《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解平面向量的概念及其线性运算(含解析).doc

三维设计2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法第一节平面向量的概念及其线性运算知识能否忆起一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1B2C3 D4自主解答不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线正确，|且.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此.不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线答案C由题悟法1平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法2几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.以题试法1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.向量的线性运算典题导入例2(1)(2011四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，()A0BC D(2)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于()A. B.C D自主解答(1)如图，在正六边形ABCDEF中，CF.(2)，2.又2，2().，即.答案(1)D(2)A若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|，若，则的值为_解析：22()2.2，1.3.答案：3由题悟法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识以题试法2(2012汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选C式的等价式是，左边，右边，不一定相等；式的等价式是，成立；式的等价式是，成立共 线 向 量典题导入例3设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线自主解答(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，即k210.k1.由题悟法1当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系以题试法3已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)正确的个数是()A2B3C4 D5解析：选Ca(a)0，故错2(2012福州模拟)若abc0，则a，b，c()A都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B一定不可能构成三角形C都是非零向量时能构成三角形D一定可构成三角形解析：选A当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形3(2012威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若23，则的值为()A. B.C. D.解析：选A由23，得22 ，即2，所以.4(2012海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么()A. B. C. D. 解析：选D在CEF中，有，因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以.5(2013揭阳模拟)已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B60C90 D120解析：选A由0得，由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且CAO60，故A30.6已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：选D，22，P是AC边的一个三等分点7(2012郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：28(2013大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_解析：，.四边形ABCD为平行四边形答案：平行四边形9设向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_解析：由4e12e22，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上答案：10设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且2imj，n ij，5ij，若点A，B，C在同一条直线上，且m2n，求实数m，n的值解：(n2)i(1m)j，(5n)i2j.点A，B，C在同一条直线上，即.(n2)i(1m)j(5n)i2j解得或11.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线12设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解：(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e22e18e2，2，又AB与BD有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，且3e1ke2，B，D，F三点共线，得，即3e1ke2e14e2，得解得k12，k12.1.如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 B.C2 D.解析：选B(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得.2(2012吉林四平质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A. B.C. D.解析：选C设AB的中点为D，由53，得3322，即32，如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为，则ABM与ABC的面积比为.3已知O，A，B三点不共线，且mn，(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明：(1)m，nR，且mn1，mnm(1m) ，m()m，而0，且mR.与共线，又，有公共点B.A，P，B三点共线(2)A，P，B三点共线，与共线，存在实数，使，()(1) .又mn，mn(1) .又O，A，B不共