名师一号(必修5) 3.3.2.2.ppt

第二课时线性规划的实际应用 自学导引 学生用书P74 1 准确利用线性规划知识 求解目标函数的最值 2 掌握线性规划实际问题中的两种类型 名师讲解 学生用书P74 1 简单的线性规划的实际问题的求解方法 1 在线性规划的实际问题中 主要掌握两种类型 一是给定一定数量的人力 物力资源 问怎样运用这些资源 能使完成的任务量最大 收到的效益最大 二是给定一项任务 问怎样统筹安排 能使完成这项任务耗费的人力 物力资源量最小 不管是哪种类型 解线性规划的实际问题 关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数 然后作出可行域 在可行域内求出最优解 2 确定实际问题的最优解 要注意结合所建立的目标函数的特点而选定可行域中的特殊点作为最优解 3 建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤 明确问题中有待确定的未知量 并用数学符号表示 明确问题中所有的限制条件 约束条件 并用线性方程或线性不等式表示 明确问题的目标 并用线性函数 目标函数 表示 按问题的不同 求其最大值或最小值 4 解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的 所以作图应尽可能精确 图上操作尽可能规范 但考虑到作图必然会有误差 假如图上的最优点并不明显易辨时 不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检查 以确定最优解 2 寻找整点最优解的方法对于线性规划中的最优整数解的问题 当解方程组得到的解不是整数解时 可用下面方法求解 1 平移找解法 先打网格 描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点便是最优解 这种方法应充分利用非整点最优解的信息 结合精确的作图才行 当可行域是有限区域且整点个数又较少时 可逐个将整点坐标代入目标函数求值 经比较求最优解 2 调整优值法 先求非整点最优解及最优值 再借助不定方程的知识调整最优值 最后筛选出整点最优解 3 由于作图有误差 有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解 此时可将各个可能解逐一检查即可见分晓 典例剖析 学生用书P74 题型一方案设计问题 例1 某公司的仓库A存有货物12吨 仓库B存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库A运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库B运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的经费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总经费最少 分析 设出未知数 只取整数 找出约束条件列二元一次不等式组 从而求目标函数的最值 解 1 模型建立将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表 即运费表 单位 元 设仓库A运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库A运给丙商店的货物为 12 x y 吨 从而仓库B运给甲 乙 丙商店的货物应分别为 7 x 吨 8 y 吨 5 12 x y 吨 x y 7 吨 于是总运费为z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 从而得到本题的数学模型是 求总运费z x 2y 126在约束条件 2 模型求解作出上述不等式组所表示的平面区域 即可行域 如上图 作出直线l x 2y 0 把直线l作平行移动 显然当直线l移动到过点A 0 8 时 在可行域内 z x 2y 126取得最小值zmin 0 2 8 126 110 即x 0 y 8时 总运费最少 3 模型应用安排的调运方案是 仓库A运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时 可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 规律技巧 解线性规划应用题的流程是 实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解 变式训练1 2007 山东高考 某公司计划2008年在甲 乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告 广告总费用不超过9万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为500元 分钟和200元 分钟 假定甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司带来的收益分别为0 3万元和0 2万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最大收益是多少万元 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如下图所示 答 该公司在甲电视台做100分钟广告 在乙电视台做200分钟广告 公司的收益最大 最大收益是70万元 题型二合理下料问题例2 要将两种大小不同的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示 今需A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 且使所用钢板张数最少 答 要截得所需三种规格的钢板 且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种 第一种截法是截第一种钢板3张 第二种钢板9张 第二种截法是截第一种钢板4张 第二种钢板8张 两种方法都最少要截两种钢板共12张 变式训练2 北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机 由于这两种产品的市场需求量大 供不应求 因此该商厦要根据实际情况 如成本 工资 确定产品的月供应量 以使得总利润达到最大 通过调查 得到这两种产品的有关数据如下表 试问 怎样确定两种产品的月供应量 才能使总利润最大 最大利润是多少 答 月供应量为空调4台 洗衣机9台 可获得最大利润9600元 易错探究 学生用书P76 错因分析 显然整点B 2 1 满足约束条件 且此时S 14 故上述解法不正确 对于整点解问题 其最优解不一定是离边界点最近的整点 而要先对边界点作目标函数t Ax By的图象 则最优解是在可行域内离直线t Ax By最近的整数 也可以多试几个整数点 通过比较找出最优解 正解 方法同错解 结论应改为 因为x y为整数 当直线5x 4y S经过点B 2 1 时 S 5 2 4 1 14 当经过点C 1 2 时 S 5 1 4 2 13 比较知 S的最大值为14 技能演练 学生用书P76 基础强化 答案 A 答案 B 答案 B 4 2009 四川高考 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12万元B 20万元C 25万元D 27万元答案 D 5 2009 山东高考 某公司租赁甲 乙两种设备生产A B两类产品 甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件 乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件 已知设备甲每天的租赁费用为200元 设备乙每天的租赁费用为300元 现该公司至少要生产A类产品50件 B类产品140件 所需租赁费最少为 元 答案 2300 6 某厂拟用集装箱托运甲 乙两种货物 集装箱的体积 重量 可获利润和托运能力等限制数据列在下表中 那么为了获得最大利润 甲 乙两种货物应各托运的箱数为 答案 4 1 能力提升7 某工厂制造A种仪器45台 B种仪器55台 现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳 已知钢板有甲 乙两种规格 甲种钢板每张面积2m2 每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个 乙种钢板每张面积3m2 每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个 问甲 乙两种钢板各用多少张才能用料最省 用料最省 是指所用钢板的总面积最小 8 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务 该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车 有10名驾驶员 每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次 B型卡车3次 每辆卡车每天往返的成本费A型为320元 B型为504元 请为公司安排一下 应如何调配车辆 才能使公司所花的成本费最低 若只安排A型或B型卡车 所花的成本费分别是多少 解 设需A型 B型卡车分别为x辆和y辆 列表分析数据 作出线性区域 如下图所示 可知当直线z 320 x 504y过A 7 5 0 时 z最小 但A 7 5 0 不是整点 继续向上平移直线z 320 x 504y可知 点 5 2 是最优解 这时zmin 320 5 504 2 2608 元 即用5辆A型车 2辆B型车 成本费最低 若只用A型车 成本费为8 320 2560 元 只用B型车 成本费为 504 302