【导与练】高考数学大二轮 专题限时训练 第1讲 多面体与球 文.doc

第1讲多面体与球【选题明细表】知识点、方法题号多面体(或球)的结构特征1、7、12多面体与球的表面积2、3、11几何体的体积5、6、8、10综合问题4、9、13一、选择题1.下列结论正确的是(d)(a)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(b)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(c)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥(d)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析:选项a错误,如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;选项b错误,如图(2),若abc不是直角三角形,或abc是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;选项c错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.故选d.2.设一个球的表面积为s1,它的内接正方体的表面积为s2,则s1s2的值等于(d)(a)2(b)6(c)6(d)2解析:设球的半径为r,其内接正方体的棱长为a,则易知r2=34a2,即a=233r,则s1s2=4r26(233r)2=2,故选d.3.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32,则这个四棱锥的外接球的表面积为(b)(a)12(b)36(c)72(d)108解析:依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为322=6,高为(32)2-(126)2=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于432=36,故选b.4.已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形,则此四棱锥的体积为(d)(a)2(b)62(c)1(d)22解析:由斜二测画法可知,原图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为1,在斜二测图形中如图(1),ob=2,且boa=45,那么在原图形中如图(2),boa=90,且ob=22,所以原平面图形的面积为122=22,故此四棱锥的体积为v=13223=22,故选d.5.将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起,使bd等于a,则三棱锥abcd的体积为(d)(a)a36(b)a312(c)3a312(d)2a312解析:如图所示,折起后,形成的三棱锥bacd中,bc=bd=cd=ad=ab=a,ac=2a.取bd的中点e,ac的中点f,连结ef,则bd平面ace.又efac,且ce2=34a2,fc2=12a2,ef=ec2-fc2=12a,vabcd=vbace+vdace=13sacebd=13122a12aa=212a3,故选d.6.如图所示,正方体abcdabcd的棱长为4,动点e、f在棱ab上,且ef=2,动点q在棱dc上,则三棱锥aefq的体积(d)(a)与点e、f位置有关(b)与点q位置有关(c)与点e、f、q位置都有关(d)与点e、f、q位置均无关,是定值解析:因为vaefq=vqaef=1312244=163,故三棱锥aefq的体积与点e、f、q的位置均无关,是定值.故选d.7.已知点a、b同位于以点o为球心、1为半径的一个球面上,且o到过点a、b的截面的距离的最大值是22,则点a、b间的球面距离等于(d)(a)6(b)4(c)3(d)2解析:设o到过点a、b的截面的距离为d,截面半径为r,则有d=1-r2,当r最小,即截面以ab为直径时,d取得最大值.因此依题意得22=1-(12ab)2,ab=2,又ab2=oa2+ob2,得aob=2,故点a、b间的球面距离等于21=2,故选d.8.如图所示,在正三棱柱abca1b1c1中,d为棱aa1的中点,若截面三角形bc1d是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为(b)(a)163(b)83(c)43(d)833解析:设正三棱柱的底面边长为a,高为2h,则bd=c1d=a2+h2,bc1=a2+4h2,由bc1d是面积为6的直角三角形,得2(a2+h2)=a2+4h2,12(a2+h2)=6,解得a2=8,h=2,故此三棱柱的体积为v=128sin 604=83.选b.9.高为24的四棱锥sabcd的底面是边长为1的正方形,点s、a、b、c、d均在半径为1的同一球面上,则底面abcd的中心与顶点s之间的距离为(c)(a)24(b)22(c)1(d)2解析:设球心为o,正方形的中心为o1,则ob=1,o1b=12bd=22,所以点o到平面abcd的距离oo1=ob2-o1b2=22.因为四棱锥sabcd的高为24,故四棱锥sabcd的顶点s在与平面abcd平行且距离为24的一个小圆的圆周上,此小圆的圆心o2在oo1的中点上,易知so2为线段oo1的垂直平分线,所以so1=so=1.故选c.二、填空题10.(2012年高考上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的体积为.解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,高为h,则l=2r,12l2=2,l=2,r=1,h=3,v圆锥=13123=33.答案:3311.若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底等高等棱长的正四棱锥),所有棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为22,故正八面体的体积为v=2v正四棱锥=2131222=23.答案:2312.(2012年高考辽宁卷)已知正三棱锥pabc,点p,a,b,c都在半径为3的球面上,若pa,pb,pc两两相互垂直,则球心到截面abc的距离为.解析:由正三棱锥pabc的三条侧棱两两垂直,将其补成一个正方体,此正方体的体对角线长恰等于外接球的直径,而球心到截面abc的距离等于体对角线长的三等分的一半,即d=1623=33.答案:3313. 如图所示,在三棱锥pabc中,pa,pb,pc两两垂直,且pa=3,pb=2,pc=1.若m是底面abc内一点,定义f(m)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥mpab,三棱锥mpbc,三棱锥mpca的体积.若f(m)=（12,x,y）,且1x+ay8恒成立,则正实数a的最小值为.解析:由已知条件可得m+n+p=16321=1,则f(m)=12,x,y中x+y+12=1,即