《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(题训练)正弦定理和余弦定理的应用(含解析).pdf

Go the distance 第八节正弦定理和余弦定理的应用 知识能否忆起 1 实际问题中的有关概念 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 1 2 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如 B 点的方位角为 如图 2 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 3 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 4 坡度 定义 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 4 角 为坡角 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 4 i 为坡比 2 解三角形应用题的一般步骤 1 审题 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形模型 3 选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形的解还原为实际问题 注意实际问题中的单位 近似计算要求 Go the distance 小题能否全取 1 从 A 处望 B 处的仰角为 从 B 处望 A 处的俯角为 则 之间的关系是 A B C 90 D 180 答案 B 2 若点 A 在点 C 的北偏东 30 点 B 在点 C 的南偏东 60 且 AC BC 则点 A 在点 B 的 A 北偏东 15 B 北偏西 15 C 北偏东 10 D 北偏西 10 解析 选 B 如图所示 ACB 90 又 AC BC CBA 45 而 30 90 45 30 15 点 A 在点 B 的北偏西 15 3 教材习题改编 如图 设 A B 两点在河的两岸 一测量者在 A 的 同侧 选定一点 C 测出 AC 的距离为 50 m ACB 45 CAB 105 则 A B 两点的距离为 A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D 25 2 2 m 解析 选 A 由正弦定理得 AB AC sin ACB sin B 50 2 2 1 2 50 2 m 4 2011 上海高考 在相距 2 千米的 A B 两点处测量目标点 C 若 CAB 75 CBA 60 则 A C 两点之间的距离为 千米 解析 如图所示 由题意知 C 45 由正弦定理得 AC sin 60 2 sin 45 Go the distance AC 2 2 2 3 2 6 答案 6 5 2012 泰州模拟 一船向正北航行 看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一 条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏东 60 另一灯塔在船的南偏东 75 则这艘船每小时航行 海里 解析 如图 由题意知在 ABC 中 ACB 75 60 15 B 15 AC AB 8 在 Rt AOC 中 OC AC sin 30 4 这艘船每小时航行4 1 2 8 海里 答案 8 解三角形应用题常有以下两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦 定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 这 时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 测量距离问题 典题导入 例 1 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示 城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志 小李 小王设计的 底座形状分别为 ABC ABD 经测量 AD BD 7 米 BC 5 米 AC 8 米 C D 1 求 AB 的长度 2 若不考虑其他因素 小李 小王谁的设计使建造费用最低 请说明理由 Go the distance 自主解答 1 在 ABC 中 由余弦定理得 cos C AC 2 BC2 AB2 2AC BC 8 2 52 AB2 2 8 5 在 ABD 中 由余弦定理得 cos D AD 2 BD2 AB2 2AD BD 7 2 72 AB2 2 7 7 由 C D 得 cos C cos D 解得 AB 7 所以 AB 的长度为 7 米 2 小李的设计使建造费用最低 理由如下 易知 S ABD 1 2AD BDsin D S ABC 1 2AC BCsin C 因为 AD BD AC BC 且 C D 所以 S ABD S ABC 故选择 ABC 的形状建造环境标志费用较低 若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元 试求最低造价为多少 解 因为 AD BD AB 7 所以 ABD 是等边三角形 D 60 C 60 故 S ABC 1 2AC BCsin C 10 3 所以所求的最低造价为 5 000 10 3 50 000 3 86 600 元 由题悟法 求距离问题要注意 1 选定或确定要求解的三角形 即所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若 有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 2 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 以题试法 1 如图所示 某河段的两岸可视为平行 为了测量该河段的宽度 在河段的一岸边选取两点 A B 观察对岸的点 C 测得 CAB 105 CBA 45 且 AB 100 m 1 求 sin CAB 的值 Go the distance 2 求该河段的宽度 解 1 sin CAB sin 105 sin 60 45 sin 60 cos 45 cos 60 sin 45 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 2 因为 CAB 105 CBA 45 所以 ACB 180 CAB CBA 30 由正弦定理 得 AB sin ACB BC sin CAB 则 BC AB sin 105 sin 30 50 6 2 m 如图所示 过点 C 作 CD AB 垂足为 D 则 CD 的长就是该河 段的宽度 在 Rt BDC 中 CD BC sin 45 50 6 2 2 2 50 3 1 m 所以该河段的宽度为 50 3 1 m 测量高度问题 典题导入 例 2 2012 九江模拟 如图 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶 上一建筑物 CD CD 所在的直线与地平面垂直 对于山坡的斜度为 从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后 又测得 CD 对于山坡的斜度为 山坡对于地平面的坡角为 1 求 BC 的长 2 若 l 24 15 45 30 求建筑物 CD 的高度 自主解答 1 在 ABC 中 ACB 根据正弦定理得 BC sin BAC AB sin ACB 所以 BC lsin sin 2 由 1 知 BC lsin sin 24 sin 15 sin 30 12 6 2 米 在 BCD 中 BDC 2 6 2 3 sin BDC 3 2 Go the distance 根据正弦定理得 BC sin BDC CD sin CBD 所以 CD 24 8 3米 由题悟法 求解高度问题应注意 1 在测量高度时 要理解仰角 俯角的概念 仰角和俯角都是在同一铅垂面内 视线 与水平线的夹角 2 准确理解题意 分清已知条件与所求 画出示意图 3 运用正 余弦定理 有序地解相关的三角形 逐步求解问题的答案 注意方程思想 的运用 以题试法 2 2012 西宁模拟 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度 在 C 点测得塔顶 A 的仰 角是 45 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30 并测得水平面上的 BCD 120 CD 40 m 求电视塔的高度 解 如图 设电视塔 AB 高为 x m 则在 Rt ABC 中 由 ACB 45 得 BC x 在 Rt ADB 中 ADB 30 则 BD 3x 在 BDC 中 由余弦定理得 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos 120 即 3x 2 x2 402 2 x 40 cos 120 解得 x 40 所以电视塔高为 40 米 测量角度问题 典题导入 例 3 2012 太原模拟 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45 方向 相距 12 n mile 的水面上 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75 方向前进 若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度 沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇 若 要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 Go the distance 自主解答 如图 设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇 则 AC 14x BC 10 x ABC 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos 120 解得 x 2 故 AC 28 BC 20 根据正弦定理得 BC sin AC sin 120 解得 sin 20sin 120 28 5 3 14 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时 角 的正弦值为5 3 14 由题悟法 1 测量角度 首先应明确方位角 方向角的含义 2 在解应用题时 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 通过这 一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题 解题中也要注意体会正 余弦定理综合 使用的特点 以题试法 3 2012 无锡模拟 如图 两座相距 60 m 的建筑物 AB CD 的高 度分别为 20 m 50 m BD 为水平面 则从建筑物 AB 的顶端 A 看 建筑物 CD 的张角 CAD 的大小是 解析 AD2 602 202 4 000 AC2 602 302 4 500 在 CAD 中 由余弦定理得 cos CAD AD 2 AC2 CD2 2AD AC 2 2 CAD 45 答案 45 Go the distance 1 在同一平面内中 在 A 处测得的 B 点的仰角是 50 且到 A 的距离为 2 C 点的俯 角为 70 且到 A 的距离为 3 则 B C 间的距离为 A 16 B 17 C 18 D 19 解析 选 D BAC 120 AB 2 AC 3 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC 4 9 2 2 3 cos 120 19 BC 19 2 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 为了测量喷水柱喷出的水柱的高度 某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m 到 达点 B 在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 则水柱的高度是 A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m 解析 选 A 设水柱高度是 h m 水柱底端为 C 则在 ABC 中 A 60 AC h AB 100 BC 3h 根据余弦定理得 3h 2 h2 1002 2 h 100 cos 60 即 h2 50h 5 000 0 即 h 50 h 100 0 即 h 50 故水柱的高度是 50 m 3 2012 天津高考 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 8b 5c C 2B 则 cos C A 7 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 解析 选 A 由 C 2B 得 sin C sin 2B 2sin Bcos B 由正弦定理及 8b 5c 得 cos B sin C 2 sin B c 2b 4 5 所以 cos C cos 2B 2cos 2 B 1 2 4 5 2 1 7 25 4 2013 厦门模拟 在不等边三角形 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 其 中 a 为最大边 如果 sin2 B C sin2B sin2C 则角 A 的取值范围为 A 0 2 B 4 2 Go the distance C 6 3 D 3 2 解析 选 D 由题意得 sin2A sin2B sin2C 再由正弦定理得 a20 则 cos A b 2 c2 a2 2bc 0 0 A 0 A 3 因此得角 A 的取值范围是 3 2 5 一艘海轮从 A 处出发 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50 方向直线航行 30 分钟 后到达 B 处 在 C 处有一座灯塔 海轮在 A 处观察灯塔 其方向是东偏南 20 在 B 处观 察灯塔 其方向是北偏东 65 那么 B C 两点间的距离是 A 10 2 海里 B 10 3 海里 C 20 2 海里 D 20 3 海里 解析 选 A 如图所示 由已知条件可得 CAB 30 ABC 105 BCA 45 又 AB 40 1 2 20 海里 由正弦定理可得 20 sin 45 BC sin 30 BC 20 1 2 2 2 10 2 海里 6 如图 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内 若飞机的 高度为海拔 18 km 速度为 1 000 km h 飞行员先看到山顶的俯 角为 30 经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75 则山顶的海 拔高度为 精确到 0 1 km A 11 4 B 6 6 C 6 5 D 5 6 解析 选 B AB 1 000 1 000 1 60 50 000 3 m BC AB sin 45 sin 30 50 000 3 2 m Go the distance 航线离山顶 h 50 000 3 2 sin 75 11 4 km 山高为 18 11 4 6 6 km 7 2012 南通调研 温馨花园 为了美化小区 给居民提供更好的 生活环境 在小区内的一块三角形空地上 如图 单位 m 种植草皮 已知这种草皮的价格是 120 元 m2 则购买这种草皮需要 元 解析 三角形空地的面积 S 1 2 12 3 25 sin 120 225 故共需 225 120 27 000 元 答案 27 000 8 2012 潍坊模拟 如图 一艘船上午 9 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏 东 30 的方向 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午 10 00 到达 B 处 此 时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 的方向 且与它相距 8 2 n mile 此船的航速 是 n mile h 解析 设航速为 v n mile h 在 ABS 中 AB 1 2v BS 8 2 BSA 45 由正弦定理得 8 2 sin 30 1 2v sin 45 则 v 32 答案 32 9 江岸边有一炮台高 30 m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 由炮台顶 部测得俯角分别为 45 和 60 而且两条船与炮台底部连线成 30 角 则两条船相距 m 解析 如图 OM AOtan 45 30 m ON AOtan 30 3 3 30 10 3 m 在 MON 中 由余弦定理得 MN 900 300 2 30 10 3 3 2 300 10 3 m 答案 10 3 10 如图 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 Go the distance 由余弦定理得 cos ADC AD 2 DC2 AC2 2AD DC 100 36 196 2 10 6 1 2 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 AB sin ADB AD sin B AB AD sin ADB sin B 10sin 60 sin 45 10 3 2 2 2 5 6 11 某气象仪器研究所按以下方案测试一种 弹射型 气象观测 仪器的垂直弹射高度 A B C 三地位于同一水平面上 在 C 处进行 该仪器的垂直弹射 观测点 A B 两地相距 100 米 BAC 60 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 2 17秒 在 A 地测得该仪器至最高点 H 时的仰角为 30 求该仪器的垂直弹射高度 CH 声音的传播速度为 340 米 秒 解 由题意 设 AC x 则 BC x 2 17 340 x 40 在 ABC 中 由余弦定理得 BC2 BA2 CA2 2BA CA cos BAC 即 x 40 2 x2 10 000 100 x 解得 x 420 在 ACH 中 AC 420 CAH 30 ACH 90 所以 CH AC tan CAH 140 3 答 该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米 12 2012 兰州模拟 某单位在抗雪救灾中 需要在 A B 两地之间 架设高压电线 测量人员在相距 6 km 的 C D 两地测得 ACD 45 ADC 75 BDC 15 BCD 30 如图 其中 A B C D 在同一平面上 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因 实际 所需电线长度大约应该是 A B 之间距离的 1 2 倍 问施工单位至少应 该准备多长的电线 解 在 ACD 中 ACD 45 CD 6 ADC 75 Go the distance 所以 CAD 60 因为 CD sin CAD AD sin ACD 所以 AD CD sin ACD sin CAD 6 2 2 3 2 2 6 在 BCD 中 BCD 30 CD 6 BDC 15 所以 CBD 135 因为 CD sin CBD BD sin BCD 所以 BD CD sin BCD sin CBD 6 1 2 2 2 3 2 又因为在 ABD 中 BDA BDC ADC 90 所以 ABD 是直角三角形 所以 AB AD2 BD2 2 6 2 3 2 2 42 所以电线长度至少为 l 1 2 AB 6 42 5 单位 km 答 施工单位至少应该准备长度为6 42 5 km 的电线 1 某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上 小山的高 BC 为 35 m 在地面上有一点 A 测得 A C 间的距离为 91 m 从 A 观测电视发 射塔 CD 的视角 CAD 为 45 则这座电视发射塔的高度 CD 为 米 解析 AB 912 352 84 tan CAB BC AB 35 84 5 12 由 CD 35 84 tan 45 CAB 1 5 12 1 5 12 17 7 得 CD 169 答案 169 2 2012 年 10 月 29 日 超级风暴 桑迪 袭击美国东部 如图 在灾 区的搜救现场 一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个 Go the distance 生命迹象 然后向右转 105 行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象 这时它向右转 135 后继续前行回到出发点 那么 x 解析 由题知 CBA 75 BCA 45 BAC 180 75 45 60 x sin 45 10 sin 60 x 10 6 3 m 答案 10 6 3 m 3 2012 泉州模拟 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相 距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同时 把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里的 C 处的乙船 1 求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离 2 设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援 其方向与 CA 成 角 求 f x sin2 sin x 3 4 cos2 cos x x R 的值域 解 1 连接 BC 由余弦定理得 BC2 202 102 2 20 10cos 120 700 BC 10 7 即所求距离为 10 7海里 2 sin 20 sin 120 10 7 sin 3 7 是锐角 cos 4 7 f x sin2 sin x 3 4 cos2 cos x 3 7sin x 3 7 cos x 2 3 7 sin x 6 f x 的值域为 2 3 7 2 3 7 1 如图 甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行 乙船按固定 方向匀速直线航行 当甲船位于 A1处时 乙船位于甲