【导与练】高考数学 试题汇编 第四节解三角形 文（含解析）.doc

第四节解三角形 利用正、余弦定理解三角形考向聚焦高考的热点,主要考查方向有(1)单纯利用正、余弦定理求三角形的边长、夹角以及面积等基础问题;(2)结合正、余弦定理、三角恒等变换等知识,在三角形内综合考查学生对解三角形的掌握.其中第(1)方向常以客观题形式出现,难度不大,所占分值约为5分,第(2)方向常以解答题形式出现,难度中档以下,所占分值12分备考指津训练题型:(1)正、余弦定理的应用,要特别注重已知条件对定理选择的作用,如已知三边,求三角,优先使用余弦定理求角;(2)灵活运用正、余弦定理把边、角之间的关系相互转化和在三角形中进行三角恒等变换1.(2012年广东卷,文6,5分)在abc中,若a=60,b=45,bc=32,则ac等于()(a)43(b)23(c)3(d)32解析:本小题主要考查正弦定理,由bcsina=acsinb知ac=bcsinbsina=322232=23.答案:b.2.(2012年湖北卷,文8,5分)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且abc,3b=20acos a,则sin asin bsin c为()(a)432(b)567(c)543(d)654解析:因为a,b,c为连续的三个正整数,且abc,可得a=c+2,b=c+1;又因为3b=20acos a,由余弦定理可知cos a=b2+c2-a22bc,则3b=20ab2+c2-a22bc,联立,化简可得7c2-13c-60=0,解得c=4或c=-157(舍去),则a=6,b=5.又由正弦定理可得,sin asin bsin c=abc=654.故应选d.答案:d.3.(2011年重庆卷,文8)若abc的内角a、b、c满足6sin a=4sin b=3sin c,则cos b等于()(a)154(b)34(c)31516(d)1116解析:在abc中,设a,b,c分别为角a、b、c所对的三边长,则sinasinb=ab=46=23,sinasinc=ac=36=24,abc=234,设a=2x,则b=3x,c=4x(x0),cos b=a2+c2-b22ac=4x2+16x2-9x2224x2=1116,选d.答案:d.4.(2011年四川卷,文8)在abc中,sin2asin2b+sin2c-sin bsin c,则a的取值范围是()(a)(0,6(b)6,)(c)(0,3(d)3,)解析:根据正弦定理,由sin2asin2b+sin2c-sin bsin c得a2b2+c2-bc,根据余弦定理cos a=b2+c2-a22bcbc2bc=12,又0a,0a3,故选c.答案:c.5.(2010年上海卷,文18)若abc的三个内角满足sin asin bsin c=51113,则abc()(a)一定是锐角三角形(b)一定是直角三角形(c)一定是钝角三角形(d)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由sin asin bsin c=51113得abc=51113,不妨令a=5,b=11,c=13,则cos c=a2+b2-c22ab=52+112-1322511=-23110b,ab,0b3,b=6.c=-a-b=2.答案:27.(2012年陕西卷,文13,5分)在abc中,角a,b,c所对边的长分别为a,b,c.若a=2,b=6,c=23,则b=.解析:因为已知两边及其夹角,所以直接用余弦定理得b=2.答案:28.(2012年重庆卷,文13,5分)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos c=14,则sin b=.解析:由c2=a2+b2-2abcos cc2=12+22-21214=1+4-1=4,c=2.cos b=a2+c2-b22ac=12+22-22212=14.sin b=1-(14)2=154.答案:1549.(2012年福建卷,文13,4分)在abc中,已知bac=60,abc=45,bc=3,则ac=.解析:由正弦定理得acsinabc=bcsinbac,即acsin45=3sin60,解得ac=2.答案:210.(2011年北京卷,文9)在abc中,若b=5,b=4,sin a=13,则a=.解析:由正弦定理得asina=bsinb,a=5sin413=523.答案:52311.(2011年福建卷,文14)若abc的面积为3,bc=2,c=60,则边ab的长度等于.解析:sabc=12cbcasin c=122ac32=3,ac=2,又bc=2,c=60,abc为正三角形,ab=2.答案:212.(2011年全国新课标卷,文15)abc中,b=120,ac=7,ab=5,则abc的面积为.解析:由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccos b,即49=25+bc2+5bc,bc2+5bc-24=0,bc=-8(舍)或bc=3.由三角形面积公式得sabc=12abbcsin b=1253sin 120=1534.答案:153413.(2010年广东卷,文13)已知a,b,c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边,若a=1,b=3,a+c=2b,则sin a=.解析:在abc中,由a+c=2b,a+b+c=,可得b=3,根据正弦定理得asina=bsinb,即1sina=3sin 3,故sin a=12.答案:1214.(2012年全国大纲卷,文17,10分)abc中,内角a、b、c成等差数列,其对边a、b、c满足2b2=3ac,求a.解:由a、b、c成等差数列及a+b+c=180得b=60,a+c=120,由2b2=3ac及正弦定理得2sin2b=3sin asin c,故sin asin c=12,cos(a+c)=cos acos c-sin asin c=cos acos c-12,即cos acos c-12=-12,即cos acos c=0,故cos a=0或cos c=0,所以a=90或a=30.15.(2012年江西卷,文16,12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知3cos(b-c)-1=6cos bcos c.(1)求cos a;(2)若a=3,abc的面积为22,求b,c.解:(1)由3cos(b-c)-1=6cos bcos c,得3(cos bcos c-sin bsin c)=-1,即cos(b+c)=-13,从而cos a=-cos(b+c)=13.(2)由于0a,cos a=13,所以sin a=223.又sabc=22,即12bcsin a=22,解得bc=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,得b2+c2=13.解方程组bc=6b2+c2=13得b=2c=3或b=3c=2.16.(2012年新课标全国卷,文17,12分)已知a,b,c分别为abc三个内角a,b,c的对边,c=3asin c-ccos a.(1)求a;(2)若a=2,abc的面积为3,求b,c.解:(1)由c=3asin c-ccos a及正弦定理得3sin asin c-cos asin c-sin c=0,由sin c0,所以sin(a-6)=12,又0a0.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2.可得cos2b=12,又cos b0,故cos b=22,所以b=45.与解三角形相关的综合问题考向聚焦高考重点考查内容,主要体现在:(1)把解三角形问题与三角函数结合.借助三角恒等变换或者在三角形内利用角的关系以及三角函数公式解三角形,求与三角形有关的值或三角函数式;(2)把解三角形问题与平面向量知识相结合.一般涉及向量的数量积运算,注重三角形内角和这一隐含条件,常以解答题的形式出现,难度中等,具有一定的综合性,所占分值12分左右19.(2012年湖南卷,文8,5分)在abc中,ac=7,bc=2,b=60,则bc边上的高等于()(a)32(b)332(c)3+62(d)3+394解析:由余弦定理ac2=ab2+bc2-2abbccos b所以7=ab2+4-22abcos 60,所以ab2-2ab-3=0得ab=3,因此bc边上的高h=absin 60=323.答案:b. 画出图形,用余弦定理列方程求解.20.(2012年上海数学,文17,5分)在abc中,若sin2a+sin2bsin2c,则abc的形状是()(a)钝角三角形(b)直角三角形(c)锐角三角形(d)不能确定解析:由sin2a+sin2bsin2ca2+b2c2,cos c=a2+b2-c22ab90.故选a.答案:a.21.(2011年上海卷,文8)在相距2千米的a,b两点处测量目标c,若cab=75,cba=60,则a,c两点之间的距离是千米.解析:如图,由正弦定理得absinc=acsinb,c=180-75-60=45,ac=absinbsinc=2sin60sin45=6(千米).答案:622.(2012年天津卷,理16,13分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=2,cos a=-24.(1)求sin c和b的值;(2)求cos(2a+3)的值.解:(1)在abc中,由cos a=-24可得sin a=144.又由asina=csinc及a=2,c=2,可得sin c=74.由a2=b2+c2-2bccos a得b2+b-2=0,因为b0,故解得b=1.所以sin c=74,b=1.(2)由cos a=-24,sin a=144,得cos 2a=2cos2a-1=-34,sin 2a=2sin acos a=-74,所以,cos (2a+3)=cos 2acos 3-sin 2asin 3=-3+218.23.(2012年安徽卷,文16,12分)设abc的内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c,且有2sin bcos a=sin acos c+cos asin c.(1)求角a的大小;(2)若b=2,c=1,d为bc的中点,求ad的长.解:(1)法一:由题设知,2sin bcos a=sin(a+c)=sin b,因为sin b0,所以cos a=12.由于0a,故a=3.法二:由题设可知,2bb2+c2-a22bc=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc,于是b2+c2-a2=bc,所以cos a=b2+c2-a22bc=12.由于0a,故a=3.(2)法一:因为ad2=(ab+ac2)2=14(ab2+ac2+2abac)=14(1+4+212cos 3)=74,所以|ad|=72,从而ad=72.法二:因为a2=b2+c2-2bccos a=4+1-22112=3,所以a2+c2=b2,b=2.bd=32,ab=1,所以ad=1+34=72.24.(2012年浙江卷,文18,14分)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且bsin a=3acos b.(1)求角b的大小;(2)若b=3,sin c=2sin a,求a,c的值.解:(1)由bsin a=3acos b及正弦定理asina=bsinb,得sin b=3cos b所以tan b=3,因为0b,所以b=3.(2)由sin c=2sin a及asina=csinc,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得9=a2+c2-ac.所以a=3,c=23.25.(2012年山东卷,文17,12分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知sin b(tan a+tan c)=tan atan c.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求abc的面积s.(1)证明:abc中,sin b(tan a+tan c)=tan atan csin b(sinacosa+sinccosc)=sinacosasinccoscsin b(sin acos c+cos asin c)=sin asin csin bsin(a+c)=sin asin c,a+c=-b,sin(a+c)=sin bsin2 b=sin asin c由正弦定理得:b2=aca、b、c成等比数列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=2,cos b=a2+c2-b22ac=12+22-2212=34,0b,sin b=1-cos2b=1-(34)2=74,sabc=12acsin b=121274=74. 本题考查正余弦定理,三角恒等变换等基础知识,考查学生的运算求解能力,以及运用所学知识,综合分析、解决问题的能力,难度适中.26.(2012年江苏数学,15,14分)在abc中,已知abac=3babc.(1)求证:tan b=3tan a;(2)若cos c=55,求a的值.(1)证明:因为abac=3babc,所以|ab|ac|cos a=3|ba|bc|cos b,即|ac|cos a=3|bc|cos b,由正弦定理知acsinb=bcsina,从而sin bcos a=3sin acos b,又因为0a+b0,cos b0,所以tan b=3tan a.(2)解:因为cos c=55,0c0,故tan a=1,所以a=4.27.(2011年湖南卷,文17)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足csin a=acos c,(1)求角c的大小;(2)求3sin a-cos(b+4)的最大值,并求取得最大值时角a,b的大小.解:(1)由正弦定理得sin csin a=sin acos c.因为0a0.从而sin c=cos c.又cos c0,所以tan c=1,则c=4.(2)由(1)知,b=34-a.于是3sin a-cos(b+4)=3sin a-cos(-a)=3sin a+cos a=2sin(a+6).因为0a34,所以6a+61112.从而当a+6=2,即a=3时,2sin(a+6)取最大值2.综上所述,3sin a-cos(b+4)的最大值为2,此时a=3,b=512.28.(2011年江苏卷,15)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.(1)若sin(a+6)=2cos a,求a的值;(2)若cos a=13,b=3c,求sin c的值.解:(1)sin(a+6)=2cos a,sin acos 6+cos asin 6=2cos a,32sin a-32cos a=0,3sin(a-3)=0,sin(a-3)=0,又0a,-3a-323,a-3=0,a=3.(2)由cos a=13得b2+c2-a22bc=13,又b=3c,(3c)2+c2-a223cc=13,a=22c,sin a=22sin c,sin c=24sin a,由cos a=13,0a,得sin a=223,sin c=24223=13.29.(2011年安徽卷,文16)在abc中,a,b,c分别为内角a,b,c所对的边长,a=3,b=2,1+2cos(b+c)=0,求边bc上的高.解:由1+2cos(b+c)=0得1+2cos(-a)=1-2cos a=0,cos a=12,又0a,sin a=32,由正弦定理得sin b=bsinaa=2323=22,由ba知ba=3,cos b=1-sin2b=22,sin c=sin(a+b)=22(32+12),设边bc上的高为h,则h=bsin c=3+12.30.(2010年安徽卷,文16)abc的面积是30,内角a,b,c所对边长分别为a,b,c,cos a=1213.(1)求abac;(2)若c-b=1,求a的值.解:(1)在abc中,cos a=1213,a为锐角,且sin a=513,sabc=12bcsin a=12bc513=30,bc=156.abac=|ab|ac|cos a=bccos a=1561213=144.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=(b-c)2+2bc(1-cos a)=1+2156113=25,a=5. 本题考查了三角形的面积和余弦定理,同时与平面向量相结合,体现了三角形的边角与向量数量积的内在联系.利用正、余弦定理解决实际问题考向聚焦近几年以解三角形为背景的应用试题成了高考的一个亮点,高考对本部分内容的考查主要是把解三角形知识与其他学科知识相联系.利用正、余弦定理把实际问题转化为数学问题,有时结合三角函数的公式综合考查.这类考题背景材料简捷新颖,具有建模转化、分析求解、方案设计等特点,考查解决实际问题的能力.一般以解答题形式出现,难度属于中档题,所占分值约为12分备考指津训练题型:(1)测量长度、高度等问题,要注意关注俯角、仰角等名词的含义;(2)追击问题,以及与其他知识结合的解三角形问题,要关注由实际问题向数学问题转化的训练31.(2010年福建卷,文21)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)法一:设相遇时小艇的航行距离为s海里,则s=900t2+400-230t20cos(90-30)=900t2-600t+400=900(t-13)2+300.故当t=13时,smin=103,v=10313=303.即小艇以303海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.法二:若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.如图,设小艇与轮船在c处相遇.在rtoac中,oc=20cos 30=103,ac=20sin 30=10.又ac=30t,oc=vt,此时,轮船航行时间t=1030=13,v=10313=303.即小艇以303海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)如图,设小艇与轮船在b处相遇.由题意可得(vt)2=202+(30t)2-22030tcos(90-30),化简得v2=400t2-600t+900=400(1t-34)2+675.由于00),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即6002-1600(900-v2)0,900-v20,解得153v30.所以v的取值范围是(153,30). 本题考查了解三角形 、二次函数、不等式等基础知识,同时具备推理论证、抽象