【导与练】高考数学 试题汇编 第四节 解三角形 理（含解析）.doc

第四节解三角形 利用正、余弦定理解三角形考向聚焦高考的热点,主要考查方向有(1)单纯利用正、余弦定理求三角形的边长、夹角以及面积等基础问题;(2)结合正、余弦定理、三角恒等变换等知识,在三角形内综合考查学生对解三角形的掌握.其中第(1)方向常以客观题形式出现,难度不大,所占分值约为5分,第(2)方向常以解答题形式出现,难度中档以下,所占分值12分备考指津训练题型:(1)正、余弦定理的应用,要特别注重已知条件对定理选择的作用,如已知三边,求三角,优先使用余弦定理求角;(2)灵活运用正、余弦定理把边、角之间的关系相互转化和在三角形中进行三角恒等变换1.(2012年上海数学,理16,5分)在abc中,若sin2a+sin2bsin2c,则abc的形状是()(a)锐角三角形(b)直角三角形(c)钝角三角形(d)不能确定解析:由正弦定理及已知得,a2+b2c2,所以cos c=a2+b2-c22ab0,因此c为钝角,所以abc为钝角三角形,故选c.答案:c.2.(2012年陕西卷,理9,5分)在abc中,角a,b,c所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos c的最小值为()(a)32(b)22(c)12(d)-12解析:由余弦定理,知cos c=a2+b2-c22ab=2c2-c22ab=c22abc2a2+b2=12,当且仅当a=b时,cos c取得最小值12.答案:c.3.(2011年天津卷,理6)如图,在abc中,d是边ac上的点,且ab=ad,2ab=3bd,bc=2bd,则sin c的值为()(a)33(b)36(c)63(d)66解析:不妨设ab=ad=3,则bd=23ab=2,bc=2bd=4,在abd中利用余弦定理得cos a=(3)2+(3)2-22233=13,sin a=1-(13)2=223.在abc中利用正弦定理得bcsina=absinc,sin c=absinabc=32234=66,故选d.答案:d.4.(2011年辽宁卷,理4)abc的三个内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,asin asin b+bcos2a=2a,则ba等于()(a)23(b)22(c)3(d)2解析:由正弦定理得asin asin b+bcos2a=2a可化为sin2asin b+sin bcos2a=2sin a,sin b=2sin a,再由正弦定理得ba=sinbsina=2.故选d.答案:d.5.(2012年北京卷,理11,5分)在abc中,若a=2,b+c=7,cos b=-14,则b=.解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos b得b2=4+(7-b)2-22(7-b)(-14),即:15b-60=0,得b=4.答案:46.(2012年湖北卷,理11,5分)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角c=.解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab,化简得a2+b2-c2=-ab,所以由余弦定理得cos c=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12,又c(0,),所以c=23.答案:237.(2011年北京卷,理9)在abc中,若b=5,b=4,tan a=2,则sin a=;a=.解析:tan a=sinacosa=2,sin2a+cos2a=sin2a+(sina2)2=1,sin2a=45.a为三角形内角,sin a=255,由正弦定理得asina=bsinb,a=5sin 4sin a=210.答案:2552108.(2011年全国新课标卷,理16)在abc中,b=60,ac=3,则ab+2bc的最大值为.解析:由正弦定理知absinc=bcsina=3sin60,ab=2sin c,bc=2sin a.又a+c=120,ab+2bc=2sin c+4sin a=2sin(120-a)+4sin a=2sin120cos a-2cos120sin a+4sin a=3cos a+sin a+4sin a=5sin a+3cos a=27sin(a+),其中tan =35(090), a+120+.当a+=90时,ab+2bc取最大值27.答案:279.(2010年广东卷,理11)已知a,b,c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边.若a=1,b=3,a+c=2b,则sin c=.解析:在abc中,由a+c=2b,a+b+c=,可得b=3.根据正弦定理得bsinb=asin(23-c),即3sin3=1sin(23-c),所以sin(23-c)=12,又023-c23,所以23-c=6,c=2,sin c=1.答案:110.(2012年江西卷,理17,12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知a=4,bsin(4+c)-csin(4+b)=a.(1)求证:b-c=2;(2)若a=2,求abc的面积.(1)证明:由bsin(4+c)-csin(4+b)=a,应用正弦定理得sin bsin(4+c)-sin csin(4+b)=sin a,sin b(22sin c+22cos c)-sin c(22sin b+22cos b)=22,整理得sin bcos c-cos bsin c=1,即sin(b-c)=1,由于0b,c0,得4c22,即2c.由sin c=34得cos c=-74,由a2+b2=4(a+b)-8,得a2+b2-4a-4b+8=0,即(a-2)2+(b-2)2=0,a=b=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=8+27,c=7+1.13.(2011年湖北卷,理16)设abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cos c=14.(1)求abc的周长;(2)求cos(a-c)的值.解:(1)c2=a2+b2-2abcos c=1+4-414=4,c=2,abc的周长为a+b+c=1+2+2=5.(2)cos c=14,且0c,sin c=1-cos2c=1-(14)2=154,sin a=asincc=1542=158,ac,ac,故a为锐角,cos a=1-sin2a=1-(158)2=78,cos(a-c)=cos acos c+sin asin c=7814+158154=1116.14.(2010年浙江卷,理18)在abc中,角a、b、c所对的边分别为a,b,c.已知cos 2c=-14,(1)求sin c的值;(2)当a=2,2sin a=sin c时,求b及c的长.解:(1)cos 2c=-14,1-2sin2c=-14,sin2c=58.又0ca,ca,a为锐角,而sin a=sinc2=108,cos a=368.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a得4=b2+16-24b368,b2-36b+12=0,解得b=6或b=26,b=6c=4或b=26c=4.与解三角形相关的综合问题考向聚焦高考重点考查内容,主要体现在:(1)把解三角形问题与三角函数结合.借助三角恒等变换或者在三角形内利用角的关系以及三角函数公式解三角形,求与三角形有关的值或三角函数式;(2)把解三角形问题与平面向量知识相结合.一般涉及向量的数量积运算,注重三角形内角和这一隐含条件,常以解答题的形式出现,难度中等,具有一定的综合性,所占分值12分左右15.(2012年天津卷,理6,5分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,c=2b,则cos c=()(a)725(b)-725(c)725(d)2425解析:abc中,csinc=bsinb,csin2b=58csinb,c2sinbcosb=58csinb,cos b=45,cos c=cos 2b=2cos2b-1=2(45)2-1=725.故选a.答案:a.16.(2012年重庆卷,理13,5分)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且cos a=35,cos b=513,b=3,则c=.解析:cos a=35,sin a=45,cos b=513,sin b=1213,sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=45513+351213=5665.由正弦定理得:c=bsincsinb=356651213=145.答案:145 本题考查同角三角函数基本关系、两角和的三角公式的运用以及解三角形的简单应用.17.(2012年安徽卷,理15,5分)设abc的内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).若abc2,则c2c,则c3若a3+b3=c3,则c2若(a+b)c2若(a2+b2)c23解析:本题考查解三角形问题,考查正余弦定理以及不等式的综合应用.abc2cos c=a2+b2-c22ab2ab-ab2ab=12c2ccos c=a2+b2-c22ab4(a2+b2)-(a+b)28ab12ca3+b3与a3+b3=c3矛盾.取a=b=2,c=1满足(a+b)c2ab得c2.取a=b=2,c=1满足(a2+b2)c22a2b2得:c3.答案: 本题考查不等式与解三角形的综合,难度较大,解题的关键是利用两个不等式对条件进行辨析得出a2+b2与c2的关系,而可以转换为的条件来解决.18.(2011年安徽卷,理14)已知abc的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则abc的面积为.解析:由题意设abc三边长分别为a-4,a,a+4,则cos 120=a2+(a-4)2-(a+4)22a(a-4),解得a=10或a=0(舍),则sabc=12610sin 120=153.答案:15319.(2012年新课标全国卷,理17,12分)已知a,b,c分别为abc三个内角a,b,c的对边,acos c+3asin c-b-c=0.(1)求a;(2)若a=2,abc的面积为3,求b,c.解:(1)由余弦定理知cos c=a2+b2-c22ab,代入acos c+3asin c-b-c=0得a2+b2-c22b+3asin c=b+c23absin c=b2+c2-a2+2bc两边同除2bc可得3asincc=cos a+1.又由正弦定理知ac=sinasinc,3sin a=cos a+1即cos a=3sin a-1,又sin2a+cos2a=1,sin a=32,cos a=12.a为锐角且a=3.(2)a=2,sabc=12absin c=3,absin c=23,式可化为12=(b+c)2-4,b+c=4.又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos a,b2+c2-bc=4,(b+c)2-3bc=4,bc=4,b=c=2.20.(2012年江苏数学,15,14分)在abc中,已知abac=3babc.(1)求证:tan b=3tan a;(2)若cos c=55,求a的值.(1)证明:因为abac=3babc,所以|ab|ac|cos a=3|ba|bc|cos b,即|ac|cos a=3|bc|cos b,由正弦定理知acsinb=bcsina,从而sin bcos a=3sin acos b,又因为0a+b0,cos b0,所以tan b=3tan a.(2)解:因为cos c=55,0c0,故tan a=1,所以a=4.21.(2012年浙江卷,理18,14分)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知cos a=23,sin b=5cos c.(1)求tan c的值;(2)若a=2,求abc的面积.解:(1)因为0a,cos a=23,得sin a=1-cos2a=53又5cos c=sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=53cos c+23sin c.所以tan c=5.(2)由tan c=5,得sin c=56,cos c=16.于是sin b=5cos c=56,由a=2及正弦定理asina=csinc,得c=3.设abc的面积为s,则s=12acsin b=52.22.(2011年江苏卷,15)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.(1)若sin(a+6)=2cos a,求a的值;(2)若cos a=13,b=3c,求sin c的值.解:(1)sin(a+6)=2cos a,sin acos 6+cos asin 6=2cos a,32sin a=32cos a,cos a0,tan a=3.又0a0),a=ksin a,b=ksin b,c=ksin c,2c-ab=2ksinc-ksinaksinb=2sinc-sinasinb=cosa-2cosccosb,2sin ccos b-sin acos b=cos asin b-2cos csin b,即2(sin ccos b+cos csin b)=cos asin b+sin acos b,即2sin(b+c)=sin(a+b),a+b+c=,2sin(-a)=sin(-c),即2sin a=sin c,sincsina=2.(2)由(1)知ca=sincsina=2,c=2a.又b=2,cos b=14,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos b,即4=a2+4a2-4a214,a=1,c=2,sin b=1-cos2b=154(b(0,),abc的面积为s=12acsin b=154.24.(2010年安徽卷,理16)设abc是锐角三角形,a,b,c分别是内角a,b,c所对边长,并且sin2a=sin(3+b)sin(3-b)+sin