【备考 志鸿优化设计】（湖南专用）中考数学总复习 第16讲 直角三角形二次函数（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 湘教版.doc

第16讲直角三角形考标要求考查角度1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形自主测试1(2012广东广州)在rtabc中，c90，ac9，bc12，则点c到ab的距离是()a b c d2(2012四川巴中)已知a，b，c是abc的三边长，且满足关系式|ab|0，则abc的形状为_3. (2012重庆)如图，在rtabc中，bac90，点d在bc边上，且abd是等边三角形若ab2，求abc的周长(结果保留根号)考点一、直角三角形的判定【例1】 如图，在abc中，ab=ac，bac=90，点d为边bc上的任一点，dfab于f，deac于e，m为bc的中点，试判断mef的形状，并证明你的结论分析：连接am，可得ambm，然后证明bfmaem，得到fmme，emf90.解：mef是等腰直角三角形连接am，bac90，am是斜边bc的中线，mambmc，mabcabac，bbammae45.dfab，deac，afdaedfae90，四边形dfae是矩形，fdea又fbfd，fbea，bfmaem(sas)，fmem，bmfame.amfbmf90，emfamfame90，mef是等腰直角三角形方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得触类旁通1具备下列条件的abc中，不能成为直角三角形的是()aabc ba90ccabc dac90考点二、直角三角形的性质【例2】 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连接dc(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：dcbe.(1)解：图2中abeacd证明如下：abc与aed均为等腰直角三角形，abac，aead，bacead90.baccaeeadcae，即baecad又abac，aead，abeacd(2)证明：由(1)abeacd知acdabe45.又acb45，bcdacbacd90，dcbe.方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例3】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边ac=6 cm，bc=8 cm，现将直角边ac沿直线ad折叠，使它落在斜边ab上，且与ae重合，求cd的长解：设cd长为x cm，由折叠得acdaedaeac6 cm，aedc90，decdx cm.在rtabc中，ac6 cm，bc8 cm，ab10(cm)ebabae1064(cm)，bdbccd(8x) cm，在rtdeb中，由勾股定理得de2be2db2.x242(8x)2，解得x3.cd的长为3 cm.方法总结 1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形触类旁通2如图，在四边形abcd中，a=90，ab=3，ad=4，cd=13，cb=12，求四边形abcd的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】 如图所示，铁路上a，b两站(视为直线上两点)相距14 km，c，d为两村庄(可视为两个点)，daab于a，cbab于b，已知da8 km，cb6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站e，使c，d两村到e站的距离相等，则e站应建在距a站多少千米处？分析：因为daab于a，cbab于b，在ab上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解：设e站应建在距a站x km处，根据勾股定理有82x262(14x)2，解得x6.所以e站应建在距a站6 km处方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决触类旁通3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长1(2012湖南邵阳)如图所示，在rtabc中，acb90，b30，ed是bc的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段_2(2012湖南岳阳)如图，在rtabc中，b90，沿ad折叠，使点b落在斜边ac上，若ab3，bc4，则bd_.3(2012湖南郴州)如图，在菱形abcd中，对角线ac6，bd8，则这个菱形的边长为_4(2012湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中bd90，abbc15千米，cd3千米，请据此解答如下问题：图甲图乙(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据1.41，1.73，2.45)；(2)求acd的余弦值1. 如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为()a3 cm b6 cmc3 cm d6 cm2在abc中，三边长分别为a，b，c，且ac2b，cab，则abc是()a直角三角形 b等边三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是()a5 b25c5或25 d无法确定4. 如图，在rtabc中，以三边ab，bc，ca为直径向外作半圆，设直线ab左边阴影部分的面积为s1，右边阴影部分的面积和为s2，则() as1=s2bs1s2cs1s2d无法确定5直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将abc如图那样折叠，使点a与点b重合，折痕为de，则的值是()a b c d6. 如图，在rtabc中，acb=90，点d是斜边ab的中点，deac，垂足为e，若de2，cd2，则be的长为_7. 如图，已知等腰rtabc的直角边长为1，以rtabc的斜边ac为直角边，画第二个等腰rtacd，再以rtacd的斜边ad为直角边，画第三个等腰rtade，依此类推直到第五个等腰rtafg，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_. 8. 如图，已知点d为等腰rtabc内一点，cadcbd15，e为ad延长线上的一点，且ceca(1)求证：de平分bdc；(2)若点m在de上，且dcdm，求证：mebd参考答案【知识梳理】一、1.互余2.一半3.一半二、1.902.互余3一半4.平方和导学必备知识自主测试1a根据题意画出相应的图形，如图所示：在rtabc中，ac9，bc12，根据勾股定理得：ab15.过点c作cdab，交ab于点d，又sabcacbcabcd，cd，则点c到ab的距离是.2等腰直角三角形由题意得：c2a2b20，ab0，c2a2b2，ab，则abc的形状为等腰直角三角形3解：abd是等边三角形，b60.bac90，c180906030，bc2ab4.在rtabc中，由勾股定理得：ac2，abc的周长为acbcab24262.探究考点方法触类旁通1.d触类旁通2.解：在rtabd中，bd5，在bcd中，cd13，cb12，bd5，cb2bd2cd2.dbc90.s四边形abcdsabdsdbcabadbcbd3412563036.触类旁通3.解：在rtabc中，ac8，bc6，由勾股定理得，ab10，扩充部分为rtacd，扩成等腰三角形abd，应分以下三种情况：(1)如图1，当abad10时，可求得cdcb6，故abd的周长为32 m.(2)如图2，当abbd10时，可求得cd4，由勾股定理得ad4，故abd的周长为(204) m.(3)如图3，当ab为底时，设adbdx，则cdx6，由勾股定理得(x6)282x2，则x，故abd的周长为 m.品鉴经典考题1答案不唯一，bdcd或bece或acce或ceae或acae或aebe等由线段垂直平分线的概念，得bdcd；由线段垂直平分线的性质，得bece；由ace是等边三角形，得acceae；由三角形中位线的性质，得aebe，由上面结论，任选两条相等的线段即可2.设b点的对应点为b，连接db，由勾股定理得ac5，又abab，所以bc532，设dbdbx，则dc4x，在rtdbc中，x222(4x)2，解得x.354解：(1)连接ac，在rtabc中，abbc15千米，b90，ac15(千米)在rtacd中，ac15千米，cd3千米，d90，ad12(千米)周长abbccdda1515312304.2320.7655(千米)，面积sabcsadc151512318157(平方千米)(2)cosacd.研习预测试题1d2a由ac2b，cab，可得cb，ab，于是得a2b2c2，所以abc是直角三角形3c4.a5c由折叠性质可知，aebe，设ce为x，则be8x.在rtbce中，62x2(8x)2，所以x.故.64点d是ab的中点，acb90，deac，cdab，debc，ab4，bc4.在rtacb中，ac8，ceac4.cebc4，acb90，be4.7.根据题意易知cdac，adde()22，efae2，affg24，ag4，所以所求图形的面积ssabcs梯形acdes梯形aefg11(2)(24)2312