【备战】高考数学 高频考点归类分析 圆锥曲线中定值问题（真题为例）.docVIP

圆锥曲线中定值问题典型例题： 例1. （2012年上海市理16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线交于p、q两点，若与圆相切，求证：opoq；（6分） （3）设椭圆. 若m、n分别是、上的动点，且omon，求证：o到直线mn的距离是定值.（6分）【答案】解：（1）双曲线的左顶点，渐近线方程：. 过点a与渐近线平行的直线方程为，即。 解方程组，得。 所求三角形的面积为。 （2）证明：设直线pq的方程是 直线与已知圆相切， 故，即。 由，得。 设，则. 又，。opoq。 （3）当直线on垂直于轴时， |on|=1，|o|=，则o到直线mn的距离为。 （此时，n在轴上，在轴上） 当直线on不垂直于x轴时，设直线on的方程为（显然），则由omon，得直线om的方程为。 由，得。同理。 设o到直线mn的距离为， ，即。 综上所述，o到直线mn的距离是定值。【考点】双曲线的概念、标准方程、几何性，直线与双曲线的关系，椭圆的标准方程和圆的有关性质。【解析】（1）求出过点a与一条渐近线平行的直线方程，再求出它与另一条渐近线即可求得三角形的面积。（2）由两直线垂直的判定，只要证明表示这两条直线的向量积为0即可，从而求出直线方程，进一步求出表示这两条直线的向量，求出它们的积即可。（3）分直线on垂直于轴和直线on不垂直于x轴两种情况证明即可。例2. （2012年江西省理13分）已知三点，曲线上任意一点满足。（1）求曲线的方程；（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为。问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值。若不存在，说明理由。【答案】解：（1）由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，()(x，y)(0,2)2y。由已知得2y2，化简得曲线c的方程：x24y。（2）假设存在点p(0，t)(t0)满足条件，则直线pa的方程是yxt，pb的方程是yxt。曲线c在q处的切线l的方程是yx，它与y轴交点为f。由于2x02，因此11。当1t0时，1，存在x0(2,2)使得，即l与直线pa平行，故当1t0时不符合题意。当t1时，1，所以l与直线pa，pb一定相交。分别联立方程组解得d，e的横坐标分别是xd，xe。则xexd(1t).。又|fp|t，有spde|fp|xexd|.。又sqab4，于是。对任意x0(2,2)，要使为常数，则t要满足解得t1，此时2。故存在t1，使qab与pde的面积之比是常数2。【考点】圆锥曲线的轨迹问题，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（1）用坐标表示 和，从而可得| ，利用向量的数量积，结合满足，可得曲线c的方程。（2）假设存在点p(0，t)(t0)满足条件，则直线pa的方程是yxt，pb的方程是yxt。分类讨论：当1t0时，lpa，不符合题意；当t1时，1，分别联立方程组，解得d，e的横坐标，进而可得qab与pde的面积之比，利用其为常数，即可求得结论。例3. （2012年湖南省理13分）在直角坐标系xoy中，曲线c1的点均在外，且对c1上任意一点m，m到直线x=2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值.（）求曲线c1的方程；（）设为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x=4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值.【答案】解：（）设m的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧，于是，所以，化简得曲线的方程为。（）当点p在直线上运动时，p的坐标为，又，则过p且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为。于是，整理得 设过p所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根， 由得 设四点a,b,c,d的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 同理可得 由，三式得。当p在直线上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值6400。【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系【解析】（）根据m到直线x=2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值用直接法求出曲线的方程。也可用定义法求出曲线的方程：由题设知，曲线上任意一点m到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为。（）设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值。例4. （2012年辽宁省理12分） 如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于a，b，c，d四点。 ()求直线与直线交点m的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。【答案】解：（i）设，直线a1a的方程为，直线a2b的方程为。由可得：。在椭圆上，。代入可得：，点m的轨迹方程为。 （ii）证明：设，矩形与矩形的面积相等，。a，a均在椭圆上，。，。，。为定值。【考点】圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。【解析】（i）设出线a1a的方程、直线a2b的方程，求得交点满足的方程，利用a在椭圆上，化简即可得到点m的轨迹方程。（ii）根据矩形与矩形的面积相等，可得a，a坐标之间的关系，利用a，a均在椭圆上，即可证得 为定值。例5. （2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又， 设、的方程分别为，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得