【备考】全国名校数学试题分类汇编（12月 第四期）N单元选修4系列（含解析）.doc

备考备考 2015 20152015 2015 届全国名校数学试题分类汇编 届全国名校数学试题分类汇编 1212 月月 第四期 第四期 n n 单元选修单元选修 4 4 系列 含解析 系列 含解析 目录 n n 单元选修单元选修 4 4 系列系列 1 1 n1n1 选修选修 4 14 1 几何证明选讲几何证明选讲 1 1 n2n2 选修选修 4 24 2 矩阵矩阵 3 3 n3n3 选修选修 4 44 4 参数与参数方程参数与参数方程 4 4 n4n4 选修选修 4 54 5 不等式选讲不等式选讲 6 6 n5n5 选修选修 4 74 7 优选法与试验设计优选法与试验设计 9 9 n1n1 选修选修 4 14 1 几何证明选讲几何证明选讲 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 22 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图所示 已知与 相切 为切点 过点的割线交圆于两点 弦 paoapcb apcd 相交于点 为上一点 且 bcad efceecefde 2 1 求证 epefebce 2 若 求的长 2 3 2 3 efdebecepa 知识点 几何证明 n1 答案 1 略 2 4 315 pa 解析 解析 ecefde 2 defdef 第 22 题图 2 分 def ced cedf 又 apcd cp pedf peadef 4 分 edf epa ed ep ef ea epefedea 又 5 分 ebceedea epefebce ecefde 2 2 3 efde 2 9 ec 2 3 bece3 be 由 1 可知 解得 7 分 epefebce 4 27 ep 是 的切线 4 15 ebepbp paopcpbpa 2 解得 10 分 2 9 4 27 4 15 2 pa 4 315 pa 思路点拨 i 由已知可得 得到 由平行线的性质可得 defcedaa edfc 于是得到 再利用对顶角的性质即可证 pc edfp 明 于是得到 利用相交弦定理可得 edfepaaa ea edef ep 进而证明结论 ii 利用 i 的结论可得 再利用切 ea edce eb 15 4 bp 割线定理可得 即可得出 pa 2 papb pc 数学文卷 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 201411 22 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图所示 已知与 相切 为切点 过点的割线交圆于两点 弦 paoapcb apcd 相交于点 为上一点 且 bcad efceecefde 2 求证 epefebce 若 求的长 2 3 2 3 efdebecepa 知识点 弦切角 n1 答案 解析 略 4 315 pa 解析 ecefde 2 defdef 2 分def ced cedf 又 apcd cp pedf peadef 4 分edf epa ed ep ef ea epefedea 又 5 分ebceedea epefebce ecefde 2 2 3 efde 2 9 ec2 3 bece3 be 由 1 可知 解得 7 分epefebce 4 27 ep 是 的切线 4 15 ebepbppaopcpbpa 2 解得 10 分 2 9 4 27 4 15 2 pa 4 315 pa 思路点拨 利用与已知可得 ec 的长 进而得到 be 利用相交弦定理可得defcedaa 得到 ae 再利用 可得 得到 pe 进而得 ae edeb ce ap cdaaepfedaa 到 pb 再利用切割线定理可得即可得出 2 papb pc n2n2 选修选修 4 24 2 矩阵矩阵 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 1 1 已知矩阵 的一个特征值是 3 求直线在作用下的直线方程 a m 1 12 032 yxm 知识点 特征值 特征向量的应用 n2 答案 解析 0954 yx 第 22 题图 解析 矩阵的一个特征值是 3 设 a m 1 12 a f 1 12 则解得 01 2 a 01 3 23 a 2 a 21 12 m 设直线上任一点在作用下对应的点为则有032 yx yxm yx 整理得 则 代入 整理得 21 12 y x y x 2 2 yyx xyx 3 1 3 2 3 1 3 2 xyy yxx 032 yx 所求直线方程为 09 5 4 yx0954 yx 思路点拨 根据矩阵的一个特征值是 3 可求出 a 的值 然后设直线 a m 1 12 上任意一点在作用下对应的点为根据矩阵变换特点 写出032 yx yxm yx 两对坐标之间的关系 把已知的点的坐标用未知的坐标表示 代入已知直线的方程 得到结 果 n3n3 选修选修 4 44 4 参数与参数方程参数与参数方程 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 2 2 在平面直 角坐标系中 曲线的参数方程是若以为极点 轴的正xoyc 1sin cos 参参参 y x ox 半轴为极轴 取与直角坐标系中相同的单位长度 建立极坐标系 求曲线的极坐标方程 c 知识点 圆的参数方程 简单曲线的极坐标方程 n3 答案 解析 sin2 解析 由消去得曲线是以点为圆心 1 为半径 1sin cos y x 1 1 22 yxc 1 0 的圆 在极坐标系中 曲线是以点为圆心 1 为半径的圆 曲线的极坐标c 2 1 c 方程是 sin2 思路点拨 求得圆 c 的直角坐标方程为把 x cos y sin 代入化 1 1 22 yx 简可得曲线 c 的极坐标方程 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 23 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴 且两个坐标系取相等的长度单ox 位 已知直线 的参数方程为 sin cos1 ty tx 为参数 曲线的极坐标方lt 0c 程为 cos4sin 2 求曲线的直角坐标方程 c 设直线 与曲线相交于 两点 当变化时 求的最小值 lcab ab 知识点 极坐标参数方程 n3 答案 xy4 2 4 解析 解析 由 cos4sin 2 得 cos4 sin 2 所以曲线 c 的直角坐标方程为 xy4 2 5 分 将直线 的参数方程代入 xy4 2 得 l04cos4sin 22 tt 设 两点 对应的参数分别为 则 2 sin cos4 2 sin 4 ab1 t 2 t 21 tt 21t t 224 2 sin 4 sin 16 sin cos16 21 2 2121 4 ttttttab 当时 的最小值为 4 10 分 2 ab 思路点拨 由化简可得曲线的直角坐标方程 直线 与曲线 cos sinxy cl 联立可得方程 利用两点间的距离公式结合韦达定理求得 c04cos4sin 22 tt 的最小值 ab 数学文卷 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 201411 23 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴 且两个坐标系取相等的长度单ox 位 已知直线 的参数方程为 sin cos1 ty tx 为参数 曲线的极坐标方lt 0c 程为 cos4sin 2 求曲线的直角坐标方程 c 设直线 与曲线相交于 两点 当变化时 求的最小值 lcab ab 知识点 简单曲线的极坐标方程 n3 答案 解析 xy4 2 的最小值为 4ab 解析 由 cos4sin 2 得 cos4 sin 2 所以曲线c的直角坐标方程为xy4 2 5 分 将直线 的参数方程代入xy4 2 得 l04cos4sin 22 tt 设 两点 对应的参数分别为 则 2 sin cos4 2 sin 4 ab 1 t 2 t 21 tt 21t t 224 2 sin 4 sin 16 sin cos16 21 2 2121 4 ttttttab 当时 的最小值为 4 10 分 2 ab 思路点拨 1 利用即可化为直角坐标方程 xcos ysin 2 将直线 的参数方程代入 利用根与系数的关系 弦长公式及参数的几何意义l 2 4yx 即可得出 n4n4 选修选修 4 54 5 不等式选讲不等式选讲 1 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 201412 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 5 2 f xxxaxr 求证 1 当时 不等式成立 2 1 a ln 1f x 2 关于的不等式在 r 上恒成立 求实数的最大值 x axf a 知识点 选修 4 5 不等式选讲 n4 答案 1 略 2 5 4 解析 1 证明 由 51 22 f xxx 1 22 2 15 3 22 5 22 2 xx x xx 得函数 f x的最小值为 3 从而 3f xe 所以ln 1f x 成立 2 由绝对值的性质得 555 222 f xxxaxxaa 所以 f x最小值为 5 2 a 从而 5 2 aa 解得 5 4 a 因此a的最大值为 5 4 思路点拨 利用分段函数最值证明结论 根据绝对值的意义求出 a 的最大值 21 数学文卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 已知函数 1 2 axxxf x exg 其中e是自然对数的底数 1 若1 a 求函数 xgxfy 在 2 1 上的最大值 2 若1 a 关于x的方程 xgkxf 有且仅有一个根 求实数k的取值范围 3 若对任意的2 0 21 xx 21 xx 不等式 2121 xgxgxfxf 都成立 求实数a的取值范围 知识点 导数的应用 绝对值不等式的性质 b12 n4 答案 解析 1 2 3 1 1 2 3e 2 13 0 ee 解析 1 当 a 1 时 由得 x 0 或 x 1 经 22 1 xx yxxeyxx e 0y 检验 x 1 0 时 x 0 2 时 所以函数 xgxfy 0y 0y 在 1 0 上递减 在 0 2 上递增 又当 x 1 时 y x 2 时 y 所以函数 3 e 2 3e xgxfy 在 2 1 上的最大值为 2 3e 2 当 a 1 时 关于x的方程 xgkxf 为 即 2 1 x xxke 2 1 x xx k e 令 经检验得 h x 在上递减 2 121 xx xxxx h xh x ee 1 2 在 1 2 上递增 所以函数 h x 在 x 1 处有极小值 h 1 在 x 2 处有极大值 h 2 1 e 2 3 e 而 x 趋向于时 h x 趋向于 0 所以实数 k 的取值范围是 2 13 0 ee 3 不等式 2121 xgxgxfxf 即 12 22 1122 xx xaxxaxee 只需 12 1212 xx xxxxaee 12 12 12 xx ee xxa xx 12 1212 12 xx ee xxaxxa xx 12 12 12 xx ee axx xx 因为2 0 21 xx 是增函数 所以 0 0 x e 12 12 xx ee xx 12 xx 所以 12 12 22 12 12 1212 xx xx exex ee axx xxxx 设 则 而得 经检验 2 x h xex 2 x h xq xex 20 x q xe ln2x 时有极小值 也是最小值 所以 h x 是 0 2 上得增函数 而ln2x h x 22ln20 所以 2 2 0 5 0 1 1 202 hhe h 111aa 思路点拨 1 利用导数确定函数的单调性 极值性 从而求得此函数 2 1 x yxxe 的最大值 2 采用分离常数法求 k 的取值范围 3 利用绝对值不等式的性质 转化为 求函数在 0 2 上 任意两点确定直线的斜率的最小值 a 小于此最小值即可 2 x h xex 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 22 本小题满分 10 分 已知函数 2 f xx 1 解不等式 1 2f xf x 2 若 a 0 求证 2 1 f axaf xf a 知识点 绝对值不等式的解法 绝对值不等式性质的应用 e2 n4 答案 解析 1 2 证明 见解析 15 22 xx 解析 1 由题意 得 1 1 2 f xf xxx 因此只须解不等式 2 分 1