单自由度系统振动.pdf

17 第2章 单自由度系统的振动 以弹簧一质量系统为力学模型 研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义 因为工程 上有许多问题通过简化 用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果 而同时对多自由度系统 和连续系统的振动 在特殊坐标系中考察时 显示出与单自由度系统类似的性态 因此 揭示单自 由度振动系统的规律 特点 为进一步研究复杂振动系统奠定了基础 2 1 无阻尼系统的自由振动 设有质量为 m 的物块 可视为质点 挂在弹簧的下端 弹簧的自然长度为 l0 弹簧刚度为 k 如不 计弹簧的质量 这就构成典型的单自由度系统 称之为弹簧质量系统如图 2 1 所示 工程中许多振 动问题都可简化成这种力学模型 例如 梁上固定一台电动机 当电机沿铅直方向振动时 梁和电 机组成一个振动系统 如不计梁的质量 则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧 而电机可视 为集中质量 于是这个系统可简化成如图 2 1 所示的弹簧质量系统 2 1 1 自由振动方程 以图 2 1 所示的弹簧质量系统为研究对象 取物块的静平衡位置 为坐标原点 O x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正 当物块在静平衡位 置时 由平衡条件 Fx 0 得到 st kmg A st 称为弹簧的静变形 当物块偏离平衡位置为 x 距离时 物块的运动微分方程为 mxkx第三项是伴随激励而产生自 由振动 称为自由伴随振动自由伴随振动 其特点是振动频率为系统的固有频率 但振幅与系统本身的性质及激励 因素都有关 第四项则为稳态强迫振动 对于存在阻尼的实际系统 自由振动和自由伴随振动的振幅 都将随时间逐渐衰减 因此它们都是瞬态响应 现在考虑共振时的情况 假设初始条件为 0 0 0 0 xx 由式 2 45 得 2 nn0 1 sinsin tptp k F tx 由共振的定义 1 时上式是 0 0 型未定义 利用洛必达法则算出共振时的响应为 tptp k F tptptp k Ftptptp k F tx n 2 n 0 nnn 0nnn 1 0 cos1 2 cos sin 22 cossin lim 式中 tpn 1 arctan 可见 当 n p 时 无阻尼系统的振幅随时间无限增大 经过短 暂时间后 共振响应可以表示为 2 sin 2 cos 2 n n0 nn 0 tpt k pF tptp k F tx 此即共振时的受迫振动 反映出共振时的位移在相位上比 激振力滞后 2 且振幅与时间成正比地增大 如图 2 21 图 2 20 共振时的受迫振动 图 2 21 过渡阶段的响应 PDF created with pdfFactory Pro trial version 41 下面讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 在给定初始条件下的运动微分方程为 00 0 0 0 sin xxxx tFkxxcxm B 用前面所述方法得到式 B 的全解为 sin sin cossin cos sine sincos e n 0n0 0 tBtp p p tpB tp p xpx tpxtx d d d tp d d d tp n n 2 55 式中 m k p n mp c n 2 2 n 1 ppd n p 222 0 2 1 kF B 2 1 2 arctan 式 2 55 中右端的三项分别是系统在无激励时的自由振动 自由伴随振动及稳态强迫振动 显然 当经过充分长时间后 作为瞬态响应的前两种振动都将消失 只剩下稳态强迫振动 如果初始位移与初始速度都为零 则式 2 55 成为 sin sin cossin cos sine n tBtp p p tpBtx d d d tpn 2 56 可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动 图 2 21 表示出零初始条件下 d p 时系统在过渡阶 段的振动情况 2 6 周期激励作用下的受迫振动 在实际问题中 遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励 根据第 1 章中的分析 可以先对周 期激励作谐波分析 将它分解为一系列不同频率的简谐激励 然后 求出系统对各个频率的简谐激 励的响应 再由线性系统的叠加原理 将每个响应分别叠加 即得到系统对周期激励的响应 设如图2 10所示的粘性阻尼系统受到周期激振力 F tF tT 其中T为周期 记 T 2 1 为基频 由谐波分析方法 得到 F t a antbnt nn n cossin 0 11 1 2 2 57 这样 系统的运动微分方程为 mxcxkx F t a antbnt nn n cossin 0 11 1 2 2 58 由叠加原理 并考虑欠阻尼情况 得到系统的稳态响应 x t a k AntBnt nnnn n cos sin 0 11 1 2 2 59 PDF created with pdfFactory Pro trial version 42 其中 n 2 n n 1 2 222 222 2 1 2 tan 2 1 1 2 1 1 mp c m k p p n k b B k a A n n n n n n n nn n n 2 60 例例 2 9 图 2 1 所示的弹簧质量系统 受到周期性矩形波的激励如图 1 6 例 1 1 中 试求系统的 稳态响应 其中 n 12 p T 解 周期性矩形波的基频为 6 2 n 1 p T n p是系统的固有频率 由例 1 1 可将矩形波分解为 3 1 1 0 sin 1 4 n tn n f tF 由式 2 79 可得稳态响应 n 1 2 0 3 1 1 1 1 4 sin p n kn f BtnBtx n n n n n 其中 n 为奇数 画出系统的响应频谱图如图 2 22 示 从频谱图中看 系统只对激励所包含的谐波分 量有响应 对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量 系统响应的振幅放大因子比较大 在整个 稳态响应中占主要成分 2 7 任意激励作用下的受迫振动 2 7 1 系统对冲量的响应 1 用冲量描述瞬态作用 对作用时间短 变化急剧的力常用它的冲量进行描述 现在来考察图 2 1 所示的系统中 物块对冲量的响应 设冲量的大小为 F 物块受到冲量的作用时 由于物块的惯性并且冲量作用时间 力的瞬时值很大 因此 物块的 位移可忽略不计 但物块的速度却变化明显 根据力学中的碰撞理论 可得物块受冲量作用获得的 速度 22 PDF created with pdfFactory Pro trial version 43 v F m 速度v与冲量 F方向相同 如果取t 0为冲量 F作用的瞬时 于是初位移x00 初速度 x v F m 0 代入式 2 4 中 便得到单自由度无阻尼振动系统对冲量 F的响应 tp mp F x n n sin 2 61 如果 F作用在t 的时刻 未加冲量前 系统静止 则物块的响应为 sin n n tp mp F x 2 62 同理 如果在t 0时 冲量作用在有粘性阻尼的物块上 图 2 10 对欠阻尼的情形 得其响 应 tp mp F x d nt d sine 2 63 如果 F在t 时作用 则其响应为 sine tp mp F x d tn d 2 64 2 7 2 系统对单位脉冲力的响应 单位脉冲力作用于图 2 10 所示单自由度系统时 其振动微分方程为 tkxxcxm 对上式积分并取极限得 100 1d lim d limd lim 0 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 xm txkcxxm tttkxxcxm 上式意味着在 t 0 时 0 x 有一突变 即 PDF created with pdfFactory Pro trial version 44 m x 1 0 这就是说单位脉冲激励的效应使系统获得初始速度 m x 1 0 因为这一脉冲作用的时间很短 此后 系统即作自由振动 并由下式决定 m xxt tpXtx d nt 1 0 0 0 0 sin e 根据初始条件可确定 X 和 最后将得到 tp mp tx d nt d sine 1 2 65 式中 n n 2 n 2 2 1 p n mk c m c n m k pppd 式 2 65 即为单位脉冲响应函数 又称为单自由度系统的时域响应函数 用 h t 来表示 即 tp mp th d nt d sine 1 t 0 2 66 h t 有以下特性 00 0 sine 1 1 t ttp mp th d nt d 2 67 t ttp mp th d tn d 0 sine 1 2 2 68 不难发现 h t 的表达式包含系统的所有的动特性参数 它实质上是系统动特性在时域的一种表现形 式 h t 是单位脉冲冲量的响应 其量纲为 位移 冲量 2 7 3 单位脉冲响应函数的时 频变换 h t 的傅里叶变换用 H 来表示 称之为频域响应函数 它是系统的动特性在频域的表现形式 运用欧拉公式得 tpntpn d tptp d nt dddd mpmp th j j jj ee 2 j ee 2 je 2 69 j 1 j 1 2 j de ee 2 j de ee 2 j j jj jj 0 j j j 0 ddd tptpntpn d tptpntpn d pnpnmp t mp t mp thFH ddd ddd PDF created with pdfFactory Pro trial version 45 cmknpm npnmnpnm pnpnmp dd ddd j 1 2j 11 2j 11 2j 11 j j 2 2 1 222 n 222222 因此有 n 2 n 22 n 2j1 11 2j 11 pp knpm H 2 70 上式积分限从 0 到 称为单边傅里叶变换 2 7 4 系统对任意激振力的响应 在图 2 10 所示的系统中 作用有一任意激振力F t 设 n n p为欠阻尼情形 仍采用前几节 的符号规定 则得物块的运动微分方程 mxcxkxF t 2 71 图 2 23 表示任意激振力F t 的图形 当系统受到这种激 振力的作用时 可以将激振力F t 看作是一系列元冲量的叠 加 对于在时刻t 的元冲量为 d FF 由式 2 64 得到系统对 F的响应 sine d d tp mp F x d tn d 由线性系统的叠加原理 系统对任意激振力的响应等于系统在 时间区间0 t内各个元冲量的总和 即 t d tn d t tp mp F xtx 0 0 d sine d tt 1 2 72 对无阻尼的振动系统 可令式 2 72 中的n 0 得到任意激振力的响应 t tp mp F tx 0 n n d sin 2 73 如果将单位脉冲函数响应的表达式 2 68 与式 2 72 式 2 73 比较 可得到单自由度系 统对任意激振力响应的统一表达式 t thFtx 0 d tt 1 2 74 上式的积分形式称为卷积 因此 线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积 这 个结论称为博雷尔 Borel 定理 也称杜哈梅 Duhamel 积分 23 PDF created with pdfFactory Pro trial version 46 应该注意 式 2 72 表示物块在激振力作用的时间区间以内的运动 如果在t 0时系统有初 始位移x0和初始速度 x 0 则系统对任意激振力的响应为 t d tn d d d d nt tpF mp tp p xnx tpxtx 0 00 0 d sine 1 sincos e tt 1 2 75 对于无阻尼振动系统的响应为 t n n n n n tpF mp tp p x tpxtx 0 0 0 d sin 1 sincos tt 1 2 76 t 1 t 即激振力停止作用后 物块的运动称为剩余运动 显然是以x tx t 11 为初始条件的 运动 这个初始条件可由式 2 75 或式 2 76 中将t1作积分上限来求出 例 2 10 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用 试求其响应 解 取开始加力的瞬时为t 0 受阶跃函数载荷的图形如图 2 24 所示 设物块处于平衡位置 且xx 00 0 将FF 0 代入式 2 73 积分后得响应为 x t F k p t n cos 0 1 可以看到 在突加的常力作用下 物块的运动仍是简谐运动 只是其振动中心沿力F0的方向移 动一距离 F k 0 F k 0 也是F0使弹簧产生的静变形 若上述阶跃力从ta 开始作用 如图 2 25 则系统的响应为 0 cos1 sin n 0 n 0 x atp k F dtp mp F x t a n t a ta 实际上 在 t 1 t阶段 物块是以tt 1的位移x1和速度 x 1为初始条件作自由振动 因此 其响应也 可用下面的方法求得 由式 A tpp k F x tp k F x nn 0 1 n 0 1 sin cos1 C 将式 C 表示的初始条件代入式 2 4 得 cos cos sin cos n1n 0 1n n 1 1n1 tpttp k F ttp p x ttpxtx D 式 D 与式 B 同 在 t 1 t阶段 物块振动的振幅为 T t k Ftp k F tp k F p x xA 101n0 1n 02 n 12 1 sin 2 2 sin 2 cos1 2 式中 T 为系统自由振动的周期 可见常力F0除去后的振幅随 t T 1 而改变 在t T 1 2 时 A F k 2 0 在tT 1 时 A 0 即除去F0后 系统静止不动 2 7 5 传递函数 作为研究线性振动系统的工具 拉普拉斯 简称拉氏 变换方法有广泛的用途 它是求解线性微 26 PDF created with pdfFactory Pro trial version 48 分方程 特别是常系数的线性微分方程的有效工具 用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数 关系 现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应 由式 2 71 得物块的运动微分方程 mxcxkxf t 2 77 其中f t 表示任意的激振力 并设t 0时xx 0 xx 0 对式 2 77 两端各项作拉氏变换 0 0 0 d e d e ssXxttxtx sXttxtx st st l l d e d e 0 2 00 0 sFttftf sXssxxttxtx st st l l 将以上结果代入式 2 97 经整理得 mscsk X sF smxmsc x 2 00 X s F smxmsc x mscsk 00 2 2 78 式 2 78 是系统的响应在拉氏域中的表达式 将式 2 98 进行拉氏逆变换 便得到系统在 时间域的响应的表达式 在式 2 78 中 如不计运动的初始条件 即令xx 00 0 则式 2 78 可写成 X s F s mscsk 2 或 X s F smscsk 1 2 2 79 令 G s mscsk 1 2 2 80 则 X s F s G s 或 X sG s F s 2 81 G s 称系统的传递函数 它定义为系统的响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 对方程 2 77 表示的系统 其传递函数如式 2 80 式 2 81 表明 在拉氏域中 系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积 PDF created with pdfFactory Pro trial version 49 例 2 12 具有粘性欠阻尼的系统 受到阶跃力F tF 0的作用 且t 0时 x x 00 0 试 用拉氏变换方法求系统的响应 解 系统的传递函数已由式 2 80 求出 kcsms sG 2 1 阶跃力F0的拉氏变换为 s F tFFsF st0 0 00 de l 于是 得响应的拉氏变换为 X sG s F s F mscsk 0 2 引入记号 m c np m k p 22 n 2 n 上式写成 2 2 11 2 nn 2 3210 2 nn 2 0 psps AsA s A m F pspssm F sX 其中系数AAA 123 可由部分分式方法确定 2 n 1 1 p A 2 n 2 1 p A n3 2 pA 最后得到 1 22 n n 22 n n 2 n 0 dd pps p pps ps smp F sX 对上式作拉氏逆变换 即得响应 sin cose1 0 tp p p tp k F tx d d n d tpn 2 8 响应谱 响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图 最大响 应值可以是系统的最大位移 最大加速度 最大应力或出现最大值的时刻等 参数可以选择为系统 的固有频率或激励的作用时间等 响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示 响应谱在工程实际中是很重要的 它揭示出最大值出现的条件或时间等 如受迫振动的幅频特 性曲线 当振动系统已定 激振力的大小已定时 该曲线表示出受迫振动的振幅和激振力频率的关 系 振幅就是振动位移的最大值 由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的值 因此 幅频 特性曲线就是一种响应谱 在例 2 11 中 得出了在矩形脉冲力F tFtt 01 0 作用下的系统的响应 PDF created with pdfFactory Pro trial version 50 当0 1 tt时 cos1 n 0 tp k F tx 或 cos1 nst tpxtx 2 82 其中 k F x 0 st 表示静力F0使弹簧产生的变形 当tt 1时 cos cos n1nst tpttpxtx 2 83 在此阶段 物体作自由振动 振幅为 T t xA 1 st sin2 2 84 由式 2 82 看出 当 1 t 2 T 时x t 与 x t都是正值 x t 单调增加 其极值出现在 t 1 t的 范围 而且等于剩余振动的振幅 如果以 st m x x 为纵坐标 m x表示位移的极值 t T 1 为横坐标 式 2 84 的图形就是矩形脉冲力的位移响应谱 如图 2 27 从图 2 27 看出 如果F0作用的持续时间 1 t 6 T 剩余振动的振幅将小于静变形 st x 如果用 m t表示出现位移极值的时刻 由式 2 83 求出速度的表达式 sin sin 1nnnst ttptppxtx 令 x t 0 得 24 sinsin 1 m 1mnmn tT t ttptp 2728 PDF created with pdfFactory Pro trial version 51 或 4 21 1 mT t T t 2 85 式 2 85 的响应谱如图 2 28 所示 它表示在矩形脉冲力的作用下其位移极值出现的时刻与作用力 持续时间t1的关系 习 题 2 1 一单层房屋结构可简化为题 2 1 图所示的模型 房顶质量为 m 视为一刚性杆 柱子高 h 视为无质量的弹性杆 其抗弯刚度为 EJ 求该房屋作水平方向振动时的固有频率 2 2 一均质等直杆 长为 l 重量为 W 用两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置 如题 2 2 图所示 试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程 并求出振动固有周期 2 3 求题 2 3 图中系统的固有频率 悬臂梁端点的刚度分别是 1 k和 3 k 悬臂梁的质量忽略不计 2 4 求题 2 4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率 其中 1 J 2 J和 3 J是三个轴段截 面的极惯性矩 I 是圆盘的转动惯量 各个轴段的转动惯量不计 材料剪切弹性模量为 G 2 5 如题 2 5 图所示 质量为 2 m的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动 鼓轮绕轴的转动惯量 为 I 忽略绳子的弹性 质量及个轴承间的摩擦力 求此系统的固有频率 PDF created with pdfFactory Pro trial version 52 2 6 如题 2 6 图所示 刚性曲臂绕支点的转动惯量为 0 I 求系统的固有频率 2 7 一个有阻尼的弹簧 质量系统 质量为 10 kg 弹簧静伸长是 1cm 自由振动 20 个循环后 振幅从 0 64 cm 减至 0 16cm 求阻尼系数 c 2 8 一长度为 l 质量为 m 的均质刚性杆铰接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承 如题 2 8 图所 示 写出运动微分方程 并求临界阻尼系数和固有频率的表达式 2 9 如题 2 9 图所示的系统中 刚杆质量不计 试写出运动微分方程 并求临界阻尼系数及固有 频率 2 10 如题 2 10 图所示 质量为 2000 kg 的重物以 3 cm s 的速 度匀速运动 与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动 已知 k 48020 N m c 1960 Ns m 问重物在碰撞后多少时间达到最大 振幅 最大振幅是多少 2 11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为 d p 在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频 率为 m 求系统的无阻尼固有频率 n p 相对阻尼系数 及对数衰减率 2 12 已知系统的弹簧刚度 k 800 N m 作自由振动时的阻尼振动周期为 1 8s 相邻两振幅的比 值 1 2 4 1 i i A A 若质量块受激振力ttF3cos360 N 的作用 求系统的稳态响应 2 13 一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用 当激振频率6 1 rad s 时 系统发生共振 给质量块增加 1 kg 的质量后重新试验 测得共振频率86 5 2 rad s 试求系统原来的质量及弹簧 PDF created with pdfFactory Pro trial version 53 刚度 2 14 总质量为 W 的电机装在弹性梁上 使梁产生静挠度 st 转子重 Q 重心偏离轴线 e 梁重 及阻尼可以不计 求转速为 时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅 2 15 如题 2 15 图所示 作用在质量块上的激振力tFtF sin 0 弹簧支承端有运动 taxs cos 写出系统的运动微分方程 并求稳态振动 2 16 如题 2 16 图的弹簧质量系统中 两个弹簧的连接处有一激振力tF sin 0 求质量块的振幅 2 17 在题 2 17 图示的系统中 刚性杆 AB 的质量忽略不计 B 端作用有激振力tF sin 0 写出 系统运动微分方程 并求下列情况中质量 m 作上下振动的振幅值 1 系统发生共振 2 等于固 有频率 n p的一半 2 18 写出题 2 18 图示系统的运动微分方程 并求系统固有