轨迹 e 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 e 恒有两个交点 a b 且 oaob o 为坐标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 c 222 xyr 1 r 2 相切于 a1 且l与轨迹 e 只有一个公共点 b1 当 r 为何值时 a1b1 取得最大值 并求最大值 要使切线与轨迹 e 恒有两个交点 a b 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使oaob 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 52 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足oaob 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点 a b 且 oaob 3 当 4 1 m时 轨迹 e 的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆 c 222 xyr 1 r0 ax1 by1 c ax2 by2 c 则 a 直线l与直线p1p2不相交 b 直线l与线段p2p1的延长线相交 c 直线l与线段p1p2的延长线相交 d 直线l与线段p1p2相交 2 2013 温州模拟 已知点p x y 是直线kx y 4 0 k 0 上一动点 pa pb是圆 c x2 y2 2y 0 的两条切线 a b为切点 若四边形pacb的最小面积是 2 则k的值为 a 4 b 2 2 c 2 d 2 答案 c 解析 因为四边形pacb的最小面积是 2 此时切线长为 2 圆心到直线的距离为 5 d k 2 5 1 k25 3 2013 洛阳模拟 设过点p x y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a b两点 点 q与点p关于y轴对称 o为坐标原点 若 2 且 1 则点p的轨迹方程是 bp pa oq ab a x2 3y2 1 x 0 y 0 3 2 b x2 3y2 1 x 0 y 0 3 2 c 3x2 y2 1 x 0 y 0 3 2 d 3x2 y2 1 x 0 y 0 3 2 答案 a 解析 设a a 0 b 0 b a 0 b 0 由 2 得 x y b 2 a x y 即 bp pa a x 0 b 3y 0 点q x y 故由 1 得 x y a b 1 即ax by 1 将a b代 3 2 oq ab 入上式得所求的轨迹方程为x2 3y2 1 x 0 y 0 3 2 61 4 2013 辽宁省本溪一中模拟 椭圆 1 的左 右焦点分别为f1 f2 弦ab过f1 若 abf2 x2 25 y2 16 的内切圆周长为 a b两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 y1 y2 值为 5 2013 许昌一中模拟 设f1 f2分别是双曲线x2 1 的左 右焦点 若点p在双曲线上 y2 9 且 0 则 pf1 pf2 pf1 pf2 a 2 b 210 c 4 d 2 210 6 椭圆的中心在原点 焦距为4 一条准线为4x 则该椭圆的方程为 a 22 1 1612 xy b 22 1 128 xy c 22 1 84 xy d 22 1 124 xy 7 已知抛物线方程为 2 4yx 直线l的方程为40 xy 在抛物线上有一动点 p 到 y 轴的距离为 1 d p 到直线l的距离为 2 d 则 22 dd 的最小值 a 5 2 2 2 b 5 2 1 2 c 5 2 2 2 d 5 2 1 2 答案 d 解析 因为抛物线的方程为 2 4yx 所以焦点坐标 1 0 f 准线方程为 1x 因为点p到 y 轴 的距离为 1 d 所以到准线的距离为 1 1d 又 1 1dpf 所以 12122 111ddddpfd 焦 62 点到直线的距离 1 0455 2 222 d 而 2 5 2 2 pfdd 所以 122 5 2 11 2 ddpfd 选 d 8 若在曲线 f x y 0 上两个不同点处的切线重合 则称这条切线为曲线 f x y 0 的 自公切 线 下列方程 22 1xy 2 yxx 3sin4cosyxx 2 14xy 对应的曲 线中存在 自公切线 的有 a b c d 9 已知点 1 f 2 f分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 过 1 f且垂直于x 轴的直线与双 曲线交于a b两点 若 2 abf 是钝角三角形 则该双曲线离心率的取值范围是 a 21 b 3 1 c 12 d 1 12 答案 c 解析 由题设条件可知 abc 为等腰三角形 只要 af2b 为钝角即可 所以有 2 2 b c a 即 2 2bac 所以 22 2caac 解得12e 选 c 10 在抛物线 0 5 2 aaxxy上取横坐标为2 4 21 xx的两点 过这两点引一条割线 有平行 于该割线的一条直线同时与抛物线和圆3655 22 yx相切 则抛物线顶点的坐标为 63 a 9 2 b 5 0 c 9 2 d 6 1 答案 a 解析 解 两点坐标为 4 11 4 2 21 aa 两点连线的斜率 k 对于 0 5 2 aaxxy 2yxa 2x a a 2 解得 x 1 在抛物线上的切点为 1 4 a 切线方程为 2 6 0axy 直线与圆相切 圆心 0 0 到直线的距离 圆半径 即 解得 a 4 或 0 0 舍去 所以抛物线方程为 2 45yxx 顶点坐标为 9 2 故选 a 11 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两条渐近线均与 22 650c xyx 相切 则该双曲线 离心率等于