高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1.1 函数的零点课件 苏教版必修1.ppt

3 4函数的应用 3 4 1函数与方程 第1课时函数的零点 1 函数的零点一般地 我们把使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 交流1方程的根与函数的零点有何关系 函数的零点是一个点吗 提示确定函数y f x 的零点 就是求方程f x 0的根 故函数的零点不是一个点 而是一个实数 2 函数零点的存在性定理一般地 若函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 上有零点 交流2若函数y f x 在区间 a b 上的图象不连续 当f a f b 0时 函数y f x 在区间 a b 上还有零点吗 交流3 1 设f x 2x2 x 4 则一元二次方程f x 0在区间 0 2 内根的个数是 2 已知函数f x x3 2x2 x 2 则此函数共有个零点 提示 1 1 2 3 典例导学 即时检测 一 二 三 一 求函数的零点求下列函数的零点 1 f x x2 x 6 2 f x x3 x 3 f x ax 1 x 2 a r 思路分析根据函数零点与方程根的关系 求函数的零点 就是求相应方程f x 0的实数根 典例导学 即时检测 一 二 三 解 1 方法一 令f x 0 即x2 x 6 0 1 2 4 1 6 25 0 方程x2 x 6 0有两个不相等的实数根x1 2 x2 3 函数f x x2 x 6的零点是x1 2 x2 3 方法二 由f x x2 x 6 x 3 x 2 0 得x1 2 x2 3 函数f x x2 x 6的零点为x1 2 x2 3 2 x3 x x x2 1 x x 1 x 1 令f x 0 得x x 1 x 1 0 f x 的零点为x1 0 x2 1 x3 1 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 2 求下列函数的零点 1 f x ax 1 2 f x x2 7x 8 3 f x x3 9x 解 1 令f x 0 即ax 1 0 当a 0时 方程无实数根 即函数无零点 2 令f x 0 即x2 7x 8 0 72 4 1 8 0 方程有两个不相等的实数根 分别为x1 1 x2 8 函数f x 的零点为1 8 3 令f x 0 即 x3 9x 0 x3 9x 0 因式分解 得x x 3 x 3 0 x1 0 x2 3 x3 3 函数f x 有三个零点分别为0 3 3 典例导学 即时检测 一 二 三 根据函数零点的定义 求函数f x 的零点就是求使f x 0的x的值 即方程f x 0的根 一般求法是 代数法 解方程的思想 如求一元二次方程f x 0的实数根常用求根公式 分解因式等方法 几何法 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点 典例导学 即时检测 一 二 三 二 判断零点个数判断下列函数的零点个数 思路分析 1 中f x 为二次函数 可直接判断对应的一元二次方程根的个数 2 中求函数的零点可直接解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数 看两个函数图象交点的个数即可 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 求函数f x log2x 2 x的零点个数 导学号51790106 解方法一 因为函数y log2x是增函数 函数y 2 x是减函数 所以函数f x log2x 2 x是增函数 且在 0 上图象是不间断的 又因为所以f x log2x 2 x只有一个零点 典例导学 即时检测 一 二 三 方法二 由零点的定义可知 即求方程f x 0的解的个数 即log2x 2 x 0解的个数 移项得log2x 2 x 构造函数y1 log2x及y2 2 x 方程log2x 2 x 0的根的个数即为两个函数图象的交点的个数 因为两个函数图象只有一个交点 如图所示 所以方程log2x 2 x 0只有一个实根 从而函数f x log2x 2 x只有一个零点 典例导学 即时检测 一 二 三 判断函数零点个数的主要方法 1 利用方程根 转化为解方程 有几个根就有几个零点 2 画出函数y f x 的图象 判定它与x轴的交点个数 从而判定零点的个数 3 结合单调性 利用f a f b 0 可判定y f x 在 a b 上零点的个数 4 转化成两个函数图象的交点问题 典例导学 即时检测 一 二 三 三 函数零点的应用关于x的方程mx2 2 m 3 x 2m 14 0有两个实数根 且一个大于4 一个小于4 求m的取值范围 导学号51790107 思路分析注意方程两根与4的关系可构造函数g x mx2 2 m 3 x 2m 14 结合二次函数图象及f 4 列出关于参数m的不等式 组 解不等式 组 即可求得m的范围 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 导学号51790108 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 解决有关根的分布问题应注意以下几点 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑四个方面 与0的大小 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 开口方向 3 写出由题意得到的不等式 组 并解不等式 组 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 1 函数y x 2的零点是 a 1b 2c 3d 4答案 b解析 由x 2 0 得x 2 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 2 若函数f x x2 2x a有两个零点 则实数a的取值范围是 a 0 b 1 c 0 d 1 答案 b解析 由 4 4a 0 解得a 1 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 3 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a 函数g x lnx x 2的零点为b 则下列不等式中成立的是 导学号51790109 a f a f 1 f b b f a f b f 1 c f 1 f a f b d f b f 1 f a 答案 a 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 5 函数f x x2 ax b有两个零点 1 6 则a b的值分别为 导学号51790110 答案 5 6解析 由题意 1 6是方程x2 ax b 0的两根 由根与系数的关系 知 a 1 6 b 1 6 a 5 b 6 典例导