【名师导学】高中数学 第一章 解三角形（含解析）苏教版必修5.doc

第1课时正弦定理(1) 教学过程一、 问题情境 1. 对于“即时体验”中的第2题:“在abc中,若c=75,a=60,b=,则这个三角形能确定吗?b,a,c能求出来吗?”这个三角形虽然可以确定,但根据我们目前所掌握的知识还不能够求出a,c,这说明了什么呢?这只能说明我们对三角形中的边角之间的关系还缺乏足够的了解,还没有发现它们之间所隐含的规律. 2. 三角形中的边角之间究竟隐含着什么样的规律呢?还是让我们从特殊情况来考察:在rtabc中,c=90,试判定,与之间的大小关系.二、 数学建构问题1对任意三角形,=也成立吗?用几何画板演示,如果不具备条件的话,也可以通过纸笔或计算器来计算任意三角形中三边长与其对角的正弦值之比,让学生通过验证感受到:对任意三角形,都有=问题2验证能代替证明吗?(验证不能代替证明,验证只是表明个别情形或特殊情形成立,还不能说明一般情形或任意情形都成立)问题3如何证明对任意三角形都有=成立呢?(根据教材p5中的途径提示,组织学生进行讨论,最好能由学生给出证明思路)对于=这一关系的证明,我们一起来看下面的证法.(图1)证法一:在abc中,有=+.不妨设c为最大角,过点a作adbc于d(如图1),于是=(+)=+,即0=|cos(90+b)+|cos,其中,当c为锐角或直角时,=90-c;当c为钝角时,=c-90.故可得csinb-bsinc=0,即=.同理可得=,所以=.上述等式表明,三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.这样,我们得到正弦定理:=.问题4对于正弦定理:=,你还能尝试用其他方法证明吗?(图2)(图3)证法二2:设o是abc的外接圆,直径bd=2r.(1) 当a为锐角时,如图2,连结cd,则bcd=90,a=2rsind.又d=a,所以a=2rsina.(2) 当a为钝角时,如图3,连结cd,则bcd=90,a=2rsind.又d+a=180,可得sind=sin(180-a)=sina,所以a=2rsina.(3) 当a为直角时,a=2r,显然有a=2rsina.综上所述,所以不论a是锐角、钝角或直角,总有a=2rsina.同理可证b=2rsinb,c=2rsinc.所以=2r.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,即三角形的各边和它所对角的正弦之比相等,因此,我们得到正弦定理:=2r.正弦定理的变形:a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc(2r是abc外接圆的直径);abc=sinasinbsinc.问题5在课前预习时,“即时体验”中的第2题你解决了吗?三、 数学运用【例1】(教材p7例1)在abc中,a=30,c=100,a=10,求b,c.(精确到0.01)3(见学生用书课堂本p1)(例1)处理建议(1) 先让学生自己动手作图,看看此三角形是否确定,然后再考虑如何求b,b,c.(2) 理清解题思路:如图,直接应用正弦定理可求出边c;若求边b,则需通过三角形内角和为180先求出角b,再利用正弦定理求出边b.规范板书解b=180-(a+c)=180-(30+100)=50.因为=,所以b=15.32,c=19.70.因此,b,c分别为15.32和19.70.题后反思(1) 此类问题结果为唯一解,学生较易掌握;如果已知两角和两角所夹的边去求其他边角,也是先利用内角和为180求出第三角,再利用正弦定理求出其他边.(2) 因此,对“已知两角与任一边,求其他两边和一角”的问题都能够用正弦定理彻底解决,且解唯一.变式在abc中,已知a=60,b=45,c=3,求c,a,b.规范板书解c=180-(a+b)=180-(60+45)=75.因为=,所以a=,b=3-3.因此,c,a,b分别为75,和3-3.【例2】根据下列条件解三角形:(1) a=14,b=7,b=60;(2) c=,b=,b=45.4(见学生用书课堂本p2)处理建议(1) 解三角形是指由六个元素中的三个元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素的过程;(2) 对于本题,先让学生讨论,尝试解答;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的求解过程,并纠正出现的错误.规范板书解(1) ab, ab, a也是锐角. sina=, a=45. c=180-(a+b)=180-(45+60)=75, c=7+7.(2) 由正弦定理得sinc=, c1=60,或c2=180-60=120.由于c2+b=120+45=165180,故c2也符合要求.从而c有两解:c1=60,或c2=120.当c1=60时,a1=180-(c1+b)=180-(60+45)=75,a1=1+;当c2=120时,a2=180-(c2+b)=180-(120+45)=15,a2=1-.题后反思(1) 同样是已知两边和一边的对角,但可能出现不同的结果,应向学生强调注意解题的灵活性.(2) 对于第(1)题,如果没有考虑到角a所受到的限制而求出角a的两个解,进而求出边a有两解,那么也可利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进行验证,进而排除不符题意的解.(3) 思考:对于第(1)、(2)题,能否通过作图来分析为什么解的个数不一样?为什么第(2)题产生多解?(引导学生通过作出三角形来思考)“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”这类问题情形复杂,但若通过作图来考虑,情形就一目了然了. a为锐角:注意:当ac,故角c有一解;(2) 当a=5时, csina=5sin45=5, a=csina,故角c有一解;(3) 当a=时,有cacsina=5sin45=5,故角c有两解;(4) 当a=时,有absinasinb.处理建议先让学生分析得出条件与三角形的角有关,结论与三角形的角的正弦值有关.但是如何实现条件与结论的转化呢?自然联想到正弦定理.规范板书证明因为a=2rsina,b=2rsinb,所以abab2rsina2rsinbsinasinb,即absinasinb.题后反思(1) 不能利用正弦函数的单调性进行证明,因为正弦函数在(0,)内不具有单调性;(2) 在abc中,有ababsinasinbcosa180,故a2=150应舍去(或者由ab知ac2;当c为钝角时,a2+b20,由余弦定理得cosc=0,即a2+b2-c20,所以a2+b2c2.同理可证,当c为钝角时,a2+b2c2.题后反思当c为直角时,则cosc=0,所以a2+b2=c2.因此,余弦定理可以看做是勾股定理的推广.变式钝角abc的三边的长为连续的自然数,求三边的长.规范板书解不妨设a=n,b=n+1,c=n+2(nn*),则角c为最大角且为钝角. cosc=0, a2+b2-c20, a2+b2c2, n2+(n+1)2(n+2)2, -1nb, ab=60, a有两解, a181.8,a298.2. c1=38.2,c2=21.8.由=,得c1=5,c2=3. sabc=ac1sinb=10或sabc=ac2sinb=6.解法二由余弦定理得72=c2+82-28ccos60,整理得c2-8c+15=0,解得c1=5,c2=3. sabc=ac1sinb=10或sabc=ac2sinb=6.题后反思(1) 在解法一中,注意利用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决问题,故解法二应引起学生的注意.(2) 通过上述例题,可要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围(已知三边求任意角或已知两边及夹角解三角形),同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.变式在abc中,已知a=7,c=5,a=120,求的值.规范板书解由余弦定理得72=b2+52-25bcos120,整理得b2+5b-24=0,解得b1=3,b2=-8(舍去).所以=.四、 课堂练习 1. 在abc中,(1) 若a=20,b=29,c=21,则b=90;(2) 若a=3,c=2,b=150,则b=7.5提示(1) cosb=0, b=90.(2) b2=c2+a2-2cacosb=22+(3)2-223=49, b=7. 2. 若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段构成的三角形中最大角的正弦值为.提示不妨设在构成的abc中,a=5,b=6,c=7,对应的角分别为a,b,c,则最大的角为c. cosc=, sinc=. 3. 在abc中,若a2=b2+c2+bc,则a=120.提示 cosa=-, a=120.五、 课堂小结通过本节课的学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:(1) 已知三边,求三个角;(这类问题由于三边确定,所以三角也确定,故解唯一)(2) 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.(这类问题第三边是确定的,因而其他两个角唯一,故解唯一;不会产生类似利用正弦定理解三角形时所产生的判断取舍等问题)第4课时余弦定理(2) 教学过程一、 问题情境 1. 你能举出在现实生活中与解三角形有关,但又是正弦定理所解决不了的例子吗? 2. 你能举出在数学本身内部哪些方面有可能会运用到余弦定理知识的例子吗?二、 数学运用(例1)【例1】如图,甲船以30n mile/h的速度向正北方向航行,乙船按某固定方向匀速直线航行.当甲船位于a1处时,乙船位于甲船北偏西105方向的b1处,此时两船相距20n mile;当甲船航行20min到达a2处时,乙船航行到甲船北偏西120方向的b2处,此时两船相距10n mile.问:乙船每小时航行多少海里?2(见学生用书课堂本p7)处理建议(1) 让学生读懂题意,帮助学生正确构造三角形是关键;(2) 让学生自己结合题设条件、正弦定理或余弦定理求解.规范板书解如图1,连结a1b2,由已知得a2b2=10,a1a2=30=10, a1a2=a2b2.又a1a2b2=180-120=60, a1a2b2是等边三角形, a1b2=a1a2=10.由已知得a1b1=20,b1a1b2=105-60=45.(图1)在a1b2b1中,由余弦定理得b1=a1+a1-2a1b1a1b2cos45=202+(10)2-22010=200, b1b2=10.因此,乙船的速度为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30n mile.变式如图2,若连结a2b1,此题又如何求解呢?(图2)规范板书解如图2,连结a2b1,由已知得a1b1=20,a1a2=30=10,b1a1a2=105.在a2a1b1中,由余弦定理得a2=a1+a1-2a1b1a1a2cos105=(10)2+202-21020=100(4+2), a2b1=10(1+).由正弦定理得sina1a2b1=sinb1a1a2=, a1a2b1=45,则b1a2b2=60-45=15.在b1a2b2中,a2b2=10,由余弦定理得b1=a2+a2-2a2b1a2b2cos15=10(1+)2+(10)2-210(1+)10=200, b1b2=10.因此,乙船的速度为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30n mile.题后反思变式的解法也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较,要让学生善于利用条件优化解题过程.【例2】在abc中,已知acosb=bcosa,试判断abc的形状.3(见学生用书课堂本p8)处理建议对于三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可以根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径: 将边转化为角; 将角转化为边.让学生从这两个角度进行分析.规范板书解法一(利用余弦定理化角为边)acosb=bcosaa=bc2+a2-b2=b2+c2-a2, 2a2=2b2,即a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二(利用正弦定理化边为角)acosb=bcosa2rsinacosb=2rsinbcosa, sinacosb-cosasinb=0, sin(a-b)=0(亦可变到tana=tanb). -a-b, a-b=0,即a=b.故此三角形是等腰三角形.题后反思(1) 在判定三角形形状时,一般考虑从两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一个方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理,要求学生注重边角转化的桥梁正(余)弦定理.(2) 走三角变形之路,就要熟练掌握三角公式,应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.变式在abc中,已知2cosbsina=sinc,试判断abc的形状.规范板书解法一2cosbsina=sinc2cosbsina=sin-(a+b)2cosbsina=sin(a+b)2cosbsina=sinacosb+cosasinbcosbsina=cosasinb=tana=tanb.又a,b(0,),所以a=b.因此,abc为等腰三角形.解法二由正、余弦定理得2cosbsina=sinc2=c2+a2-b2=c2a2=b2a=b.因此,abc为等腰三角形.【例3】(根据教材p16例6改编)在abcd中,证明:ac2+bd2=2(ab2+ad2).4(例3)(见学生用书课堂本p8)处理建议(1) 利用正(余)弦定理的前提是必须在三角形中,在四边形中如何选择有用的三角形是关键;(2) 任何一个三角形都不可能包含四边,因此必须选择两个三角形,让学生按此思路,往下思考.规范板书证明设abc=,bcd=-.在abc中,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccos.在bcd中,由余弦定理得bd2=cd2+bc2-2cdbccos(-).因为cos(-)=-cos,cd=ab,bc=ad,将两式相加得ac2+bd2=2(ab2+ad2).题后反思几何证明的关键是把有关量放到三角形中,借助正(余)弦定理,建立它们的关系,从而达到证明的效果,其中构造三角形是关键.(变式)变式(教材p16例6)如图,若am是abc中bc边上的中线,求证:am=.规范板书证明设amb=,则amc=180-.在abm中,由余弦定理,得ab2=am2+bm2-2ambmcos.在acm中,由余弦定理,得ac2=am2+mc2-2ammccos(180-).因为cos(180-)=-cos,bm=mc=bc,所以ab2+ac2=2am2+bc2,因此,am=.*【例4】在abc中,求证:a2sin2b+b2sin2a=2absinc.5处理建议此题所证结论包含abc的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.让一部分学生走“化为边”这一途径,让另一部分学生走“化为角”这一途径.规范板书证法一(化边为角)a2sin2b+b2sin2a=(2rsina)22sinbcosb+(2rsinb)22sinacosa=8r2sinasinb(sinacosb+cosasinb)=8r2sinasinbsinc=22rsina2rsinbsinc=2absinc.所以原式得证.证法二(化角为边)左边=a22sinbcosb+b22sinacosa=a2+b2=(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=2c2=2ab=2absinc=右边.所以原式得证.题后反思(1) 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形形式(a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc),在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题证明过程中用到了正弦二倍角公式sin2a=2sinacosa,正弦两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb;由角向边转化,要结合正弦定理变形形式以及余弦定理形式二.(2) 三角形中的有关证明问题,主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.变式已知abc,请用余弦定理证明:a=bcosc+ccosb.规范板书证明bcosc+ccosb=b+c=a,即有a=bcosc+ccosb.四、 课堂练习 1. 在abcd中,已知b=120,ab=6,bc=4,则ac=2,bd=2.提示由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccosb=62+42-264cos120=76, ac=2.由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2adabcosa=42+62-246cos60=28, bd=2. 2. 在abc中,证明:b=ccosa+acosc.(请你尝试用两种不同方法证明)证法一ccosa+acosc=2rsinccosa+2rsinacosc=2rsin(a+c)=2rsin(-b)=2rsinb=b,即b=ccosa+acosc.证法二ccosa+acosc=c+a=b,即证. 3. 在abc中,已知a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(a+b)=-1,求c.解 2cos(a