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文档简介
第四节 隐函数微分法 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 两边对x求导 在 的某邻域内 则 若F x y 的二阶偏导数也都连续 二阶导数 则还可求隐函数的 例1 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 连续 由定理1可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 并求 两边对x求导 两边再对x求导 令x 0 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 两边对x求偏导 同样可得 则 例2 设 解法1利用隐函数求导 再对x求导 解法2利用公式 设 则 两边对x求偏导 例3 设F x y 具有连续偏导数 解法1利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 故 对方程两边求微分 解法2微分法 二 方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 由F G的偏导数组成的行列式 称为F G的雅可比行列式 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 即 雅可比 定理3 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足 导数 有隐函数组 则 两边对x求导得 设方程组 在点P的某邻域内 解的公式 故得 系数行列式 同样可得 例4 设 解 方程组两边对x求导 并移项得 求 由题设 故有 练习 设 求 提示 习题 分别由下列两式确定 又函数 有连续的一阶偏导数 1 设 解 两个隐函数方程两边对x求导 得 解
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