【备考】高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 选修4系列 理.DOC

选修4系列n1选修4-1 几何证明选讲图1622n12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16所示，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于点d.(1)证明：dbdc；(2)设圆的半径为1，bc，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径22解：(1)证明：联结de，交bc于点g.由弦切角定理得，abebce.而abecbe，故cbebce，bece.又因为dbbe，所以de为直径，dce90，由勾股定理可得dbdc.(2)由(1)知，cdebde，dbdc，故dg是bc的中垂线，所以bg.设de的中点为o，联结bo，则bog60.从而abebcecbe30，所以cfbf，故rtbcf外接圆的半径等于.15n12013广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13所示，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bccd，过c作圆o的切线交ad于e.若ab6，ed2，则bc_图13152 解析 由题知acb90，又bccd，adab6，baccae，aeaded4.ce为切线，aceabc.acecaeabcbac90.在acd中，acd90，cead，cd2edda12，解得cd2 ，故bc2 .图1515n12013湖北卷 (选修41：几何证明选讲)如图15所示，圆o上一点c在直径ab上的射影为d，点d在半径oc上的射影为e.若ab3ad，则的值为_158解析 设ab6k，则ad2k，dok，co3k，设eox，由射影定理：do2eoco，k2x3k，x，故8.图1311n12013湖南卷 如图12所示，在半径为的o中，弦ab，cd相交于点p.papb2，pd1，则圆心o到弦cd的距离为_11.解析 由相交弦定理可知papbpcpd，得pc4，故弦cd5，又半径r，记圆心o到直线cd的距离为d，则d27，即d2，故d.21n12013江苏卷 a选修41：几何证明选讲如图11所示，ab和bc分别与圆o相切于点d，c，ac经过圆心o，且bc2oc.求证：ac2ad.图11证明：联结od，因为ab和bc分别与圆o相切于点d，c，所以adoacb90.又因为aa，所以rtadortacb，所以.又bc2oc2od.故ac2ad.11n12013北京卷 如图12，ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，pb与圆o相交于d，若pa3，pddb916，则pd_，ab_图1211.4解析 由于pddb916，设pd9a，则db16a，pb25a，根据切割线定理有pa2pdpb，a，pd，pb5.又pba为直角三角形，ab2ap2pb2，ab4.22n12013辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图，ab为o的直径，直线cd与o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直ab于f，联结ae，be.证明：(1)febceb；(2)ef2adbc.图1822证明：(1)由直线cd与o相切，得cebeab.由ab为o的直径，得aeeb，从而eabebf.又efab，得febebf，从而febeab.故febceb.(2)由bcce，efab，febceb，be是公共边，得rtbcertbfe，所以bcbf.类似可证，rtadertafe，得adaf.又在rtaeb中，efab，故ef2afbf，所以ef2adbc.n12013陕西卷 b(几何证明选做题)如图14，弦ab与cd相交于o内一点e，过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p，已知pd2da2，则pe_.图14解析 利用已知可得，bcepedbap，可得pdepea，可得，而pd2da2，则pa3，则pe2papd6，pe.15c8，e8，n12013四川卷 设p1，p2，pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点p到p1，p2，pn点的距离之和最小，则称点p为p1，p2，pn点的一个“中位点”例如，线段ab上的任意点都是端点a，b的中位点则有下列命题：若a，b，c三个点共线，c在线段ab上，则c是a，b，c的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点a，b，c，d共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)15解析 对于，如果中位点不在直线ab上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾而当中位点在直线ab上时，如果不与c重合，则|pa|pb|pc|pa|pb|也不符合题意，故c为唯一的中位点，正确；对于，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 16，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，错误；对于，当a，b，c，d四点共线时，不妨设他们的顺序就是a，b，c，d，则当点p在b，c之间运动时，点p到a，b，c，d四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，错误；对于，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，正确13n12013天津卷 如图12所示，abc为圆的内接三角形，bd为圆的弦，且bdac.过点a作圆的切线与db的延长线交于点e，ad与bc交于点f，若abac，ae6，bd5，则线段cf的长为_图1213.解析 由切割线定理可得ea2ebed，有eb4，ed9.因为abac，所以abccadb，由弦切角定理可得eabadb，所以eababc，故aebc.又bdac，所以四边形aebc是平行四边形，可得bcae6，又由平行线分线段成比例定理可得，因为ae6，所以bf，故cfbcbf.22n12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲：如图15，cd为abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点d，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，且bcaedcaf，b，e，f，c四点共圆(1)证明：ca是abc外接圆的直径；(2)若dbbeea，求过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值图1522解：(1)证明：因为cd为abc外接圆的切线，所以dcba，由题设知，故cdbaef，所以dbcefa.因为b，e，f，c四点共圆，所以cfedbc，故efacfe90.所以cba90，因此ca是abc外接圆的直径(2)联结ce，因为cbe90，所以过b，e，f，c四点的圆的直径为ce，由dbbe，有cedc，又bc2dbba2db2，所以ca24db2bc26db2.而dc2dbda3db2，故过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值为.1614n12013重庆卷 如图16所示，在abc中，c90，a60，ab20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，则de的长为_145解析 联结ce.由弦切角定理知bcda60，所以在rtbcd中，cbd30.又在rtabc中，abc30，acab10，所以ceac10.在rtcde中，dce30，故dece5.n2选修4-2 矩阵212013福建卷 n2()选修42：矩阵与变换已知直线l：axy1在矩阵a)对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点p(x0，y0)在直线l上，且a)，求点p的坐标()解：(1)设直线l：axy1上任意点m(x，y)在矩阵a对应的变换作用下的像是m(x，y)由)，得又点m(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依题意得解得(2)由a)，得解得y00.又点p(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点p的坐标为(1，0)n22013江苏卷 b选修42：矩阵与变换已知矩阵a1,0)0,2)，b1,0)2,6)，求矩阵a1b.解：设矩阵a的逆矩阵为a,c)b,d)，则1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0,1)，故a1，b0，c0，d，从而a的逆矩阵为a10,)所以a1b0,)1,0)2,6)1,0)2,3)2n2，n32013浙江卷 已知ar“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系ox的极点o为原点，极轴ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xoy，并在两种坐标系中取相同的长度单位把极坐标方程cos 2sin 1化成直角坐标方程(2)在直角坐标系xoy中，曲线c：(为参数)，过点p(2，1)的直线与曲线c交于a，b两点若|pa|pb|，求|ab|的值2解：(1)极坐标方程两边同乘以得cos 3sin .又在直角坐标系下，cos x，sin y，2x2y2，故化成直角坐标方程为xy(x2y2).又(0，0)满足原极坐标方程故所求的直角坐标方程为xy(x2y2).(2)由题意，曲线c的直角坐标方程为x22y22.设过点p(2，1)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)及点a，b对应的参数分别为t1，t2.将直线的参数方程代入x22y22得(2tcos )22(1tsin )220.即(1sin2)t24(sin cos )t40.则16(2sin cos sin2 )0，且t1t2，t1t2，由|pa|pb|得|t1t2|.故sin2 .又由0得0tan 2.故t1t2，t1t2.所以|ab|t1t2|.n3选修4-4 参数与参数方程23n32013新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知曲线c1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为2sin .(1)把c1的参数方程化为极坐标方程；(2)求c1与c2交点的极坐标(0，02)23解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即c1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以c1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)c2的普通方程为x2y22y0，由解得或所以c1与c2交点的极坐标分别为，.7n32013安徽卷 在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()a0(r)和cos 2 b(r)和cos 2c(r)和cos 1 d0(r)和cos 17b解析 圆的直角坐标方程为x2y22x0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x0，x2，其极坐标方程分别为(r)和cos 2.9n32013北京卷 在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_91解析 极坐标系中点的对应直角坐标系中的点的坐标为(，1)，极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线方程为y2，所以距离为1.n3()选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点a的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点a在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆c的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆c的位置关系()解：(1)由点a，在直线cosa上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆c的直角坐标方程为(x1)2y21.所以圆c的圆心为(1，0)，半径r1，因为圆心c到直线l的距离db0)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆o的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆c的焦点，且与圆o相切，则椭圆c的离心率为_16.解析 直线l的直角坐标方程为xym0，圆o的直角坐标方程为x2y2b2，由直线与圆相切得：m22b2.又椭圆c的一般方程为1，直线过椭圆焦点，故mc，所以c22b2e.9n32013湖南卷 在平面直角坐标系xoy中，若直线l：(t为参数)过椭圆c：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_93解析 将参数方程化为普通方程可得，直线l：即yxa，椭圆c：即1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a3.n32013江苏卷 c选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)，试求直线l和曲线c的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线c的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，1.152013江西卷 n3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线c的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为_n42013江西卷 (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_15(1)cos2sin 0(2)解析 (1)曲线方程为yx2，将ysin ，xcos 代入得cos2sin 0.(2)1|x2|110|x2|22x22，得0x4.23n32013辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆c1，直线c2的极坐标方程分别为4sin ，cos2 .(1)求c1与c2交点的极坐标；(2)设p为c1的圆心，q为c1与c2交点连线的中点已知直线pq的参数方程为(tr为参数)，求a，b的值23解：(1)圆c1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线c2的直角坐标方程为xy40.解得所以c1与c2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，p点与q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线pq的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.cn32013陕西卷 (坐标系与参数方程选做题)如图15，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_图15(为参数)解析 设p(x，y)，则随着取值变化，p可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2y2x0x2y2，表示以，0为圆心，半径为的圆，可得弦op1cos，所以可得故已知圆的参数方程为(为参数)11n32013天津卷 已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为c，点p的极坐标为4，则|cp|_.112 解析 圆的极坐标方程为4cos ，圆心c的直角坐标为(2，0)p点极坐标，化为直角坐标为(2，2)，|cp|2 .23n32013新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知动点p，q都在曲线c：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，m为pq的中点(1)求m的轨迹的参数方程；(2)将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点23解：(1)依题意有p(2cos ，2sin )，q(2cos 2，2sin 2)，因此m(cos cos 2，sin sin 2)m的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)m点到坐标原点的距离d(00，且t1t2，t1t2，由|pa|pb|得|t1t2|.故sin2 .又由0得0tan 2.故t1t2，t1t2.所以|ab|t1t2|.15n32013重庆卷 在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则|ab|_1516解析 直线的普通方程为x4，代入曲线的参数方程 得t2，当t2时x4，y8；当t2时x4，y8，即有a(4，8)，b(4，8)，于是|ab|8(8)16. n4()选修45：不等式选讲24n42013新课标全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围24解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x(0，2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立，故a2，即a，从而a的取值范围是设不等式|x2|a(an*)的解集为a，且a，a.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值()解：(1)因为a，且a，所以a，且a.解得0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0.从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.24.n42013辽宁卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为，求a的值24解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.15n42013陕西卷 (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)a(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_2解析 利用柯西不等式式可得：(ambn)(bman)()2mn(ab)22.14n42013天津卷 设ab2，b0，则当a_时，取得最小值142解析 2 1，当且仅当时，等号成立联立ab2，b0，a0.可解得a2.24n42013新课标全国卷 选修45：不等式选讲设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcc