【备战】历高考数学真题汇编专题4 数列 理（）.doc

【2012高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，则的前5项和= a.7 b.15 c.20 d.25 2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是a.若d0，则数列sn有最大项b.若数列sn有最大项，则d0c.若数列sn是递增数列，则对任意，均有d. 若对任意，均有，则数列sn是递增数列3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，则（ ） 【答案】d 【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选d.4.【2012高考真题上海理18】设，在中，正数的个数是（ ）a25 b50 c75 d1005.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和s11=(a)58 (b)88 (c)143 (d)176【答案】b【解析】在等差数列中，答案为b6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，则（ ）a、 b、 c、 d、7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 a b c d 8.【2012高考真题福建理2】等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为a.1 b.2 c.3 d.4【答案】b. 【解析】由等差中项的性质知，又.故选b.9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ） 【答案】b 【解析】10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列an的前n项和为sn，a5=5，s5=15，则数列的前100项和为(a) (b) (c) (d) 【答案】a二、填空题11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为sn。若s2=3a2+2，s4=3a4+2，则q=_。 【答案】【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）【答案】【解析】当时， ，故正确；同样验证可得正确，错误.13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an =_。【答案】【解析】15.【2012高考真题江西理12】设数列an,bn都是等差数列，若，则_。【答案】35【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，所以。16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，则=_。18.【2012高考真题重庆理12】 . 【答案】【解析】19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。【答案】。【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，+=，。20.【2012高考真题福建理14】数列an的通项公式，前n项和为sn，则s2012=_.三、解答题21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和. （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）设数列an的前n项和为sn，满足，nn,且a1，a2+5，a3成等差数列（1） 求a1的值；（2） 求数列an的通项公式（3） 证明：对一切正整数n，有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想 26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）设数列an的前n项和为sn，满足，nn,且a1，a2+5，a3成等差数列（4） 求a1的值；（5） 求数列an的通项公式（6） 证明：对一切正整数n，有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.29.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（i）小问5分，（ii）小问7分.） 设数列的前项和满足，其中. （i）求证：是首项为1的等比数列；（ii）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.【答案】30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）已知数列an的前n项和，,且sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和tn。【答案】 31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分） 数列满足：（i）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（ii）求的取值范围，使数列是单调递增数列。【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。【解析】（i）必要条件当时，数列是单调递减数列。充分条件数列是单调递减数列，得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。（ii）由（i）得：，当时，不合题意；当时，。32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）已知是等差数列，其前n项和为sn，是等比数列，且，.（）求数列与的通项公式；（）记，证明（）.【答案】33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）已知数列an的各项均为正数，记a（n）=a1+a2+an，b（n）=a2+a3+an+1，c（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， （1） 若a1=1，a2=5，且对任意nn，三个数a（n），b（n），c（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式.（2） 证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数a（n），b（n），c（n）组成公比为q的等比数列.【答案】解（）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为，公差为的等差数列.于是（）（）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有由知，均大于，于是即，所以三个数组成公比为的等比数列.【解析】【2011年高考试题】1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，则( )（a）0 （b）3 （c）8 （d）11答案：b解析：由已知知由叠加法.2.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，则 （a）8 （b）7 （c）6 （d）53. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .【答案】10【解析】由题得5. (2011年高考湖北卷理科13)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升答案： 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。【答案】2000【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时.6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，则 解析：74. ，故7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_8(2011年高考北京卷理科11)在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。【答案】2 9. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（i）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故10.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（i）求数列an的通项公式；（ii）求数列的前n项和.所以.综上，数列的前n项和为.11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式及（）记，当时，试比较与的大小.【解析】（） 则 ，（） 因为，所以当时， 即；所以当时，；当时， .12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.（）由（）知，又所以数列的前项和为13. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.（iii）证明：由（ii）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意14. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.15. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，故，），则（1） ；（2） .答案：2; 1093解析：（1）由题意知，所以2；（2）通过例举可知：，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而.评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.16. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,当 （2）当时，（欲证），当综上所述17. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足：()求数列的通项公式；()若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解析：（）由已知，可得，两式相减可得即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，当时，综上，数列的通项公式为18.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（）小问5分，（）小问7分） 设实数数列的前n项和满足 （）若成等比数列，求和 （）求证：对有。解析：（）由题意，得，由是等比中项知，因此，由，解得， （）证明：有题设条件有，故，且从而对有 19(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 设d为非零实数，an = c1n d+2cn2d2+(n1)cnn-1d n-1+ncnndn(nn*).(i) 写出a1,a2,a3并判断an是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(ii)设bn=ndan (nn*)，求数列bn的前n项和sn解析：（1）20.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】：（）由得，前项为，（）21.(2011年高考江苏卷20)设m为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于m，当nk时，都成立（1）设m=1，求的值；（2）设m=3，4，求数列的通项公式（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：22(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求23(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：e数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的e数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的e数列；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的e数列a5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的e的数列a5）（）必要性：因为e数列a5是递增数列，所以.因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在e数列an，使得24(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）已知等比数列an的公比q=3，前3项和s3=。（i）求数列an的通项公式；（ii）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。25(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。【2010年高考试题】（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，则（a）11 （b）5 （c） （d）解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选d，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么（a）14 （b）21 （c）28 （d）35（2010辽宁理数）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（a） (b) (c) (d) 【答案】b【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选b。（2010江西理数）5.等比数列中，=4，函数，则（ ）a b. c. d. 【答案】c【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。（2010江西理数）4. （ ）a. b. c. 2 d. 不存在【答案】b【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。（2010重庆理数）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为a. 2 b. 3 c. 4 d. 8 解析： （2010四川理数）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（a）0 （b） （c） 1 （d）2（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（a）或5 （b）或5 （c） （d）【答案】c【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。（2010广东理数）4. 已知为等比数列，sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=a35 b.33 c.31 d.291.（2010安徽理数）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是a、b、c、d、【答案】d【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项d满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= a 2 b. c.4 d.6（2010福建理数）3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于a6 b7 c8 d9【答案】a【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为_.（2010福建理数）11在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。3. （2010江苏卷）8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。（2010江西理数）22. （本小题满分14分）证明以下命题：（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b1)。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (1)若= 1，d=2，q=3，求 的值；(2)若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n；(3) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。所以， ()证明： 因为所以 若，取i=n 若，取i满足且【2008年高考试题】4.(2008广东卷理2)记等差数列的前项和为，若，则( )a16 b24 c36 d48答案：d解析：，故7.(2008广东理2)记等差数列的前项和为，若，则( )a16b24c36d48答案：d 。3.(2008海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列，且，。(1)求的通项；(2)求前n项和的最大值。解：()设的公差为，由已知条件，解出，所以()所以时，取到最大值4.(2008山东理19文20)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. sn为数列bn的前n项和，且满足1=(n2).()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；()上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和. ()解：设