山东省济南一中高三数学4月质量检测试题 理（含解析）新人教A版.doc

山东省济南一中2013届高三4月质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2011湖北）已知u=1，2，3，4，5，6，7，8，a=1，3，5，7，b=2，4，5则u（ab）（）a6，8b5，7c4，6，7d1，3，5，6，8考点：补集及其运算；并集及其运算专题：计算题分析：由已知中u=1，2，3，4，5，6，7，8，a=1，3，5，7，b=2，4，5，我们根据集合并集的运算法则求出ab，再利用集合补集的运算法则即可得到答案解答：解：u=1，2，3，4，5，6，7，8，a=1，3，5，7，b=2，4，5ab=1，2，3，4，5，7，cu（ab）=6，8故选a点评：本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”2（5分）（2013烟台二模）已知i为虚数单位，复数z=，则复数z的虚部是（）abcd考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念.专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为i，从而求得复数z的虚部解答：解：由于复数z=i，故复数z的虚部是，故选b点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）（2007山东）设函数y=x3与y=（）x2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系.专题：计算题；压轴题分析：根据y=x3与y=（）x2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x322x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x322x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案解答：解：y=（）x2=22x令g（x）=x322x，可求得：g（0）0，g（1）0，g（2）0，g（3）0，g（4）0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）故选b点评：本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解4（5分）（2011宁波模拟）已知f1，f2是双曲线的两焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）a4+2b1cd考点：双曲线的简单性质.专题：计算题分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点m的坐标可得，进而求得其中点n的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e解答：解：依题意可知双曲线的焦点为f1（c，0），f2（c，0）f1f2=2c三角形高是cm（0，c）所以中点n（，c）代入双曲线方程得：=1整理得：b2c23a2c2=4a2b2b2=c2a2所以c4a2c23a2c2=4a2c24a4整理得e48e2+4=0求得e2=42e1，e=+1故选d点评：本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线的基础知识的把握5（5分）阅读程序框图，若输出s的值为14，则判断框内可填写（）ai6？bi8？ci5？di7？考点：程序框图.专题：函数的性质及应用分析：设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决解答：解：第一次执行循环体时，s=1，i=3；第二次执行循环时，s=2，i=5；第三次执行循环体时，s=7，i=7，第四次执行循环体时，s=14，i=8，所以判断框内可填写“i8？”，故选b点评：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题6（5分）（2005北京）函数f（x）=（）a在0，），（，上递增，在，），（，2上递减b在0，），）上递增，在（，（，2上递减c在（，（，2上递增，在0，），）上递减d在，），（，2上递增，在0，），（，上递减考点：正切函数的单调性.专题：压轴题分析：先化简函数解析式，再根据正切函数的单调性可解题解答：解：f（x）=当sinx0时，即x0时f（x）=tanx（x）当sinx0时，即x，2时f（x）=tanx（x）根据正切函数的单调性可知：函数f（x）在0，），（，上递增，在，），（，2上递减故选a点评：本题主要考查正切函数的单调性一定要注意正切函数的定义域即x|x，kz7（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）abc1d2考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题分析：几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可解答：解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1故选c点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查想的视图能力与空间想象能力8（5分）如图，已知点o是边长为1的等边abc的中心，则（）（）等于（）abcd考点：平面向量数量积的运算.专题：计算题分析：由题意求出的长度，推出夹角大小，直接利用向量的数量积求解即可解答：解：因为点o是边长为1的等边abc的中心，d为bc的中点，两两夹角为120所以=所以（）（）=+=故选d点评：本题考查向量的数量积的运算，利用条件求出的值，已经向量的夹角是解题的关键9（5分）从6人中选4人分别到a、b、c、d四个城市游览，要求每个城市有1人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲乙不去a城市游览，则不同的选择方案为（）a96种b144种c196种d240种考点：排列、组合及简单计数问题.专题：计算题分析：本题是一个分步计数问题，先安排a城市的游览方法，甲、乙两人都不能参加a城市的游览方法有4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分步计数原理得到结果解答：解：先安排a城市的游览方法，有4种，再安排b城市的游览方法，有5种，再安排c城市的游览方法，有4种，再安排d城市的游览方法，有3种根据分步计数原理，不同的选择方案有4543=240种，故选d点评：本题考查分步计数问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果，属于中档题10（5分）（2003北京）在直角坐标系xoy中，已知aob三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则aob内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）a95b91c88d75考点：简单线性规划的应用.专题：压轴题分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出aob即直线x=0，y=0，2x+3y=30，围成的平面区域，然后分析平面区域里各个点，进一步求出整点的个数解答：解：aob即直线x=0，y=0，2x+3y=30围成的平面区域如图所示：当y=0，有16个整点；当y=1，有14个整点；当y=2，有13个整点；当y=3，有11个整点；当y=4，有10个整点；当y=5，有8个整点；当y=6，有7个整点；当y=7，有5个整点；当y=8，有4个整点；当y=9，有2个整点；当y=10，有1个整点；共91个整点故选b点评：求平面区域的整点个数是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后分析平面区域内的点，易求出平面区域内的整点个数11（5分）（2007四川）已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点a、b，则|ab|等于（）a3b4cd考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：计算题分析：先设出直线ab的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而可求ab中m的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|ab|解答：解：设直线ab的方程为y=x+b，由x2+x+b3=0x1+x2=1，进而可求出ab的中点，又在直线x+y=0上，代入可得，b=1，x2+x2=0，由弦长公式可求出故选c点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系考查了学生综合分析问题和解决问题的能力12（5分）设函数，对任意x1，+），f（mx）+mf（x）0恒成立，则实数m的取值范围是（）am0bm0cm1dm1考点：函数恒成立问题.专题：转化思想分析：显然m0，分当m0与当m0两种情况进行讨论，并进行变量分离即可得出答案解答：解：由f（mx）+mf（x）0得，整理得：，即恒成立当m0时，因为y=2x2在x1，+）上无最大值，因此此时不合题意；当m0时，因为y=2x2在x1，+）上的最小值为2，所以1+，即m21，解得m1或m1（舍去）综合可得：m1故选d点评：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）已知函数f（x）=在区间（2，+）上为增函数，则实数a的取值范围是 a考点：函数单调性的性质.专题：计算题；压轴题分析：把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在 （2，+）为增函数得出12a0，从而得到实数a的取值范围解答：解：函数f（x）=a+，由复合函数的增减性可知，若g（x）=在 （2，+）为增函数，12a0，a，故答案为 a点评：本题考查利用函数的单调性求参数的范围14（5分）已知向量则cos（）的值为考点：两角和与差的余弦函数；向量的模；平面向量的坐标运算.专题：平面向量及应用分析：由条件和向量的坐标运算求出的坐标，再代入向量模的公式化简，再由两角差的余弦公式化简求值解答：解：由题意得，（coscos）2+（sinsin）2=，化简得，22coscos2sinsin=，即coscos+sinsin=，cos（）=，故答案为：点评：本题考查了向量的坐标运算，向量模的公式，以及两角差的余弦公式，关键要熟练掌握公式15（5分）在三次独立重复试验中，事件a在每次试验中发生的概率相同，若事件a至少发生一次的概率为，则事件a恰好发生一次的概率为考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.专题：概率与统计分析：设事件a在每次试验中发生的概率都是p，则由事件a至少发生一次的概率为，可得 1p0（1p）3=，解得p的值，再由事件a恰好发生一次的概率为 p（1p）2，运算求得结果解答：解：设事件a在每次试验中发生的概率都是p，则由事件a至少发生一次的概率为，可得 1p0（1p）3=，解得p=故事件a恰好发生一次的概率为 p（1p）2=3=，故答案为 点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于中档题16（5分）底面半径为1，高为的圆锥，其内接圆柱的底面半径为r，内接圆柱的体积最大时r值为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题分析：由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积，求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值解答：解：设所求的圆柱的高为h，它的轴截面如图：由图得，所以h=v=，v=令v=0，得r=得r=是极大值点，也是最大值点，即当r=时，内接圆柱的体积最大故答案为：点评：本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，求实数b的取值范围考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断.专题：导数的综合应用分析：（1）令f（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）x2+x在区间0，2上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）x2+x在0，2上最值和极值情况利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围解答：解：（1）f（x）=2x1，f（0）=0，a=1（2）f（x）=ln（x+1）x2x所以问题转化为b=ln（x+1）x2+x在0，2上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）x2+x在0，2上最值和极值情况g（x）=，g（x）的增区间为0，1，减区间为1，2gmax（x）=g（1）=+ln2，gmin（x）=g（0）=0，又g（2）=1+ln3，当b1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用18（12分）（2011孝感模拟）某班同学利用五一节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率125，30）1200.6230，35）195p335，40）1000.5440，45）a0.4545，50）300.3650，55）150.3（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在40，45）岁的人数为x，求x的分布列和数学期望ex考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列.专题：计算题分析：（i）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，在有频率定义知高为，在有频率分布直方图会全图形即可；（ii）由题意及（i）因为40，45）岁年龄段的“低碳族”与45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，40，45）岁中有12人，45，50）岁中有6人，并且由题意分出随机变量x服从超几何分布，利用分布列定义可以求出分布列，并利用分布列求出期望解答：解：（）第二组的频率为1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，所以高为频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.045=0.2，所以由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3=300，所以第四组的频率为0.035=0.15，所以第四组的人数为10000.15=150，所以a=1500.4=60（）因为40，45）岁年龄段的“低碳族”与45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，40，45）岁中有12人，45，50）岁中有6人随机变量x服从超几何分布，所以随机变量x的分布列为x0123p数学期望点评：此题考查了频率分布直方图及其性质，还考查了统计中的分层抽样及离散型随机变量的定义及分布列，并考查了应用其分布列求其期望，重在考查学生的理解及计算能力19（12分）（2012开封二模）如图，已知四棱锥pabcd，侧面pad为边长等于2的正三角形，底面abcd为菱形，dab=60（1）证明：pbc=90；（2）若pb=3，求直线ab与平面pbc所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角.专题：综合题；空间角分析：（1）取ad中点o，连op、ob，证明ad平面pob，利用bcad，可得bc平面pob，从而可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面pbc的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线ab与平面pbc所成角的正弦值解答：（1）证明：取ad中点o，连op、ob，由已知得：opad，obad，又opob=o，ad平面pob，bcad，bc平面pob，pb平面pob，bcpb，即pbc=90（2）解：如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，则a（1，0，0），b（0，0），c（1，0），由po=bo=，pb=3，得pob=120，poz=30，p（0，），则=（1，0），=（1，0，0），=（0，），设平面pbc的法向量为=（x，y，z），则，取z=，则=（0，1，），设直线ab与平面pbc所成的角为，则sin=|cos，|=点评：本题考查直线与平面垂直，考查线面角，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题20（12分）设椭圆c：+=1（ab0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，o为坐标原点（）求椭圆c的方程；（）过点o作两条互相垂直的射线，与椭圆c分别交于a，b两点，证明点o到直线ab的距离为定值并求出定值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（i）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得，又，及a2=b2+c2联立即可解出；（ii）设a（x1，y1），b（x2，y2），（1）直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得到根与系数的关系由oaob，可得x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入即可；（2）直线ab斜率不存在时也满足解答：解：（i）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得，化为3（a2+b2）=7（bcab）2，又，联立得，解得，椭圆c的方程为（ii）设a（x1，y1），b（x2，y2），（1）直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为y=kx+m，联立消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，oaob，x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，整理得7m2=12（k2+1），并且满足0所以o到直线ab的距离为定值（2）直线ab斜率不存在时，直线ab的方程为：，化为，点o到直线ab的距离为为定值综上（1）（2）可知：点o到直线ab的距离为定值点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系、点到直线的距离公式等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力21（12分）已知函数f（x） 定义在（1，1）上，f（）=1，满足f（x）f（y）=f（），且数列x1=，xn+1=（）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数；（）求f（xn）的表达式；（）若a1=1，an+1=f（xn）an，（nn+）试求an考点：奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法；数列的应用.专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（） 利用奇函数的定义去证明（）利用数列的递推公式推导（）将数列进行等价转化，转化为规则数列，然后求通项公式解答：解：（）因为f（x）定义在（1，1）上满足f（x）f（y）=f（），所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）f（y）=f（y），即f（y）=f（y），所以f（x）=f（x），即f（x）在（1，1）上为奇函数（）因为，所以，又，所以f（xn）为等比数列，其通项公式为.（6分）（3）因为+an+1=6n，所以an+1+an+2=6（n+1），两式相减，得an+2=6，所以a2n1与a2n均为公差为6 的等差数列，所以易求得=（12分）点评：本题考查了抽象函数的应用以及函数奇偶性的证明，以及数列的通项公式，综合性较强运算量较大四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22（10分）（2010辽宁）如图，abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e（1）证明：abeadc；（2）若abc的面积s=adae，求bac的大小考点：圆內接多边形的性质与判定.专题：计算题；证明题分析：（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将abc的面积转化为s=abac，再结合三角形面积公式，不难得到bac的大小解答：证明：（1）由已知abc的角平分线为ad，可得bae=cad因为aeb与acb是同弧上的圆周角，所以aeb=acd故abeadc解：（2）因为abeadc，所以，即abac=adae又s=abacsinbac，且s=adae，故abacsinbac=adae则sinbac=1，又bac为三角形内角，所以bac=90点评：相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相