中考数学一轮复习 第三章 函数 3.4 二次函数（试卷部分）课件.ppt

3 4二次函数 中考数学 河北专用 1 2018河北 16 2分 对于题目 一段抛物线l y x x 3 c 0 x 3 与直线l y x 2有唯一公共点 若c为整数 确定所有c的值 甲的结果是c 1 乙的结果是c 3或4 则 a 甲的结果正确b 乙的结果正确c 甲 乙的结果合在一起才正确d 甲 乙的结果合在一起也不正确 a组2014 2018年河北中考题组 五年中考 答案d抛物线l y x x 3 c 0 x 3 可以看作抛物线y x x 3 0 x 3 沿y轴向上平移c个单位形成的 一段抛物线l y x x 3 c 0 x 3 与直线l y x 2有唯一公共点可以看作直线l y x 2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y x 2 c与抛物线y x x 3 0 x 3 有唯一公共点 当直线y x 2 c 即l2 经过原点时 0 2 c 0 c 2 当直线y x 2 c 即l3 经过点a 3 0 时 3 2 c 0 c 5 根据图象可得当2 c 5时 直线y x 2 c与抛物线y x x 3 0 x 3 有唯一公共点 即一段抛物线l y x x 3 c 0 x 3 与直线l y x 2有唯一公共点 显然c 3 4 5 当直线y x 2 c为图中l1时 直线y x 2 c与抛物线y x x 3 0 x 3 有唯一公共点 令 x x 3 x 2 c 得x2 2x 2 c 0 4 4 2 c 0 解得c 1 因此甲 乙的结果合在一起也不正确 故选d 归纳总结数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系 就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关系结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 即通过抽象思维与形象思维的结合 可以使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目的 2 2014河北 9 3分 某种正方形合金板材的成本y 元 与它的面积成正比 设边长为x厘米 当x 3时 y 18 那么当成本为72元时 边长为 a 6厘米b 12厘米c 24厘米d 36厘米 答案a设y kx2 k 0 当x 3时 y 18 所以9k 18 即k 2 则y 2x2 当y 72时 2x2 72 解得x 6 x 6舍去 故选a 3 2017河北 19 4分 对于实数p q 我们用符号min p q 表示p q两数中较小的数 如min 1 2 1 因此 min 若min x 1 2 x2 1 则x 答案 2或 1 解析 x2 若min x 1 2 x2 1 显然x2 1 解得x 1或x 1 舍 当x 时 有 x 1 2 x2 若min x 1 2 x2 1 显然 x 1 2 1 解得x 2或x 0 舍 综上 x 2或 1 4 2018河北 26 11分 下图是轮滑场地的截面示意图 平台ab距x轴 水平 18米 与y轴交于点b 与滑道y x 1 交于点a 且ab 1米 运动员 看成点 在ba方向获得速度v米 秒后 从a处向右下飞向滑道 点m是下落路线的某位置 忽略空气阻力 实验表明 m a的竖直距离h 米 与飞出时间t 秒 的平方成正比 且t 1时h 5 m a的水平距离是vt米 1 求k 并用t表示h 2 设v 5 用t表示点m的横坐标x和纵坐标y 并求y与x的关系式 不写x的取值范围 及y 13时运动员与正下方滑道的竖直距离 3 若运动员甲 乙同时从a处飞出 速度分别是5米 秒 v乙米 秒 当甲距x轴1 8米 且乙位于甲右侧超过4 5米的位置时 直接写出t的值及v乙的范围 解析 1 由题意 得点a的坐标为 1 18 代入y 得18 k 18 设h at2 a 0 把t 1 h 5代入 得a 5 h 5t2 2 v 5 ab 1 x 5t 1 h 5t2 ob 18 y 5t2 18 由x 5t 1 得t x 1 y x 1 2 18或y x2 x 当y 13时 13 x 1 2 18 解得x 6或 4 x 1 只取x 6 把x 6代入y 得y 3 运动员与正下方滑道的竖直距离是13 3 10 米 3 t 1 8 v乙 7 5 注 下面是 3 的一种解法 把y 1 8代入y 5t2 18 得t2 3 24 t 1 8 舍去负值 从而x 10 甲为 10 1 8 恰好落在滑道y 上 此时乙为 1 1 8v乙 1 8 由题意 得1 1 8v乙 1 5 1 8 4 5 v乙 7 5 思路分析 1 把点a的坐标代入y 得出k值 设h at2 a 0 利用待定系数法即可求解 2 根据题意分别用t表示x y 再把t x 1 代入消去t得y与x之间的关系式 令13 x 1 2 18 解得x 6 舍去负值 进一步把x 6代入y 求出y 3 最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离 3 求出甲距x轴1 8米时的横坐标及用v乙表示的乙距x轴1 8米时的横坐标 根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4 5米的v乙的范围 解题关键本题是函数的综合题 准确理解题意 梳理所涉及的变量 并熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键 方法指导利用二次函数解决实际问题 1 根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到符合题意的二次函数解析式 2 二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值来解答 5 2017河北 26 12分 某厂按用户的月需求量x 件 完成一种产品的生产 其中x 0 每件的售价为18万元 每件的成本y 万元 是基础价与浮动价的和 其中基础价保持不变 浮动价与月需求量x 件 成反比 经市场调研发现 月需求量x与月份n n为整数 1 n 12 符合关系式x 2n2 2kn 9 k 3 k为常数 且得到了下表中的数据 1 求y与x满足的关系式 请说明一件产品的利润能否是12万元 2 求k 并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损 3 在这一年12个月中 若第m个月和第 m 1 个月的利润相差最大 求m 解析 1 由题意设y a 由表中数据 得解得 y 6 3分 由题意 若12 18 则 0 x 0 0 不可能 5分 2 将n 1 x 120代入x 2n2 2kn 9 k 3 得120 2 2k 9k 27 解得k 13 将n 2 x 100代入x 2n2 26n 144也符合 k 13 6分 由题意 得18 6 求得x 50 50 2n2 26n 144 即n2 13n 47 0 13 2 4 1 47 0 方程无实根 不存在 9分 3 第m个月的利润w x 18 y 18x x 12 x 50 24 m2 13m 47 第 m 1 个月的利润w 24 m 1 2 13 m 1 47 24 m2 11m 35 若w w w w 48 6 m m取最小1 w w 240最大 若w w w w 48 m 6 m 1 12 m 11 m取最大11 w w 240最大 m 1或11 12分 6 2016河北 26 12分 如图 抛物线l y x t x t 4 常数t 0 与x轴从左到右的交点为b a 过线段oa的中点m作mp x轴 交双曲线y k 0 x 0 于点p 且oa mp 12 1 求k值 2 当t 1时 求ab长 并求直线mp与l对称轴之间的距离 3 把l在直线mp左侧部分的图象 含与直线mp的交点 记为g 用t表示图象g最高点的坐标 4 设l与双曲线有个交点的横坐标为x0 且满足4 x0 6 通过l位置随t变化的过程 写出t的取值范围 解析 1 设点p x y 则mp y 由oa的中点为m知oa 2x 代入oa mp 12 得2x y 12 即xy 6 k xy 6 3分 2 当t 1时 令y 0 0 x 1 x 3 x1 1 x2 3 由b在a左边 得b 3 0 a 1 0 ab 4 5分 l的对称轴为x 1 而m为 mp与l对称轴之间的距离为 6分 3 a t 0 b t 4 0 l的对称轴为x t 2 7分 又mp为x 当t 2 即t 4时 顶点 t 2 2 就是g的最高点 当t 4时 l与mp的交点就是g的最高点 10分 4 5 t 8 或7 t 8 12分 注 如果考生答 5 t 8 给1分 供参考 4 的简解 对于双曲线 当4 x0 6时 1 y0 即l与双曲线在c d 6 1 之间的一段有个交点 由 4 t 4 t 4 得t1 5 t2 7 由1 6 t 6 t 4 得t3 8 t4 8 随着t的逐渐增大 l位置随着点a t 0 向右平移 如图所示 当t 5时 l右侧过点c 当t 8 7时 l右侧过点d 即5 t 8 当8 t 7时 l右侧离开了点d 而左侧未到点c 即l与该段无交点 舍去 当t 7时 l左侧过点c 当t 8 时 l左侧过点d 即7 t 8 思路分析 1 设点p x y 只要求出xy即可求出k值 2 先求出a b坐标 再求出对称轴以及点m的坐标即可求出直线mp与l的对称轴之间的距离 3 根据对称轴的位置即可判断 当对称轴在直线mp左侧时 l的顶点就是最高点 当对称轴在mp右侧时 l与mp的交点就是最高点 4 画出图形求出c d两点的纵坐标 利用方程即可解决问题 解题关键解题的关键是理解题意 正确利用图象解决问题 7 2015河北 25 11分 如图 已知点o 0 0 a 5 0 b 2 1 抛物线l y x h 2 1 h为常数 与y轴的交点为c 1 l经过点b 求它的解析式 并写出此时l的对称轴及顶点坐标 2 设点c的纵坐标为yc 求yc的最大值 此时l上有两点 x1 y1 x2 y2 其中x1 x2 0 比较y1与y2的大小 3 当线段oa被l只分为两部分 且这两部分的比是1 4时 求h的值 解析 1 把x 2 y 1代入y x h 2 1 得h 2 l的解析式为y x 2 2 1 或y x2 4x 3 2分 对称轴为直线x 2 顶点为b 2 1 4分 2 点c的横坐标为0 则yc h2 1 当h 0时 yc有最大值 为1 5分 此时 l为y x2 1 对称轴为y轴 当x 0时 y随着x的增大而减小 x1 x2 0时 y1 y2 7分 3 把线段oa分成1 4两部分的点为 1 0 或 4 0 把x 1 y 0代入y x h 2 1 得h 0或h 2 但h 2时 线段oa被分为三部分 不合题意 舍去 同样 把x 4 y 0代入y x h 2 1 得h 5或h 3 舍去 h的值为0或 5 11分 思路分析 1 把点b的坐标代入函数解析式 列出关于h的方程 可以求得h的值 利用抛物线的解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标 2 把点c的坐标代入函数解析式得到yc h2 1 则由抛物线的性质易得yc的最大值 并可以求得此时抛物线的解析式 根据抛物线的增减性来判断y1与y2的大小 3 根据已知条件 o 0 0 a 5 0 线段oa被l只分为两部分 且这两部分的比是1 4 可以推知把线段oa分为两部分的点的坐标分别是 1 0 4 0 由抛物线上点的坐标特征可以求得h的值 易错警示解答第 3 问时 注意对h的值根据实际意义进行取舍 8 2014河北 24 11分 如图 2 2网格 每个小正方形的边长为1 中有a b c d e f g h o九个格点 抛物线l的解析式为y 1 nx2 bx c n为整数 1 n为奇数 且l经过点h 0 1 和c 2 1 求b c的值 并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点 2 n为偶数 且l经过点a 1 0 和b 2 0 通过计算说明点f 0 2 和h 0 1 是否在该抛物线上 3 若l经过这九个格点中的三个 写出所有满足这样条件的抛物线条数 解析 1 当n为奇数时 y x2 bx c 点h 0 1 和c 2 1 在该抛物线上 解得 4分 格点e是该抛物线的顶点 5分 2 当n为偶数时 y x2 bx c 点a 1 0 和b 2 0 在该抛物线上 解得 y x2 3x 2 7分 当x 0时 y 2 1 点f 0 2 在该抛物线上 而点h 0 1 不在该抛物线上 9分 3 所有满足条件的抛物线共有8条 11分 注 当n为奇数时 由 1 中的抛物线平移又得3条抛物线 如图1 当n为偶数时 由 2 中的抛物线平移又得3条抛物线 如图2 共8条 b组2014 2018年全国中考题组 考点一二次函数的图象与性质 1 2018四川成都 10 3分 关于二次函数y 2x2 4x 1 下列说法正确的是 a 图象与y轴的交点坐标为 0 1 b 图象的对称轴在y轴的右侧c 当x 0时 y的值随x值的增大而减小d y的最小值为 3 答案d因为y 2x2 4x 1 2 x 1 2 3 所以 当x 0时 y 1 选项a错误 该函数图象的对称轴是直线x 1 选项b错误 当x 1时 y随x的增大而减小 选项c错误 当x 1时 y取得最小值 此时y 3 选项d正确 故选d 思路分析根据题中的函数解析式以及二次函数的性质 可以判断各个选项中的结论是否成立 从而解答本题 解题关键解答本题的关键是理解二次函数的性质 会用配方法求二次函数的最值 2 2017陕西 10 3分 已知抛物线y x2 2mx 4 m 0 的顶点m关于坐标原点o的对称点为m 若点m 在这条抛物线上 则点m的坐标为 a 1 5 b 3 13 c 2 8 d 4 20 答案cy x2 2mx 4 x m 2 m2 4 则顶点m的坐标为 m m2 4 m 的坐标为 m m2 4 点m 在抛物线上 m2 2m2 4 m2 4 m2 4 m 0 m 2 m 2 8 故选c 思路分析先配方求出抛物线的顶点m的坐标 根据对称性表示出点m的对称点m 的坐标 由点m 在抛物线上 可将m 的坐标代入解析式求出m的值 进而求得点m的坐标 3 2017四川绵阳 10 3分 将二次函数y x2的图象先向下平移1个单位 再向右平移3个单位 得到的图象与一次函数y 2x b的图象有公共点 则实数b的取值范围是 a b 8b b 8c b 8d b 8 答案d由题意可得 y x2的图象经过两次平移后得到y x 3 2 1的图象 将 代入 得 x2 8x 8 b 0 因为抛物线与直线有公共点 所以 8 2 4 8 b 4b 32 0 所以b 8 故选d 4 2016辽宁沈阳 10 2分 在平面直角坐标系中 二次函数y x2 2x 3的图象如图所示 点a x1 y1 b x2 y2 是该二次函数图象上的两点 其中 3 x1y2c y的最小值是 3d y的最小值是 4 答案d二次函数y x2 2x 3 x 1 2 4图象的顶点坐标为 1 4 令x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 则二次函数y x2 2x 3的图象与x轴的两个交点为 3 0 1 0 由 3 x1 x2 0及二次函数的图象可知 y1 y2的大小关系不能确定 选项a b错误 ymin 4 选项c错误 故选d 思路分析根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标 结合函数图象的增减性进行解答 解题关键解题的关键是熟练掌握二次函数图象的对称性及顶点坐标的确定 评析本题考查了二次函数的图象和性质 难度适中 5 2016天津 12 3分 已知二次函数y x h 2 1 h为常数 在自变量x的值满足1 x 3的情况下 与其对应的函数值y的最小值为5 则h的值为 a 1或 5b 1或5c 1或 3d 1或3 答案b当h 3时 二次函数在x 3处取最小值 此时 3 h 2 1 5 解得h1 5 h2 1 舍去 当1 h 3时 二次函数在x h处取最小值1 不符合题意 当h 1时 二次函数在x 1处取最小值 此时 1 h 2 1 5 解得h1 1 h2 3 舍去 h 1或5 故选b 解题关键本题考查的是二次函数的性质 根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键 评析本题考查了二次函数的图象和性质 分类讨论思想 解一元二次方程 属于难题 6 2016河南 13 3分 已知a 0 3 b 2 3 是抛物线y x2 bx c上两点 该抛物线的顶点坐标是 答案 1 4 解析把a 0 3 b 2 3 分别代入y x2 bx c中 得解得 抛物线的解析式为y x2 2x 3 y x2 2x 1 4 x 1 2 4 该抛物线的顶点坐标为 1 4 考点二二次函数与a b c的关系 1 2018天津 12 3分 已知抛物线y ax2 bx c a b c为常数 a 0 经过点 1 0 0 3 其对称轴在y轴右侧 有下列结论 抛物线经过点 1 0 方程ax2 bx c 2有两个不相等的实数根 3 a b 3 其中 正确结论的个数为 a 0b 1c 2d 3 答案c 抛物线y ax2 bx c a b c为常数 a 0 经过点 1 0 其对称轴在y轴右侧 抛物线不能经过点 1 0 错误 抛物线y ax2 bx c a b c为常数 a 0 经过点 1 0 0 3 其对称轴在y轴右侧 抛物线开口向下 与直线y 2有两个交点 方程ax2 bx c 2有两个不相等的实数根 故 正确 抛物线的对称轴在y轴右侧 0 a0 把点 1 0 0 3 分别代入y ax2 bx c得a b 3 b a 3 a b 3 3 a 0 0 b 3 3 a b 3 故 正确 故选c 思路分析抛物线经过点 1 0 其对称轴在y轴右侧 由对称性可以判断 错误 由条件得抛物线开口向下 作直线y 2 直线与抛物线有两个交点 可判断 正确 根据抛物线所经过的点及对称轴的位置 可判断 正确 从而得结论 解后反思本题考查了二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象与系数的关系 二次函数与一元二次方程的关系 不等式的性质等知识 a的符号决定抛物线的开口方向 的符号决定抛物线对称轴的位置 c的值决定了抛物线与y轴的交点坐标 2 2017四川成都 10 3分 在平面直角坐标系xoy中 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列说法正确的是 a abc0b abc 0 b2 4ac 0c abc0 b2 4ac 0 答案b因为抛物线的开口向上 所以a 0 又对称轴在y轴右侧 所以 0 所以b0 因为抛物线与x轴有两个交点 所以b2 4ac 0 故选b 思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系 从抛物线的开口方向 对称轴 以及与y轴的交点位置来判断a b c的符号 由抛物线与x轴的交点个数判断b2 4ac的符号 3 2015广西南宁 10 3分 如图 已知经过原点的抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线x 1 下列结论中 ab 0 a b c 0 当 2 x 0时 y 0 正确的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 答案d因为对称轴为直线x 0 所以 正确 当x 1时 y a b c 0 所以 正确 由对称轴可知抛物线与x轴的交点坐标为 2 0 0 0 所以 2 x 0时 图象在x轴下方 即y 0 所以 正确 故选d 4 2017湖北武汉 16 3分 已知关于x的二次函数y ax2 a2 1 x a的图象与x轴的一个交点的坐标为 m 0 若2 m 3 则a的取值范围是 答案 3 a 2或 a 解析把 m 0 代入y ax2 a2 1 x a得 am2 a2 1 m a 0 解得m m1 m2 a 2 m 3 2 3或2 a 3 解得 a 或 3 a 2 思路分析把交点坐标代入二次函数解析式 可得到关于m的一元二次方程 利用公式法将m用含a的式子表示出来 再根据2 m 3 解不等式即可 5 2016宁夏 10 3分 若二次函数y x2 2x m的图象与x轴有两个交点 则m的取值范围是 答案m 1 解析当二次函数y x2 2x m的图象与x轴有两个交点时 方程x2 2x m 0有两个不相等的实数根 所以 4 4m 0 解得m 1 所以m的取值范围是m 1 6 2015天津 25 10分 已知二次函数y x2 bx c b c为常数 1 当b 2 c 3时 求二次函数的最小值 2 当c 5时 若在函数值y 1的情况下 只有一个自变量x的值与其对应 求此时二次函数的解析式 3 当c b2时 若在自变量x的值满足b x b 3的情况下 与其对应的函数值y的最小值为21 求此时二次函数的解析式 解析 1 当b 2 c 3时 二次函数的解析式为y x2 2x 3 即y x 1 2 4 当x 1时 二次函数取得最小值 4 2 当c 5时 二次函数的解析式为y x2 bx 5 由题意 得方程x2 bx 5 1 即x2 bx 4 0有两个相等的实数根 有 b2 16 0 解得b1 4 b2 4 此时二次函数的解析式为y x2 4x 5或y x2 4x 5 3 当c b2时 二次函数的解析式为y x2 bx b2 它的图象是开口向上 对称轴为x 的抛物线 若 0 则在自变量x的值满足b x b 3的情况下 与其对应的函数值y随x的增大而增大 故当x b时 y b2 b b b2 3b2为最小值 3b2 21 解得b1 舍 b2 若b b 3 即 2 b 0 则当x 时 y b b2 b2为最小值 b2 21 解得b1 2 舍 b2 2 舍 若 b 3 即b 2 则在自变量x的值满足b x b 3的情况下 与其对应的函数值y随x的增大而减小 故当x b 3时 y b 3 2 b b 3 b2 3b2 9b 9为最小值 3b2 9b 9 21 即b2 3b 4 0 解得b1 1 舍 b2 4 综上所述 b 或b 4 此时二次函数的解析式为y x2 x 7或y x2 4x 16 思路分析 1 把b 2 c 3代入函数解析式 配方求得二次函数的最小值 2 根据当c 5时 根据在函数值y 1的情况下 只有一个自变量x的值与其对应 得到x2 bx 5 1有两个相等的实数根 求得b 4 3 当c b2时 写出解析式y x2 bx b2 分三种情况讨论得出b值 评析本题考查二次函数的相关知识 第 1 问考查最值问题 将第 2 问转化为方程有两个相等的实数根问题即可解决 第 3 问考查分类讨论的思想方法 属中等难度题 答案24 解析y 60t t2 t 20 2 600 即t 20时 y取得最大值 即滑行距离达到最大 此时滑行距离是600m 当t 16时 y 60 16 162 576 所以最后4s滑行的距离为600 576 24m 2 2017辽宁沈阳 15 3分 某商场购进一批单价为20元的日用商品 如果以单价30元销售 那么半月内可销售出400件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的减少 且销售单价每提高1元 销售量相应减少20件 当销售单价是元时 才能在半月内获得最大利润 答案35 解析设销售单价为x元 半月内的利润为y元 由题意知y x 20 400 20 x 30 x 20 1000 20 x 20 x2 1400 x 20000 20 x 35 2 4500 20 0 抛物线开口向下 当x 35时 y取得最大值 即销售单价是35元时 才能在半月内获得最大利润 3 2014浙江绍兴 13 5分 如图是一座拱桥 当水面宽ab为12m时 桥洞顶部离水面4m 已知桥洞的拱形是抛物线 以水平方向为x轴 建立平面直角坐标系 若选取点a为坐标原点时的抛物线解析式是y x 6 2 4 则选取点b为坐标原点时的抛物线解析式是 答案y x 6 2 4 解析若选b点为坐标原点 则顶点坐标是 6 4 a 不变 则所求抛物线解析式为y x 6 2 4 4 2018安徽 22 12分 小明大学毕业回家乡创业 第一期培植盆景与花卉各50盆 售后统计 盆景的平均每盆利润是160元 花卉的平均每盆利润是19元 调研发现 盆景每增加1盆 盆景的平均每盆利润减少2元 每减少1盆 盆景的平均每盆利润增加2元 花卉的平均每盆利润始终不变 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆 设培植的盆景比第一期增加x盆 第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1 w2 单位 元 1 用含x的代数式分别表示w1 w2 2 当x取何值时 第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大 最大总利润是多少 解析 1 w1 50 x 160 2x 2x2 60 x 8000 w2 100 50 x 19 50 x 19 19x 950 6分 2 w w1 w2 2x2 41x 8950 2 x取整数 当x 10时 总利润w最大 最大总利润是9160元 12分 思路分析 1 根据题意分别列出w1 w2关于x的函数表达式 2 将二次函数的解析式配方 根据x取整数及二次函数的性质求出w的最大值 5 2016山东青岛 20 8分 如图 需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案 按照图中的直角坐标系 最左边的抛物线可以用y ax2 bx a 0 表示 已知抛物线上b c两点到地面的距离均为m 到墙边oa的距离分别为m m 1 求该抛物线的函数关系式 并求图案最高点到地面的距离 2 若该墙的长度为10m 则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案 解析 1 由题意可知 b c 代入y ax2 bx得 解得 y x2 2x x 1 2 1 答 该抛物线的函数关系式是y x2 2x 图案最高点到地面的距离是1m 5分 2 当y 0时 x2 2x 0 x1 0 x2 2 10 2 5 个 答 最多可以连续绘制5个抛物线型图案 8分 思路分析 1 根据题意求得b c 用待定系数法求得抛物线的函数关系式为y x2 2x 根据抛物线的顶点坐标公式得到结果 2 令y 0 即 x2 2x 0 解方程得到x1 0 x2 2 即可得到结论 解题关键本题考查二次函数的应用 正确求出二次函数解析式是解题的关键 6 2016湖北武汉 22 10分 某公司计划从甲 乙两种产品中选择一种生产并销售 每年产销x件 已知产销两种产品的有关信息如下表 其中a为常数 且3 a 5 1 若产销甲 乙两种产品的年利润分别为y1万元 y2万元 直接写出y1 y2与x的函数关系式 2 分别求出产销两种产品的最大年利润 3 为获得最大年利润 该公司应该选择产销哪种产品 请说明理由 解析 1 y1 6 a x 20 y2 0 05x2 10 x 40 2分 2 3 a 5 6 a 0 y1随x的增大而增大 x 200 当x 200时 y1取得最大值1180 200a 4分 y2 0 05x2 10 x 40 0 05 x 100 2 460 5分 而 0 05 0 当x 100时 y2随x的增大而增大 x 80 当x 80时 y2取得最大值440 综上 若产销甲种产品 最大年利润为 1180 200a 万元 若产销乙种产品 最大年利润为440万元 7分 3 解法一 设w 1180 200a 440 200a 740 200 0 w随a的增大而减小 由 200a 740 0 解得a 3 7 9分 3 a 5 当3 a3 7 9分 3 a 5 当3 a 3 7时 选择产销甲种产品 当a 3 7时 生产甲 乙两种产品的利润相同 当3 7 a 5时 选择产销乙种产品 10分 评析函数的应用题大多数以生活情境为背景命题 解答此类问题 应在弄懂题意的前提下 建立函数模型 然后结合函数的图象与性质以及方程 组 不等式的知识解答 考点四二次函数与几何知识相结合的综合应用 1 2016陕西 10 3分 已知抛物线y x2 2x 3与x轴交于a b两点 将这条抛物线的顶点记为c 连接ac bc 则tan cab的值为 a b c d 2 答案d不妨设点a在点b左侧 如图 作cd ab交ab于点d 当y 0时 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 所以a 3 0 b 1 0 所以ab 4 因为y x2 2x 3 x 1 2 4 所以顶点c 1 4 所以ad 2 cd 4 所以tan cab 2 故选d 评析本题考查了二次函数的图象和性质 求某个角的三角函数值 属于容易题 2 2018河南 23 11分 如图 抛物线y ax2 6x c交x轴于a b两点 交y轴于点c 直线y x 5经过点b c 1 求抛物线的解析式 2 过点a的直线交直线bc于点m 当am bc时 过抛物线上一动点p 不与点b c重合 作直线am的平行线交直线bc于点q 若以点a m p q为顶点的四边形是平行四边形 求点p的横坐标 连接ac 当直线am与直线bc的夹角等于 acb的2倍时 请直接写出点m的坐标 解析 1 直线y x 5交x轴于点b 交y轴于点c b 5 0 c 0 5 抛物线y ax2 6x c过点b c 抛物线的解析式为y x2 6x 5 3分 2 ob oc 5 boc 90 abc 45 抛物线y x2 6x 5交x轴于a b两点 a 1 0 ab 4 am bc am 2 pq am pq bc 若以点a m p q为顶点的四边形是平行四边形 则pq am 2 过点p作pd x轴交直线bc于点d 则 pdq 45 pd pq 4 5分 设p m m2 6m 5 则d m m 5 分两种情况讨论如下 i 当点p在直线bc上方时 pd m2 6m 5 m 5 m2 5m 4 m1 1 舍去 m2 4 7分 ii 当点p在直线bc下方时 pd m 5 m2 6m 5 m2 5m 4 m3 m4 综上 点p的横坐标为4或或 9分 m或 11分 提示 作ac的垂直平分线 交bc于点m1 连接am1 过点a作an bc于点n 将 anm1沿an翻折 得到 anm2 点m1 m2的坐标即为所求 思路分析 1 求出直线y x 5与坐标轴的两个交点b c的坐标 用待定系数法求出抛物线的解析式 2 因为 boc是等腰直角三角形 得 abc 45 求得am 2 因为以点a m p q为顶点的四边形是平行四边形 得pq am 2 过点p作pd x轴交bc于d 易得pd 4 设出点p的坐标 则 yp yd 4 分类讨论 解方程求出点p的坐标 3 作线段ac的垂直平分线 交bc于点m1 易得 am1b 2 acb 作an bc于点n 作点m1关于直线an的对称点m2 则 am2c 2 acb 分别计算求出两个点m的坐标 疑难突破本题为二次函数的综合题 考查知识点较多 难度大 第 1 问是常见的用待定系数法求抛物线的解析式 第 2 问要用 铅垂法 由pq的长得出pd的长 设出点p的坐标 根据pd 4 分类讨论列出方程 解方程求出点p的坐标 第 3 问找使直线am与bc夹角为2 acb的交点m 依据是 等腰三角形顶角的外角等于2倍的底角 作ac的垂直平分线确定点m1 得 am1b 2 acb 由等腰三角形两底角 am2c am1b 用对称性确定点m2 分别计算可以求出两个点m的坐标 3 2017陕西 24 10分 在同一直角坐标系中 抛物线c1 y ax2 2x 3与抛物线c2 y x2 mx n关于y轴对称 c2与x轴交于a b两点 其中点a在点b的左侧 1 求抛物线c1 c2的函数表达式 2 求a b两点的坐标 3 在抛物线c1上是否存在一点p 在抛物线c2上是否存在一点q 使得以ab为边 且以a b p q四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出p q两点的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 c1与c2关于y轴对称 c1与c2的交点一定在y轴上 且c1与c2的形状 大小均相同 a 1 n 3 2分 c1的对称轴为直线x 1 c2的对称轴为直线x 1 m 2 3分 c1 y x2 2x 3 c2 y x2 2x 3 4分 2 令c2中y 0 则x2 2x 3 0 解之 得x1 3 x2 1 a 3 0 b 1 0 6分 3 存在 设p a b 则q a 4 b 或 a 4 b 7分 当q a 4 b 时 得 a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解之 得a 2 b a2 2a 3 4 4 3 5 p1 2 5 q1 2 5 9分 当q a 4 b 时 得 a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解之 得a 2 b 4 4 3 3 p2 2 3 q2 2 3 综上所述 所求点的坐标为p1 2 5 q1 2 5 p2 2 3 q2 2 3 10分 思路分析 1 由于抛物线c1 c2关于y轴对称 因此两条抛物线的交点在y轴上 且c1 c2的形状 大小均相同 可得a n的值 由c1 c2的对称轴关于y轴对称可得m的值 2 求抛物线与x轴的交点坐标 令函数值y等于0 得到关于x的一元二次方程 求解即可 3 以ab为边 且以a b p q四点为顶点的四边形为平行四边形 则ab与pq平行且相等 所以p q两点的纵坐标相等 pq ab 4 由于点p与点q的位置不确定 因此要分类讨论 解后反思 1 以形定数 抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实数根 以数定形 求出方程ax2 bx c 0 a 0 的两实数根 便得到抛物线y ax2 bx c与x轴交点的横坐标 特别地 一元二次方程ax2 bx c m的解即为二次函数y ax2 bx c当y m时的点的横坐标 2 对于存在性问题的探究 一般是假设存在 按照存在的条件 结合题中的条件 得出结论 若得到的结论与题中的条件矛盾 则假设不成立 存在性问题一般要分情况讨论 c组教师专用题组 考点一二次函数的图象与性质 1 2018山西 9 3分 用配方法将二次函数y x2 8x 9化为y a x h 2 k的形式为 a y x 4 2 7b y x 4 2 25c y x 4 2 7d y x 4 2 25 答案by x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 4 2 25 故选b 2 2017天津 12 3分 已知抛物线y x2 4x 3与x轴相交于点a b 点a在点b左侧 顶点为m 平移该抛物线 使点m平移后的对应点m 落在x轴上 点b平移后的对应点b 落在y轴上 则平移后的抛物线解析式为 a y x2 2x 1b y x2 2x 1c y x2 2x 1d y x2 2x 1 答案a令y 0 则x2 4x 3 0 解得x1 1 x2 3 a 1 0 b 3 0 y x2 4x 3 x 2 2 1 点m的坐标为 2 1 平移该抛物线 使点m平移后的对应点m 落在x轴上 点b平移后的对应点b 落在y轴上 抛物线向上平移了1个单位长度 向左平移了3个单位长度 平移后的抛物线解析式为y x 1 2 x2 2x 1 故选a 解题关键正确得出平移的方向和距离是解题的关键 3 2017江苏苏州 8 3分 若二次函数y ax2 1的图象经过点 2 0 则关于x的方程a x 2 2 1 0的实数根为 a x1 0 x2 4b x1 2 x2 6c x1 x2 d x1 4 x2 0 答案a把 2 0 代入二次函数解析式y ax2 1中 解得a 把a 代入a x 2 2 1 0 解得x1 0 x2 4 思路分析根据函数图象上的点满足函数解析式求出二次项系数 然后解方程即可 一题多解本题还可以利用二次函数图象的对称性来解决 因为二次函数y ax2 1的图象关于y轴对称 且过点 2 0 所以过点 2 0 因为y a x 2 2 1的图象是由二次函数y ax2 1的图象向右平移两个单位得到的 故函数y a x 2 2 1的图象过点 0 0 4 0 所以方程a x 2 2 1 0的解是x1 0 x2 4 4 2016山东临沂 13 3分 二次函数y ax2 bx c 自变量x与函数y的对应值如下表 下列说法正确的是 a 抛物线的开口向下b 当x 3时 y随x的增大而增大c 二次函数的最小值是 2d 抛物线的对称轴是直线x 答案d由题表中数据可求得二次函数的解析式为y x2 5x 4 即y 故抛物线的开口向上 对称轴是直线x 二次函数的最小值是 当x 时 y随x的增大而增大 当x 时 y随x的增大而减小 故选d 思路分析选出三点的坐标 利用待定系数法求出函数的解析式 再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论 解题关键本题考查用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质 解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式 5 2015辽宁沈阳 8 3分 在平面直角坐标系中 二次函数y a x h 2 a 0 的图象可能是 答案d二次函数y a x h 2 a 0 的图象的顶点坐标为 h 0 由于该点的纵坐标为0 所以该点在x轴上 符合这一条件的图象只有d 故选d 6 2016黑龙江哈尔滨 16 3分 二次函数y 2 x 3 2 4的最小值为 答案 4 解析二次函数y 2 x 3 2 4的最小值为 4 7 2017江西 22 9分 已知抛物线c1 y ax2 4ax 5 a 0 1 当a 1时 求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴 2 试说明无论a为何值 抛物线c1一定经过两个定点 并求出这两个定点的坐标 将抛物线c1沿这两个定点所在直线翻折 得到抛物线c2 直接写出c2的表达式 3 若 2 中抛物线c2的顶点到x轴的距离为2 求a的值 备用图 8 2014山东泰安 29 12分 二次函数y ax2 bx c的图象经过点 1 4 且与直线y x 1相交于a b两点 如图 a点在y轴上 过点b作bc x轴 垂足为点c 3 0 1 求二次函数的表达式 2 点n是二次函数图象上一点 点n在ab上方 过n作np x轴 垂足为点p 交ab于点m 求mn的最大值 3 在 2 的条件下 点n在何位置时 bm与nc相互垂直平分 并求出所有满足条件的n点的坐标 解析 1 由题设可知a 0 1 b 根据题意得解得则二次函数的表达式是y x2 x 1 2 设n 则m p点的坐标分别是 x 0 mn pn pm x2 x 1 x2 x 则当x 时 mn取得最大值 3 连接cm bn bm与nc互相垂直平分 四边形bcmn是菱形 bc mn mn bc 且bc mc 即 x2 x 且 解得x 1 故当n 1 4 时 bm和nc互相垂直平分 考点二二次函数与a b c的关系 1 2018湖北黄冈 6 3分 当a x a 1时 函数y x2 2x 1的最小值为1 则a的值为 a 1b 2c 0或2d 1或2 答案dy x2 2x 1 x 1 2 当a 1时 函数y x2 2x 1在a x a 1内 y随x的增大而增大 其最小值为a2 2a 1 则a2 2a 1 1 解得a 2或a 0 舍去 当a 1 1 即a 0时 函数y x2 2x 1在a x a 1内 y随x的增大而减小 其最小值为 a 1 2 2 a 1 1 a2 则a2 1 解得a 1或a 1 舍去 当0 a 1时 函数y x2 2x 1在x 1处取得最小值 最小值为0 不合题意 综上 a的值为 1或2 故选d 2 2017甘肃兰州 5 4分 下表是一组二次函数y x2 3x 5的自变量x与函数值y的对应值 那么方程x2 3x 5 0的一个近似根是 a 1b 1 1c 1 2d 1 3 答案c由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0 04 它对应的x的值是1 2 故方程x2 3x 5 0的一个近似根是1 2 故选c 答案a 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象在2 x 3这一段位于x轴的下方 在6 x 7这一段位于x轴的上方 当x 时 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象位于x轴的下方 当x 时 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象位于x轴的上方 a 结合各选项知a的值为1 故选a 3 2015浙江宁波 11 4分 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象在2 x 3这一段位于x轴的下方 在6 x 7这一段位于x轴的上方 则a的值为 a 1b 1c 2d 2 4 2015内蒙古包头 12 3分 如图 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交于点a 1 0 对称轴为直线x 1 与y轴的交点b在 0 2 和 0 3 之间 包括这两点 下列结论 当x 3时 y8a 其中正确的结论是 a b c d 答案b由已知条件可知a3时 y2 4ac b2 8a 故 错 正确 故选b 5 2016山东青岛 12 3分 已知二次函数y 3x2 c与正比例函数y 4x的图象只有一个交点 则c的值为 答案 解析 二次函数y 3x2 c与正比例函数y 4x的图象只有一个交点 一元二次方程3x2 c 4x 即3x2 4x c 0有两个相等的实数根 则有 4 2 4 3c 0 解得c 6 2014湖南株洲 16 3分 如果函数y a 1 x2 3x 的图象经过平面直角坐标系的四个象限 那么a的取值范围是 答案a 5 解析函数图象经过四个象限 需满足3个条件 1 函数是二次函数 因此a 1 0 即a 1 2 二次函数的图象与x轴有两个交点 因此 9 4 a 1 4a 11 0 解得a0 解得a 1或a 5 综上可知 a 5 7 2018云南 20 8分 已知二次函数y x2 bx c的图象经过a 0 3 b两点 1 求b c的值 2 二次函数y x2 bx c的图象与x轴是否有公共点 若有 求公共点的坐标 若没有 请说明理由 解析 1 二次函数y x2 bx c的图象经过a 0 3 b两点 解得 b c 3 4分 2 y x2 bx c x2 x 3 由 x2 x 3 0得x2 6x 16 0 解得x 2或x 8 6分 二次函数y x2 bx c的图象与x轴有两个公共点 公共点的坐标为 2 0 8 0 8分 思路分析 1 将a b的坐标分别代入解析式 列方程组求得b c 2 由 1 得二次函数解析式 令y 0 解方程即可 考查内容本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系 熟练地解方程 组 是解决本题的关键 8 2018北京 26 6分 在平面直角坐标系xoy中 直线y 4x 4与x轴 y轴分别交于点a b 抛物线y ax2 bx 3a经过点a 将点b向右平移5个单位长度 得到点c 1 求点c的坐标 2 求抛物线的对称轴 3 若抛物线与线段bc恰有一个公共点 结合函数图象 求a的取值范围 解析 1 将x 0代入y 4x 4得y 4 b 0 4 点b向右平移5个单位长度得到点c c 5 4 2 将y 0代入y 4x 4得x 1 a 1 0 将点a 1 0 代入抛物线解析式y ax2 bx 3a得0 a b 3a 即b 2a 抛物线的对称轴为直线x 1 3 抛物线始终过点a 1 0 且对称轴为直线x 1 由抛物线的对称性可知抛物线也过点a关于直线x 1的对称点 3 0 a 0时 如图1 图1将x 5代入抛物线的解析式得y 12a 12a 4 a a 0 且抛物线顶点不在线段bc上时 如图2 图2将x 0代入抛物线得y 3a 抛物线与线段bc恰有一个公共点 3a 4 a 若抛物线的顶点在线段bc上 则顶点为 1 4 如图3 图3将点 1 4 代入抛物线的解析式得4 a 2a 3a a 1 综上所述 a 或a 或a 1 思路分析 1 先求b点坐标 由b点向右平移5个单位长度确定c点坐标 2 确定a点坐标 代入抛物线的解析式 利用公式确定对称轴 3 结合图象和抛物线的对称性解答 解题关键解决本题第 3 问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点 进而通过临界点求出a的取值范围 同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况 9 2017江苏南京 26 8分 已知函数y x2 m 1 x m m为常数 1 该函数的图象与x轴公共点的个数是 a 0b 1c 2d 1或2 2 求证 无论m为何值 该函数的图象的顶点都在函数y x 1 2的图象上 3 当 2 m 3时 求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围 解析 1 d 2分 m 1 2 4