江西省萍乡市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

江西省萍乡市2015届高三上学期期末 数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数z=的共轭复数=（）abc+idi2（5分）已知集合m=x|xx2，n=x|y=2x，xr，则mn=（）a（0，1）bc3（5分）已知四边形abcd为梯形，abcd， l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，dc”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分不要条件d既不充分也不必要条件4（5分）双曲线的实轴和虚轴的4个端点都在一圆上，则此双曲线两渐近线的夹角为（）a30b45c60d905（5分）已知cos（）=，则cos2=（）abcd6（5分）几何体的三视图如图，则其体积为（）abc21d417（5分）函数y=的图象大致为（）abcd8（5分）某商店一个月的收支数据为a1，a2，an，按程序框图进行统计，那么关于s，t的关系正确的是（）an=stbn=s+tcstdst9（5分）数列an中，a1=，且（n+2）an+1=nan，则它的前20项之和s20=（）abcd10（5分）某舰艇在a处测得遇险渔船在北偏东30、距离为6海里的b处，此时得知该渔船正在沿正东方向以每小时6海里的速度航行，舰艇以每小时18海里的速度去救援，则舰艇追上渔船的最短时间是（）a30分钟b40分钟c50分钟d60分钟11（5分）已知存在正实数a，b，c满足2，clnb+clna=a+clnc，则lnb的取值范围是（）abd12（5分）已知函数f（x）的定义域为r，且f（x）=，f（x+1）=f（x1），则方程f（x）=在区间上的所有实根之和为（）a2b1c0d1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）函数f（x）=cos（2x）（x）的单调递增区间为14（5分）抛物线y=x2上的点到直线y=2x6的最短距离为15（5分）abc中，ac=3，bc=4，ab=5，o是其内切圆的圆心，则=16（5分）下面四个命题中：两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，“x与y有关系”的把握程度越大；在回归直线方程=0.6x+9中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.6个单位；其中有一个是假命题，其序号是三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）设公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，若s4，s2，s3成等差数列，且s1=s4+18（1）求sn；（2）若将满足sn2015的所有n由小到大依次构成数列bk，求数列bk的通项公式18（12分）某市为考核一学校的教学质量，对该校甲、乙两班各50人进行测验，根据这两班的成绩绘制茎叶图如图所示：（1）求甲、乙两班成绩的中位数，并将甲乙两班数据合在一起，绘出这些数据的频率分布直方图；（2）根据抽样测验，能否认为该学校“教学成绩不低于70分的学生至少占全体学生的80%”？（3）根据茎叶图，分析甲、乙两班成绩的特点19（12分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是一个直角梯形，abcd，abc=90cd=3，bc=2，ab=5，aa1=2（i）若a1a=a1d，点o在线段ab上，且ao=2，a1o=4，求证：a1o平面abcd；（ii）试判断ab1与平面a1c1d是否平行，并说明理由20（12分）已知函数f（x）=lnxaxln2（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）当a=1，时，对任意x（0，+），不等式f（x）bx1恒成立，求实数b的取值范围21（12分）已知椭圆=1（ab0）的左焦点为f（，0），过点f的直线交椭圆与a，b两点，当直线ab垂直x轴时，|ab|=（1）求该椭圆方程；（2）若斜率存在且不为0的动线段ab的中点为g，ab的垂直平分线与x轴和y轴分别交于d，e两点，o是坐标原点（如图所示），记gfd的面积为s1，oed的面积为s2，求的取值范围22（10分）如图，o的直径ab=4，弦cd所在直线与ab的延长线交于点p，且=，ed是ab交于点f（1）求证：pfpo=pbpa；（2）若pb=2bf，试求pb的长23在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线c的极坐标方程为p26pcos+5=0（1）写出曲线c的参数方程；（2）设m（x，y）（y0）为曲线c上一点，求x+y的取值范围24设函数f（x）=|x+a|+|xb|，其中a，b为常数（1）当a=b0时，解关于x的不等式f（x）4a；（2）若a0，b0，且=，证明：f（x）4江西省萍乡市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数z=的共轭复数=（）abc+idi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数z=的共轭复数=故选：a点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2（5分）已知集合m=x|xx2，n=x|y=2x，xr，则mn=（）a（0，1）bc考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出不等式xx2的解集即为集合m，由y=2x0求出集合n，再由交集的运算求mn解答：解：由xx2得，0x1，则集合m=，由y=2x0得，则集合n=（0，+），所以mn=（0，1，故选：d点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，指数不等式的性质，属于基础题3（5分）已知四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，dc”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分不要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得出解答：解：“l垂直于两腰ad，bc”l平面abcdl垂直于两底ab，dc，反之“l垂直于两底ab，dc”推不出l平面abcd因此“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，dc”的充分不必要条件故选：a点评：本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题4（5分）双曲线的实轴和虚轴的4个端点都在一圆上，则此双曲线两渐近线的夹角为（）a30b45c60d90考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知可得a=b，进而得到渐近线方程，由两直线垂直的条件，进而得到夹角解答：解：双曲线的实轴和虚轴的4个端点都在一圆上，则a=b，即为等轴双曲线，则渐近线方程为y=x，则它们垂直，故夹角为90故选：d点评：本题考查双曲线的性质，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题5（5分）已知cos（）=，则cos2=（）abcd考点：二倍角的余弦 专题：计算题；三角函数的求值分析：由已知及诱导公式可求sin，从而可求sin2，cos2，再由二倍角公式即可求解解答：解：cos（）=，sin=，sin2=，cos2=1sin2=，cos2=cos2sin2=，故选：c点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题6（5分）几何体的三视图如图，则其体积为（）abc21d41考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱体，去掉高为1的圆柱体所得的几何体；由此求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得，该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱体，去掉高为1的圆柱体所得的几何体；该几何体的体积为122121=故选：b点评：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目7（5分）函数y=的图象大致为（）abcd考点：函数的图象 专题：作图题；函数的性质及应用分析：x0时，y=2x；x0时，y=2x，利用指数函数的图象，可得结论解答：解：x0时，y=2x；x0时，y=2x；利用指数函数的图象，可得a满足，故选：a点评：本题考查函数的图象，考查学生的作图能力，比较基础8（5分）某商店一个月的收支数据为a1，a2，an，按程序框图进行统计，那么关于s，t的关系正确的是（）an=stbn=s+tcstdst考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知s表示月收入项目笔数，t表示月支出项目笔数，n表示月收支总项目数，根据收入记为正数，支出记为负数，根据收入项目数、支出项目数与总项目数的关系，不难得到答案解答：解：月总收入为s，支出t为负数，因此a0时，月收入项目笔数s+1，当a0时，月支出项目笔数t+1，由题意：月收支总项目数n=s+t，故选：b点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误9（5分）数列an中，a1=，且（n+2）an+1=nan，则它的前20项之和s20=（）abcd考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由（n+2）an+1=nan，可得，利用“累乘求积”可得an=利用“裂项求和”即可得出解答：解：（n+2）an+1=nan，an=它的前20项之和s20=+=1=故选：c点评：本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）某舰艇在a处测得遇险渔船在北偏东30、距离为6海里的b处，此时得知该渔船正在沿正东方向以每小时6海里的速度航行，舰艇以每小时18海里的速度去救援，则舰艇追上渔船的最短时间是（）a30分钟b40分钟c50分钟d60分钟考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：设两船在b点碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，由题设知ac=18x，ab=6，bc=6x，abc=120，由余弦定理，知（18x）2=（6）2+（6x）2266xcos120，由此能求出舰艇到达渔船的最短时间解答：解：设设两船在c点碰头，舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则ac=18x，ab=6，bc=6x，abc=120由余弦定理，知（18x）2=（6）2+（6x）2266xcos120，解得x=1故选：d点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想综合性强，是2015届高考的重点，易错点是知识体系不牢固解题时要注意余弦定理和数形结合思想的灵活运用11（5分）已知存在正实数a，b，c满足2，clnb+clna=a+clnc，则lnb的取值范围是（）abd考点：利用导数求闭区间上函数的最值；对数的运算性质；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：由clnb+clna=a+clnc化为lnb=+ln，可得再利用导数研究其单调性极值与最值即可解答：解：clnb+clna=a+clnc化为lnb=+ln，令=x，则lnb=f（x）=+lnx，2，可得，f（x）=+=，令f（x）=0，解得x=1当x1时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当1x2时，f（x）0，函数f（x）单调递增当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1+ln1=1又f（2）=+ln2，f（）=e+ln=e1，f（）f（2）=eln2elne=e2.50，e1+ln2，因此f（x）的最大值为e1综上可得：f（x）即lnb的取值范围是故选：d点评：本题考查了经过变形把问题转化为利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题12（5分）已知函数f（x）的定义域为r，且f（x）=，f（x+1）=f（x1），则方程f（x）=在区间上的所有实根之和为（）a2b1c0d1考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：由题意函数f（x）与函数y=在区间上的图象，结合图象求解即可解答：解：f（x+1）=f（x1），f（x）是周期为2的周期函数；又f（x）=，作函数f（x）与函数y=在区间上的图象如下，结合图象可知，其共有3个实根，其中有两个关于原点对称，第三个为1；故其实根之和为1；故选d点评：本题考查了分段函数与周期函数的图象及性质，同时考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）函数f（x）=cos（2x）（x）的单调递增区间为考点：余弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由余弦函数的单调性进行求解即可解答：解：由2k2x2k，kz，得kxk+，kz，x，当k=0时，0x，故函数的递增求解为，故答案为：点评：本题主要考查余弦函数的单调求解的求解，根据余弦函数的图象和性质是解决本题的关键14（5分）抛物线y=x2上的点到直线y=2x6的最短距离为考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（x，x2）为抛物线上的任意一点，利用点到直线的距离公式可得：点p到直线y=2x6的距离d=，再利用二次函数的单调性即可得出解答：解：设p（x，x2）为抛物线上的任意一点，则点p到直线y=2x6的距离d=，当x=1时取等号，即取p（1，1）故答案为：点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）abc中，ac=3，bc=4，ab=5，o是其内切圆的圆心，则=5考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：根据题意，可得abc是以ab为斜边的直角三角形，内切圆半径r=（ac+bcab）=1再以c为原点，ca、cb所在直线为x、y轴，建立如图坐标系，算出向量、坐标，即可算出的值解答：解：以c为原点，ca、cb所在直线为x、y轴，建立如图坐标系可得a（3，0），b（0，4），abc中，ac=3，bc=4，ab=5，ac2+bc2=25=ab2，得acbc由此可得abc内切圆的半径为r=（ac+bcab）=1内切圆心o（1，1），可得=（2，1），=（1，3）=2（1）+（1）3=5故答案为：5点评：本题给出直角三角形的三条边的长度，求由内心指向两个锐角顶点向量的数量积，着重考查了三角形内切圆的性质和向量数量积的运算等知识，属于基础题16（5分）下面四个命题中：两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，“x与y有关系”的把握程度越大；在回归直线方程=0.6x+9中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.6个单位；其中有一个是假命题，其序号是考点：命题的真假判断与应用 专题：概率与统计；简易逻辑分析：利用两个随机变量相关性与相关系数的绝对值越的关系即可判断出；利用系统抽样的定义即可判断出；对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，“x与y有关系”的把握程度越大，即可判断出；利用一次函数的单调性即可判断出解答：解：两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，正确；从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，正确；对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，“x与y有关系”的把握程度越大，因此不正确；在回归直线方程=0.6x+9中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.6个单位，正确其中有一个是假命题，其序号是 故答案为：点评：本题考查了概率统计的一个知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）设公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，若s4，s2，s3成等差数列，且s1=s4+18（1）求sn；（2）若将满足sn2015的所有n由小到大依次构成数列bk，求数列bk的通项公式考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等比数列an的公比为q1，由s4，s2，s3成等差数列，可得2s2=s4+s3，又s1=s4+18利用等比数列的通项公式及其前n项和的公式即可得出（2）由sn2015即1（2）n2015，化为（2）n2014，对n分奇数偶数讨论，利用等差数列的通项公式即可得出解答：解：（1）设等比数列an的公比为q1，s4，s2，s3成等差数列，2s2=s4+s3，又s1=s4+182a1（1+q）=，解得q=2，a1=3sn=1（2）n（2）由sn2015即1（2）n2015，化为（2）n2014，当n为偶数时，（2）n0，上式不成立，舍去；当n为奇数时，（2）n2014，化为2n2014，解得n11即n为大于等于11的所有奇数b1=11，b2=13，b3=15，数列bk为等差数列，首项为11，公差为2数列bk的通项公式bk=2k+9（kn*）点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和的公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某市为考核一学校的教学质量，对该校甲、乙两班各50人进行测验，根据这两班的成绩绘制茎叶图如图所示：（1）求甲、乙两班成绩的中位数，并将甲乙两班数据合在一起，绘出这些数据的频率分布直方图；（2）根据抽样测验，能否认为该学校“教学成绩不低于70分的学生至少占全体学生的80%”？（3）根据茎叶图，分析甲、乙两班成绩的特点考点：频率分布直方图；茎叶图 专题：概率与统计分析：（1）根据中位数的定义，求出甲、乙两班的中位数，求出每一小组的频率，画出频率分布直方图；（2）计算教学成绩不低于70分的学生占全体学生的比例数值是多少，得出统计结论；（3）根据甲、乙两班成绩的中位数与数据的集中情况，分析甲、乙两班的成绩特点解答：解：（1）甲班50名学生成绩从小到大排列，排在第25、26位的是72和73，所以甲班成绩的中位数是=72.5；乙班50名学生成绩从小到大排列，排在第25、26位的是78和78，所以乙班成绩的中位数是=78；以上的频数为5，画出频率分布直方图，如图所示；（2）教学成绩不低于70分的学生至少占全体学生的比例的估计值为=10（0.045+0.025+0.005）=0.75，0.750.8，所以不能认为该校符合“教学成绩不低于70分的学生至少占全体学生的80%”的规定；（3）甲班成绩中位数低于乙班，且从茎叶图可以大致看出，甲班的标准差小于乙班；说明甲班成绩低于乙班，但全班学生成绩较为集中，乙班成绩高于甲班，但学生间的差异性较大点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数与方差的应用问题，是基础题目19（12分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是一个直角梯形，abcd，abc=90cd=3，bc=2，ab=5，aa1=2（i）若a1a=a1d，点o在线段ab上，且ao=2，a1o=4，求证：a1o平面abcd；（ii）试判断ab1与平面a1c1d是否平行，并说明理由考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（i）连接do，由，先证明a1ood，由，证明a1oab，即可证明a1o平面abcd；（ii）以ob，odoa1，为x，y，z轴建立空间坐标系，可得，坐标，设平面a1c1d法向量为=（x，y，z），可求，由与不平行，0，故可证ab1与平面a1c1d不平行解答：解：（i）连接do，abcd，abc=90cd=3，bc=2，ab=5，ao=2，obdc，可得od=bc=2，a1od中，a1o=4，a1a=a1d=2，有，a1ood，a1oa中，a1o=4，ao=2，a1a=2，有，a1oab，odab=o，abcd，od，ab平面abcd；a1o平面abcd；（ii）ab1与平面a1c1d不平行，理由如下：如图所示，以ob，odoa1，为x，y，z轴建立空间坐标系，则有：b（3，0，0），c（3，2，0），d（0，2，0），a（2，0，0），b1（3，0，4），c1（3，2，4），=（3，2，4），=（0，2，0），设平面a1c1d法向量为=（x，y，z），则，则=（4，0，3），=（5，0，4），与不平行，0，故ab1与平面a1c1d不平行点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，建立空间坐标系用空间向量求解是解题的关键，属于中档题20（12分）已知函数f（x）=lnxaxln2（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）当a=1，时，对任意x（0，+），不等式f（x）bx1恒成立，求实数b的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）确定函数的定义域，分类讨论，利用导数的正负，可得y=f（x）的单调性；（2）当a=1时，对任意x（0，+），不等式f（x）bx1恒成立，等价于b+1在（0，+）上恒成立，令g（x）=+1，求出函数的最大值，即可求实数b的取值范围解答：解：（1）y=f（x）的定义域为（0，+），f（x）=a0时，f（x）0，y=f（x）在（0，+）上单调递增，a0时，f（x）0，可得0x，f（x）0，可得x，y=f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（2）当a=1时，对任意x（0，+），不等式f（x）bx1恒成立，等价于b+1在（0，+）上恒成立，令g（x）=+1，则g（x）=0，x=2，当x（0，2），g（x）0，当x（2，+），g（x）0，y=g（x）的最大值为g（2）=，b点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）已知椭圆=1（ab0）的左焦点为f（，0），过点f的直线交椭圆与a，b两点，当直线ab垂直x轴时，|ab|=（1）求该椭圆方程；（2）若斜率存在且不为0的动线段ab的中点为g，ab的垂直平分线与x轴和y轴分别交于d，e两点，o是坐标原点（如图所示），记gfd的面积为s1，oed的面积为s2，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆的左焦点f坐标及|ab|=，利用椭圆的定义求出a与b的值，即可确定出椭圆方程；（2）设出直线ab解析式，及a与b的坐标，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出g坐标，再设出d坐标，根据dg与ab垂直，eg与ab垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为1表示出d的横坐标与b纵坐标，根据直角三角形fgd与直角三角形eod相似，得到面积之比等于相似比的平方，求出所求式子的范围即可解答：解：（1）椭圆+=1（ab0）的左焦点为f（，0），|ab|=，|af|=（由椭圆性质得=），a2=b2+3，a2=4，b2=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）根据条件可得直线ab的斜率一定存在且不为零，设直线ab解析式为y=k（x+），并设a（x1，y2），b（x2，y2），联立得，消去y得：（4k2+1）x2+8k2x+12k24=0，=，=，即g（，），设d（xd，0），由dgab，egab，得到k=1，k=1，整理得：xd=，yb=，rtfgdrteod，=+，设=t，则t，即=，=，且0，则的范围为（0，点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键22（10分）如图，o的直径ab=4，弦cd所在直线与ab的延长线交于点p，且=，ed是ab交于点f（1）求证：pfpo=pbpa；（2）若pb=2bf，试求pb的长考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆；推理和证明分析：（1）由=，得edc=aoc，从而poc=fdp，进而pocpdf，由此能证明pfpo=pbpa（2）设pb=x，则bf=，pf=，po=x+2，pa=x+4，由pfpo=pbpa，能求出pb=2解答：