【备战】高考数学专题讲座 第13讲 高频考点分析之集合探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第13讲：高频考点分析之集合探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。集合是近代数学的基础，也是高中数学最基本的概念之一。集合的思想、方法和语言使数学命题的表达更加简捷、明了，这注定了它可以渗透到数学的各个方面，也是高考考查的重要内容之一。2012年各地高考对集合的考查主要集中在3个方面：（1）集合的运算；（2）集合的元素个数；（3）把集合作为解决数学问题的工具，考查集合语言与集合思想的运用。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨集合知识的考点：（1）集合的运算；（2）集合中的元素和个数；（3）集合思想的运用。一、集合的运算：典型例题：例1.（2012年全国课标卷理5分）已知集合；,则中所含元素的个数为【 】 【答案】。【考点】集合的运算。【解析】由，得：；，所以中所含元素的个数为。故选。例2.（2012年北京市理5分）已知集合a=xr3x20，b=x r(x1)(x3)0，则ab=【 】a（，1） b.（1，） c. ，3 d.（3，）【答案】d。【考点】集合的交集运算。【解析】， ， ab=（3，）。故选d。例3.（2012年山东省理5分） 已知全集=0,1,2,3,4，集合a=1,2,3,，b=2,4 ，则（cua）b为【 】a 1，2，4 b 2，3，4 c 0，2，4 d 0，2，3，4【答案】c。【考点】集合的运算。【解析】全集=0,1,2,3,4，集合a=1,2,3,，b=2,4，。故选c。例4.（2012年广东省理5分）设集合u=1,2,3,4,5,6， m=1,2,4 则【】au b1,3,5 c3,5,6 d2,4,6【答案】c。【考点】补集的运算。【解析】集合u=1,2,3,4,5,6， m=1,2,4 ，3,5,6。故选c。例5.（2012年浙江省理5分）设集合，集合，则【 】 a b c d【答案】a。【考点】集合的运算。【解析】，。 。故选a。例6.（2012年湖南省理5分）设集合，则=【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考点】集合的基本运算。【解析】， 。故选b。例7.（2012年辽宁省理5分）已知全集u=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合a=0,1,3,5,8，集合b=2,4,5,6,8，则为【 】(a)5,8 (b)7,9 (c)0,1,3 (d)2,4,6【答案】b。【考点】集合的交集、补集运算【解析】全集u=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合a=0,1,3,5,8，集合b=2,4,5,6,8，。为7,9。故选b。例8.（2012年陕西省理5分）集合，则【 】 a. b. c. d. 【答案】c。【考点】集合交集运算。【解析】，。故选c。例9.（2012年四川省理4分）设全集，集合，则 。【答案】【考点】集合的运算。【解析】，集合，。例10.（2012年江苏省5分）已知集合，则 【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。例11.（2012年全国大纲卷文5分）已知集合=是平行四边形，=是矩形，=是正方形，是菱形，则【 】a. b. c. d.【答案】b。【考点】集合的概念，集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项a、c、d错误，选项b正确。故选b。例12.（2012年全国课标卷文5分）已知集合a=x|x2x20，b=x|1x1，则【 】（a）ab （b）ba （c）a=b （d）ab=【答案】b。【考点】集合的运算。【解析】 ba。故选b。例13.（2012年安徽省文5分）设集合,集合是函数的定义域；则【 】 【答案】。【考点】对数函数的定义域，集合的运算。【解析】集合是函数的定义域，。 又，。故选。例14.（2012年山东省文5分） 已知全集=0,1,2,3,4，集合a=1,2,3,，b=2,4 ，则（cua）b为【 】a 1，2，4 b 2，3，4 c 0，2，4 d 0，2，3，4【答案】c。【考点】集合的运算。【解析】全集=0,1,2,3,4，集合a=1,2,3,，b=2,4，。故选c。例15.（2012年江西省文5分） 若全集的补集为【 】a b c d 【答案】c。【考点】集合的基本运算。【解析】，。故选c。例16.（2012年浙江省文5分）设全集u=1，2，3，4，5，6 ，设集合p=1，2，3，4 ，q3，4，5，则p（cuq）=【 】a.1，2，3，4，6 b.1，2，3，4，5 c.1，2，5 d.1,2【答案】d。【考点】集合的并集和补集运算。【解析】全集u=1，2，3，4，5，6 ，q3，4，5，cuq=1，2，6。 p（cuq）=1，2。故选d。例17.（2012年福建省文5分）已知集合m1,2,3,4，n2,2，下列结论成立的是【 】anm bmnm cmnn dmn2【答案】d。【考点】集合的交集。【解析】因为集合m1,2,3,4，n2,2，所以mn2。故选d。例18.（2012年上海市文4分）若集合，则 【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，。例19. （2012年重庆市文5分）设函数集合 则为【 】（a） （b）（0，1） （c）（-1，1） （d）【答案】d。【考点】复合函数的概念，解一元二次不等式和指数不等式，集合及其运算。【分析】利用已知求出集合中的范围，结合集合，求出的范围，然后求解即可：由得，或，即或。或，即。由得，即，即。故选d。二、集合中的元素和个数：典型例题：例1. （2012年江西省理5分）若集合，则集合中的元素的个数为【 】a5 b.4 c.3 d.2【答案】c。【考点】集合的元素，分类讨论。【解析】分类讨论： 当时，或2，或1； 当时，或2，或3。 根据集合的互异性，中的元素的个数为3。故选c。例2. （2012年全国大纲卷理5分）已知集合，则【 】a0或 b0或3 c1或 d1或3【答案】b。【考点】集合的概念和并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用。【解析】，。，。或，解得或或。根据集合元素的互异性，或。故选b。例3.（2012年湖北省文5分）已知集合 ，则满足条件的集合的个数为【】a 1 b 2 c 3 d 4 【答案】d。【考点】集合的子集。【解析】求解一元二次方程，得 ，易知。，根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4。原题转换为求集合的子集个数，即有个。故选d。三、集合思想的运用：典型例题：例1. （2012年江苏省10分）设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数：；若，则；若，则。（1）求；（2）求的解析式（用表示）【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：， =4。 ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数再除以2 ， 经过次以后商必为奇数此时记商为。于是，其中为奇数。由条件知若则为偶数；若，则为奇数。于是是否属于，由是否属于确定。设是中所有奇数的集合因此等于的子集个数。当为偶数 或奇数）时，中奇数的个数是（）。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。 （2）由题设，根据计数原理进行求解。例2.（2012年上海市理18分）对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称x具有性质p. 例如具有性质p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性质p，求证：1x，且当n1时，1=1；（6分） （3）若x具有性质p，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则y中与垂直的元素必有形式。 ，从而=4。 （2）证明：取，设满足。 由得，、异号。 1是x中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1。故1x。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为1。若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.=1。 （3）猜测，i=1, 2, , 。 记，=2, 3, , 。 先证明：若具有性质p，则也具有性质p。 任取，、.当、中出现1时，显然有满足。 当且时，、1。 具有性质p，有，、，使得。从而和中有一个是1，不妨设=1，假设且，则。由，得，与矛盾。，从而也具有性质p。现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , 。当=2时，结论显然成立。 假设时，有性质p，则，i=1, 2, , ； 则当时，若有性质p，则 也有性质p，所以。 取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为1。 若，则，所以，这不可能； ，又，所以。 综上所述，i=1, 2, , 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。 （2）用反证法给予证明。 （3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质p，则也具有性质p，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, , 。例3. （2012年北京市理13分）设a是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于as(m，n)，记ri(a)为a的第行各数之和（1m），cj(a)为a的第j列各数之和（1jn）；记k(a)为r1(a),r2(a),rm(a),c1(a),c2(a),cn(a)中的最小值。（1）对如下数表a，求的值；110.80.10.31（2）设数表as（2,3）形如11cab1求的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的as（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由题意可知， 。（2）先用反证法证明：若，则，（无解）。同理可知。由题设所有数和为0，即，解得，与题设矛盾。易知当时，存在。的最大值为1。（3）的最大值为。首先构造满足的：，。经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表as（2，2t+1），使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。因此的最大值为。【考点】逻辑推理，反证法的应用。【解析】（1）根据ri（a）为a的第i行各数之和（i=1，2），c j（a）为a的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（a）|，|r2（a）|，|c1（a）|，|c2（a）|，|c3（a）|中的最小值可即为所求。 （2）用反证法证明。 （3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。例4. （2012年广东省文14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示）；（2）求函数在内的极值点【答案】解：（1）设，