中考数学复习 第六章 图形与变换 6.2 图形的相似（试卷部分）课件.ppt

第六章图形与变换 6 2图形的相似 中考数学 安徽专用 a组2014 2018年安徽中考题组 五年中考 1 2016安徽 8 4分 如图 abc中 ad是中线 bc 8 b dac 则线段ac的长为 a 4b 4c 6d 4 答案b由ad是中线可得dc bc 4 b dac c c adc bac ac2 bc dc 8 4 32 ac 4 故选b 评析本题考查了相似三角形的判定与性质 及三角形的中线 属容易题 2 2018安徽 17 8分 如图 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10 10网格中 已知点o a b均为网格线的交点 1 在给定的网格中 以点o为位似中心 将线段ab放大为原来的2倍 得到线段a1b1 点a b的对应点分别为a1 b1 画出线段a1b1 2 将线段a1b1绕点b1逆时针旋转90 得到线段a2b1 画出线段a2b1 3 以a a1 b1 a2为顶点的四边形aa1b1a2的面积是个平方单位 解析 1 线段a1b1如图所示 3分 2 线段a2b1如图所示 6分 3 20 8分 提示 根据 1 2 可知四边形aa1b1a2是正方形 边长为 2 以a a1 b1 a2为顶点的四边形aa1b1a2的面积为 2 2 20 个平方单位 3 2014安徽 17 8分 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 给出了格点 abc 顶点是网格线的交点 1 将 abc向上平移3个单位得到 a1b1c1 请画出 a1b1c1 2 请画一个格点 a2b2c2 使 a2b2c2 abc 且相似比不为1 解析 1 作出 a1b1c1 如图所示 4分 2 本题是开放题 答案不唯一 只要作出的 a2b2c2满足条件即可 如图 8分 评析本题主要考查了相似和平移变换 找出变换后图形对应点的位置是解题关键 属容易题 考点一相似与位似的有关概念 b组2014 2018年全国中考题组 1 2017河北 7 3分 若 abc的每条边长增加各自的10 得 a b c 则 b 的度数与其对应角 b的度数相比 a 增加了10 b 减少了10 c 增加了 1 10 d 没有改变 答案d abc的每条边长增加各自的10 即变为原来的1 1倍 得到 a b c 根据相似三角形的判定方法可得 abc a b c 所以 b b 故选d 2 2016河北 15 2分 如图 abc中 a 78 ab 4 ac 6 将 abc沿图示中的虚线剪下 剪下的阴影三角形与原三角形的是 答案c选项a与b中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等 可得阴影三角形与原三角形相似 选项d中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2 3 且两边的夹角相等 所以两个三角形也是相似的 故选c 评析本题考查相似三角形的判定 熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键 3 2015甘肃兰州 5 4分 如图 线段cd两个端点的坐标分别为c 1 2 d 2 0 以原点为位似中心 将线段cd放大得到线段ab 若点b的坐标为 5 0 则点a的坐标为 a 2 5 b 2 5 5 c 3 5 d 3 6 答案b设点a的坐标为 x y 由位似图形的性质知 得x 2 5 y 5 则点a的坐标为 2 5 5 故选b 4 2017甘肃兰州 17 4分 如图 四边形abcd与四边形efgh位似 位似中心是点o 则 答案 解析 四边形abcd与四边形efgh位似 oef oab ofg obc 5 2015辽宁沈阳 14 4分 如图 abc与 def位似 位似中心为点o 且 abc的面积等于 def面积的 则ab de 答案2 3 解析 abc与 def位似 abc def s abc s def 舍负 即ab de 2 3 6 2016广西南宁 21 8分 如图 在平面直角坐标系中 已知 abc三个顶点的坐标分别是a 2 2 b 4 0 c 4 4 1 请画出 abc向左平移6个单位长度后得到的 a1b1c1 2 以点o为位似中心 将 abc缩小为原来的 得到 a2b2c2 请在y轴右侧画出 a2b2c2 并求出 a2c2b2的正弦值 解析 1 a1b1c1为所求作三角形 3分 正确作出一个点给1分 2 a2b2c2为所求作三角形 6分 正确作出一个点给1分 根据勾股定理得a2c2 sin a2c2b2 8分 1 2017甘肃兰州 13 4分 如图 小明为了测量一凉亭的高度ab 顶端a到水平地面bd的距离 在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶bc等高的平台de de bc 0 5米 a c b三点共线 把一面镜子水平放置在平台上的点g处 测得cg 15米 然后沿着直线cg后退到点e处 这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端a 测得ge 3米 小明身高ef 1 6米 则凉亭的高度ab约为 a 8 5米b 9米c 9 5米d 10米 考点二相似三角形的性质与判定 答案a由光线反射可知 agc fge 又 feg acg 90 feg acg fe ac eg cg 1 6 ac 3 15 ac 8米 bc 0 5米 ab ac bc 8 5米 解题关键本题考查了相似三角形的判定与性质 解答本题的关键是判定 feg与 acg相似 2 2015内蒙古呼和浩特 7 3分 如图 有一块矩形纸片abcd ab 8 ad 6 将纸片折叠 使得ad边落在ab边上 折痕为ae 再将 aed沿de向右翻折 ae与bc的交点为f 则 cef的面积为 a b c 2d 4 答案c在题中的第三个图中 ad 6 ab 4 de 6 因为bf de 所以 abf ade 所以 即 解得bf 4 所以cf 2 所以s cef ce cf 2 3 2018吉林 12 3分 如图是测量河宽的示意图 ae与bc相交于点d b c 90 测得bd 120m dc 60m ec 50m 求得河宽ab m 答案100 解析易知 abd ecd 又 bd 120m dc 60m ec 50m ab 100m 4 2017北京 13 3分 如图 在 abc中 m n分别为ac bc的中点 若s cmn 1 则s四边形abnm 答案3 解析 m n分别为ac bc的中点 mn ab 且mn ab cmn cab 且相似比为1 2 s cmn 1 s cab 4 s四边形abnm s cab s cmn 4 1 3 5 2015山东临沂 18 3分 如图 在 abc中 bd ce分别是边ac ab上的中线 bd与ce相交于点o 则 答案2 解析连接de bd ce分别是ac ab边上的中线 de为 abc的中位线 de bc de bc obc ode 2 6 2018江西 14 6分 如图 在 abc中 ab 8 bc 4 ca 6 cd ab bd是 abc的平分线 bd交ac于点e 求ae的长 解析 bd平分 abc abd cbd ab cd abd d abe cde cbd d bc cd ab 8 ca 6 cd bc 4 ae 4 思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出 d cbd 进而可得bc cd 4 通过 abe cde 得出含ae的比例式 求出ae的值 方法总结证明三角形相似的常见方法 平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交 所构成的三角形与原三角形相似 相似的基本图形可分别记为 a 型和 x 型 如图所示 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 7 2016福建福州 25 12分 如图 在 abc中 ab ac 1 bc 在ac边上截取ad bc 连接bd 1 通过计算 判断ad2与ac cd的大小关系 2 求 abd的度数 解析 1 ad bc ad2 ac 1 cd 1 ad2 ac cd 2 ad2 ac cd ad bc bc2 ac cd 即 又 c c abc bdc 又ab ac bd bc ad a abd abc c bdc 设 a abd x 则 bdc a abd 2x abc c bdc 2x a abc c x 2x 2x 180 解得x 36 abd 36 评析本题主要考查的是相似三角形的性质和判定 等腰三角形的性质 三角形内角和定理的应用 证得 abc bdc是解题的关键 8 2015江苏南京 20 8分 如图 abc中 cd是边ab上的高 且 1 求证 acd cbd 2 求 acb的大小 解析 1 证明 cd是边ab上的高 adc cdb 90 又 acd cbd 4分 2 acd cbd a bcd 在 acd中 adc 90 a acd 90 bcd acd 90 即 acb 90 8分 考点一相似与位似的有关概念 c组教师专用题组 1 2014湖北武汉 6 3分 如图 线段ab两个端点的坐标分别为a 6 6 b 8 2 以原点o为位似中心 在第一象限内将线段ab缩小为原来的后得到线段cd 则端点c的坐标为 a 3 3 b 4 3 c 3 1 d 4 1 答案a 线段ab两个端点的坐标分别为a 6 6 b 8 2 以原点o为位似中心 在第一象限内将线段ab缩小为原来的后得到线段cd 端点c的坐标为 3 3 故选a 评析本题主要考查位似图形的性质 属容易题 2 2015天津 16 3分 如图 在 abc中 de bc 分别交ab ac于点d e 若ad 3 db 2 bc 6 则de的长为 答案 解析 de bc de 评析本题考查平行线分线段成比例定理 由de bc可得 从而可计算出de的长 3 2015宁夏 20 6分 在平面直角坐标系中 abc的三个顶点坐标分别为a 2 4 b 3 2 c 6 3 1 画出 abc关于x轴对称的 a1b1c1 2 以m点为位似中心 在网格中画出 a1b1c1的位似图形 a2b2c2 使 a2b2c2与 a1b1c1的相似比为2 1 解析 1 如图所示 3分 2 如图所示 6分 4 2014湖南郴州 19 6分 在13 13的网格图中 已知 abc和点m 1 2 1 以点m为位似中心 位似比为2 画出 abc的位似图形 a b c 2 写出 a b c 的各顶点坐标 解析 1 3分 2 a 3 6 b 5 2 c 11 4 6分 1 2014辽宁沈阳 8 3分 如图 在 abc中 点d在边ab上 bd 2ad de bc交ac于点e 若线段de 5 则线段bc的长为 a 7 5b 10c 15d 20 考点二相似三角形的性质与判定 答案c由题意可得 ade abc 相似比为 所以bc 3de 15 故选c 评析本题考查相似三角形的判定与性质 属容易题 2 2014江苏南京 3 2分 若 abc a b c 相似比为1 2 则 abc与 a b c 的面积的比为 a 1 2b 2 1c 1 4d 4 1 答案c相似三角形的面积比等于相似比的平方 故选c 3 2014贵州贵阳 7 3分 如图 在方格纸中 abc和 epd的顶点均在格点上 要使 abc epd 则点p所在的格点为 a p1b p2c p3d p4 答案c由题图可知 e a 90 要使 abc epd 则 2 所以ep 2ab 6 点p所在的格点为p3 故选c 评析本题考查相似三角形的判定和性质 设计巧妙 属容易题 4 2016江苏南京 15 2分 如图 ab cd相交于点o oc 2 od 3 ac bd ef是 odb的中位线 且ef 2 则ac的长为 答案 解析 ef是 odb的中位线 oe od ef bd ac bd ef bd ac ef ac 5 2016湖北武汉 16 3分 如图 在四边形abcd中 abc 90 ab 3 bc 4 cd 10 da 5 则bd长为 答案2 解析如图 连接ac 过点d作de bc 交bc的延长线于e abc 90 ab 3 bc 4 ac 5 cd 10 da 5 ac2 cd2 ad2 acd 90 acb dce 90 acb bac 90 bac dce 又 abc dec 90 abc ced 即 ce 6 de 8 在rt bed中 bd 2 6 2015重庆 15 4分 已知 abc def abc与 def的相似比为4 1 则 abc与 def对应边上的高之比为 答案4 1 解析两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比 所以答案是4 1 7 2014黑龙江哈尔滨 20 3分 如图 在 abc中 4ab 5ac ad为 abc的角平分线 点e在bc的延长线上 ef ad于点f 点g在af上 fg fd 连接eg交ac于点h 若点h是ac的中点 则的值为 答案 解析 ef ad fg fd ef垂直平分gd eg ed egd edg agh adb 又 bad hag abd ahg 4ab 5ac ah ac 8 2015江苏连云港 25 10分 如图 在 abc中 abc 90 bc 3 d为ac延长线上一点 ac 3cd 过点d作dh ab 交bc的延长线于点h 1 求bd cos hbd的值 2 若 cbd a 求ab的长 解析 1 dh ab bhd abc 90 acb dch abc dhc ac 3cd bc 3 ch 1 bh bc ch 4 在rt bhd中 cos hbd bdcos hbd bh 4 4分 2 解法一 a cbd abc bhd abc bhd 6分 abc dhc ab 3dh dh 2 ab 6 10分 解法二 cbd a bdc adb cdb bda bd2 cd ad bd2 cd 4cd 4cd2 bd 2cd 6分 cdb bda ab 6 10分 9 2015福建福州 25 13分 如图 在锐角 abc中 d e分别为ab bc中点 f为ac上一点 且 afe a dm ef交ac于点m 1 求证 dm da 2 点g在be上 且 bdg c 如图 求证 deg ecf 3 在图 中 取ce上一点h 使 cfh b 若bg 1 求eh的长 解析 1 证明 dm ef amd afe afe a amd a dm da 2 证明 d e分别为ab bc的中点 de ac deb c bde a 又 afe a bde afe bdg gde c fec 又 bdg c edg fec deg ecf 图a bdg c deb b b bdg bed 即bd2 be bg a afe b cfh c 180 afe cfh efh 又 feh cef efh ecf 即ef2 eh ec 3 解法一 如图a所示 de ac dm ef 四边形defm是平行四边形 ef dm ad bd be ec eh bg 1 解法二 如图b 在dg上取一点n 使dn fh 图b a afe abc cfh c bdg efh 180 afe cfh c bdg de ac dm ef 四边形defm是平行四边形 ef dm ad bd bdn efh bn eh bnd ehf bng fhc bdg c dbg cfh bgd fhc bng bgd bn bg eh bg 1 解法三 如图c 取ac中点p 连接pd pe ph 则pe ab 图c pec b 又 cfh b pec cfh 又 c c cep cfh cef cph cfe chp 由 2 可得 cfe dge chp dge ph dg d p分别为ab ac的中点 dp gh dp bc be 四边形dghp是平行四边形 dp gh be eh bg 1 解法四 如图d 作 ehf的外接圆交ac于另一点p 连接pe ph 图d则 hpc hef fhc cpe b cfh c c a chf a cpe pe ab de ac 四边形adep是平行四边形 de ap ac de cp 由 2 可得 gde cef deb c gde cph deg pch ge hc eh bg 1 解法五 如图e 取ac中点p 连接pe ph 则pe ab 图e pec b 又 cfh b pec cfh 又 c c cep cfh cef cph cef cph 由 2 可得 cef edg c deg d e分别是ab bc的中点 de ac pc deg pch ch eg eh bg 1 a组2016 2018年模拟 基础题组考点一相似与位似的相关概念 三年模拟 1 2018安徽合肥 安庆大联考 5 下列说法中正确的是 a 矩形都是相似图形b 各角对应相等的两个五边形相似c 等边三角形都是相似三角形d 各边对应成比例的两个六边形相似 答案ca中 对应角相等 对应边不一定成比例 故不一定相似 故a错误 b中 两个五边形对应角相等 对应边不一定成比例 故不一定相似 故b错误 c正确 d中 对应边成比例 对应角不一定相等 故d错误 故选c 2 2017安徽芜湖第二十九中学二模 9 如图 平行四边形abcd中 点e f分别是ad ab的中点 ef交ac于点g 那么ag gc的值为 a 1 2b 1 3c 1 4d 2 3 答案b连接bd 与ac相交于点o 点e f分别是ad ab的中点 ef是 abd的中位线 ef db 且ef db aef adb 即g为ao的中点 ag go 又oa oc ag gc 1 3 故选b 3 2016安徽淮北五校联考 4 如图 以o为位似中心 将 abc放大得到 def 若ad oa de 6 则ab a 2b 3c 4d 5 答案b因为ad oa 所以a为od的中点 所以ab de 3 4 2018安徽阜阳三模 17 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 按要求画出 a1b1c1和 a2b2c2 1 把 abc绕点o按顺时针方向旋转90 得到 a1b1c1 2 以图中的o为位似中心 在 a1b1c1的同侧将 a1b1c1作位似变换且放大到原来的两倍 得到 a2b2c2 解析 1 如图 a1b1c1为所求作 2 如图 a2b2c2为所求作 5 2018安徽合肥包河一模 17 如图 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12 12网格中 给出了格点 abc和直线l 1 画出 abc关于直线l对称的格点 a b c 2 在直线l上选取一格点p 在网格内画出格点 dpe 使得 dpe abc 且相似比为2 1 解析 1 如图 a b c 为所求作 2 如图 dpe为所求作 答案不唯一 6 2017安徽十校第四次联考 18 如图 在6 8的网格中 每个小正方形的边长均为1 点o和 abc的顶点均在小正方形的顶点上 1 以o为位似中心 在网格中作 a b c 使 a b c 和 abc位似 且位似比为1 2 2 求四边形aa c c的周长 结果保留根号 解析 1 如图所示 2 在rt oa c 中 oa oc 2 根据勾股定理 得a c 2 同理可得ac 4 又aa cc 2 四边形aa c c的周长为4 6 7 2017安徽合肥蜀山二模 17 如图 在已知的平面直角坐标系中 abc的顶点都在正方形网格的格点上 若a b两点的坐标分别是a 1 0 b 0 3 1 将 abc绕原点o顺时针旋转90 得到 a1b1c1 画出 a1b1c1 2 以点o为位似中心 与 abc位似的 a2b2c2满足a2b2 ab 2 1 请在网格内画出 a2b2c2 则 a2b2c2的面积为 解析 1 如图所示 a1b1c1即为所求作 2 如图所示 a2b2c2即为所求作 a2b2c2的面积为10 8 2016安徽阜阳二模 17 如图 在平面直角坐标系xoy中 abc的顶点坐标分别是a 1 1 b 3 3 c 5 2 1 在图中作出该坐标系 2 在 1 的基础上继续作图 将 abc向左平移3个单位得到 a1b1c1 再将 a1b1c1以原点o为位似中心放大2倍 得到 a2b2c2 使得点a1的对应点a2在第一象限 3 abc内的点p a b 在经过上述两次变换后 其对应点p2的坐标为 解析 1 如图所示 2 如图所示 3 6 2a 2b 1 2017安徽池州贵池期末联考 4 如图 点p在 abc的边ac上 要使 abp acb 需添加一个条件 不正确的是 a b apb abcc d abp c 考点二相似三角形的性质与判定 答案a由题图可知 abp与 acb有公共角 a 虽然选项a给出的对应边的比相等 但是对应边所夹的角不是 a 故a不正确 2 2017安徽十校第四次联考 7 在 abc中 ab 24 ac 18 d为ac上一点且ad 12 在ab上取一点e 使得以a d e为顶点的三角形与 abc相似 则ae的长应为 a 16b 14c 16或14d 16或9 答案d当ad与ac是对应边时 由相似可得 代入数据可得ae 16 当ad与ab是对应边时 由相似可得 代入数据可得ae 9 所以ae 16或9 3 2017安徽合肥蜀山一模 7 如图 d e分别是 abc的边ab bc上的点 且de ac 若s bde s cde 1 3 则s doe s aoc的值为 a b c d 答案d s bde s cde 1 3 be ec 1 3 be bc 1 4 de ac bde bac doe coa 故选d 4 2018安徽阜阳三模 23 在 abc中 ab ac bac 2 dae 2 1 如图1 若点d关于直线ae的对称点为f 求证 adf abc 2 如图2 在 1 的条件下 若 45 求证 de2 bd2 ce2 3 如图3 若 45 点e在bc的延长线上 则等式de2 bd2 ce2还能成立吗 请说明理由 解析 1 证明 点d关于直线ae的对称点为f eaf dae ad af 又 bac 2 dae bac daf 又 ab ac adf abc 2 证明 点d关于直线ae的对称点为f ef de af ad 45 bad 90 cad 又 caf dae eaf cad 45 45 cad 90 cad bad caf 在 abd和 acf中 abd acf sas cf bd acf b ab ac bac 2 45 abc是等腰直角三角形 b acb 45 ecf acb acf 45 45 90 在rt cef中 由勾股定理得ef2 cf2 ce2 所以de2 bd2 ce2 3 de2 bd2 ce2成立 理由如下 作点d关于直线ae的对称点f 连接ef cf af 由轴对称的性质知ef de af ad 45 daf 90 bac 90 bad caf 在 abd和 acf中 abd acf sas cf bd acf b ab ac bac 90 abc是等腰直角三角形 b acb 45 ecf 180 acb acf 180 45 45 90 在rt cef中 由勾股定理得ef2 cf2 ce2 所以de2 bd2 ce2 思路分析 1 由点d f关于直线ae对称可得 eaf dae ad af 再根据已知条件可得 bac daf 问题解决 2 由点d f关于直线ae对称及 45 可得 bad caf 再证明 abd acf 然后证明 ecf 90 最后由勾股定理即可证明 3 作d关于直线ae的对称点f 连接ef cf af 然后运用 2 的方法证明即可 5 2017安徽马鞍山含山一模 23 如图1 点d位于 abc的边ac上 已知ab是ad与ac的比例中项 1 求证 acb abd 2 现有点e f分别在边ab bc上 如图2 满足 edf a c 当ab 4 bc 5 ca 6时 求证 de df 证明 1 ab是ad与ac的比例中项 又 a a abd acb acb abd 2 abd acb 即 解得ad bd cd ac ad 6 bd cd dbc acb 又 acb abd abd dbc edf a c 180 abc edf abc 180 点b e d f四点共圆 de df 6 2016安徽合肥庐阳二模 19 如图 一棵大树在一次强台风中折断倒下 未折断的树干ab与地面仍保持垂直关系 而折断的部分ac与未折断的树干ab形成60 的夹角 树干ab旁有一座与地面垂直的铁塔de 测得be 6米 塔高de 9米 在某一时刻的太阳照射下 未折断的树干ab落在地面上的影子fb长为4米 且点f b c e在同一条直线上 点f a d也在同一条直线上 求这棵大树没有被折断时的高度 解析根据题意 得ab ef de ef abc 90 ab de abf def 4分 即 ab 3 6米 6分 cos bac ac 7 2 米 8分 ab ac 3 6 7 2 10 8 米 即这棵大树没有被折断时的高度为10 8米 10分 1 2017安徽合肥瑶海二模 9 如图 在 abc中 bc 10 d e分别是ab ac的中点 连接be cd交于点o od 3 oe 4 则 abc的面积为 a 36b 48c 60d 72 b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 45分钟分值 70分 一 选择题 每小题3分 共9分 答案d因为d e分别是ab ac的中点 所以de bc 且de bc 5 所以 所以s ode s obc s ode s obd s ode s oec 又od 3 oe 4 所以od2 oe2 de2 所以s ode 3 4 6 所以s obc 24 12 s oec 12 所以s四边形decb 6 12 12 24 54 易知s ade s abc 所以s四边形decb s abc 所以s abc 54 72 故选d 思路分析由d e分别是ab ac的中点可得de bc 且de 5 从而可求s ode及s ode s obc s ode s obd s ode s oec 进而可求s四边形decb 又s ade s abc 故可求s abc 2 2017安徽合肥瑶海一模 10 如图 在 abc中 ab ac a bc b a b 在 abc内依次作 cbd a dce cbd edf dce 则ef等于 a b c d 答案c ab ac abc acb 又 cbd a abc bdc 又 dce cbd bcd cde 又 edf dce cde dfe 且易知bc bd b ec dc cd de ef 故选c 思路分析易证 abc bdc cde dfe 根据相似三角形的性质即可求ef 3 2016安徽淮北五校联考 10 如图 在 abc中 ab 6 ac 4 p是ac的中点 过点p的直线交ab边于点q 若以a p q为顶点的三角形和以a b c为顶点的三角形相似 则aq的长为 a 3b c 3或d 3或 答案d依据相似三角形的判定定理 过点p的直线pq应有两种作法 一是过点p作pq bc 如图1 则 aqp abc 此时 所以aq 3 二是过点p作 apq abc 如图2 则 apq abc 此时 所以aq 故选d 思路分析分为两种情况 一是 aqp abc 再由相似求解 二是 apq abc 再由相似求解 4 2017安徽十校第四次联考 14 如图 abc与 aef中 ab ae bc ef b e ab交ef于d 给出下列结论 de cf afc c ade fdb bfd caf 其中正确的结论是 填序号 二 填空题 共3分 答案 解析对于 已知bc ef 若de cf 则df bf 所以 bdf bfd 又 ade bdf 所以 b ade e 那么ad ae ab 这与ad ab矛盾 故 错误 对于 在 abc和 aef中 ab ae b e bc ef 所以 abc aef 则af ac 所以 afc c 故 正确 对于 因为 b e bdf eda 所以 aed fbd 故 正确 对于 由 知 bfd ead 由 知 eaf bac 所以 ead caf 所以 bfd caf 故 正确 综上 正确 思路分析 假设de cf 根据由已知推出的结论与已知矛盾即可判断 证 abc aef 可得af ac 即可判断 由对顶角相等及已知易证 由 和 可判断 5 2018安徽蚌埠禹会一模 23 如图 1 p为 abc所在平面内一点 且 apb bpc cpa 120 则点p叫做 abc的费马点 1 如果点p为锐角 abc的费马点 且 abc 60 求证 abp bcp 若pa 3 pc 4 则pb 2 已知锐角 abc 分别以ab ac为边向外作正 abe和正 acd ce和bd相交于点p 如图 2 求 cpd的度数 求证 点p为 abc的费马点 三 解答题 共58分 解析 1 证明 pab pba 180 apb 60 pbc pba abc 60 pab pbc 又 apb bpc 120 abp bcp abp bcp pb2 pa pc 12 pb 2 2 如图 易知 ace adb adp acp 又 afd pfc cpd cad 60 证明 易知 adf pcf 又 afp cfd afp dfc apf acd 60 apc cpd apf 120 易知 bpc 180 cpd 120 apb 360 bpc apc 120 点p为 abc的费马点 6 2017安徽合肥二模 23 如图1 在四边形abcd中 dab被对角线ac平分 且ac2 ab ad 我们称该四边形为 可分四边形 dab称为 可分角 1 如图2 在四边形abcd中 dab 60 ac平分 dab 且 bcd 150 求证 四边形abcd为 可分四边形 2 如图3 四边形abcd为 可分四边形 dab为 可分角 若 dcb dab 求 dab的度数 3 现有四边形abcd为 可分四边形 dab为 可分角 且ac 4 则 dab的最大面积等于 解析 1 证明 dab 60 ac平分 dab dac cab 30 d acd 180 30 150 又 bcd acd acb 150 d acb adc acb ad ac ac ab ac2 ab ad 四边形abcd为 可分四边形 2 ac平分 dab dac bac ac2 ab ad ad ac ac ab adc acb d acb dcb dab dcb dca acb 2 dac dac d acd 180 dac 2 dac 180 解得 dac 60 dab 120 3 四边形abcd为 可分四边形 ac 4 ab ad ac2 16 当ab ad时 dab的面积最大 且最大面积为 16 8 思路分析 1 由题意可证 adc acb 再根据所给定义即可证明 2 利用 1 的结论及 dac d acd 180 即可求 dac 进一步可求 dab 3 易知当ab ad时 dab的面积最大 求解即可 7 2017安徽合肥瑶海一模 23 已知rt abc中 acb 90 点d为斜边ab的中点 def的顶点e f分别在边ac bc上 1 如图1 若ac bc 4 edf 90 则ec cf 填数值 2 如图2 若 edf 90 则 acb和 def相似吗 若相似 请给出证明 若不相似 请说明理由 3 如图3 若bc 4 def 90 且tan edf 2 设ac x 8 x 10 def的面积为s 写出s关于x的函数解析式 并求出s的最大值 解析 1 4 提示 连接cd 证明 ade cdf 2 相似 证明 过点d作dg ac dh bc 垂足分别是点g 点h dgc dhf 90 c 90 四边形cgdh为矩形 gdh gdf hdf 90 edf gdf gde 90 hdf gde 又 dge dhf 90 rt gde rt hdf 点d是ab的中点 dg bc dh ac edf bca acb fde 3 过点d作dm ac 垂足为点m 则dm bc 易证rt med rt cfe 点d是ab的中点 dm bc dm bc 2 am mc ac x tan edf 2 2 2 ce 4 me mc ce x 4 在rt dem中 由dm2 me2 de2 得de2 22 x 8 2 4 s de ef de 2de de2 x 8 2 4 8 x 10 当x 8时 s随x的增大而增大 当x 10时 s取得最大值 最大值为 10 8 2 4 5 思路分析 1 连接cd 利用等腰直角三角形的性质证明 ade cdf 从而得到ae cf 进而可得ec cf ac 4 2 过点d作dg ac于点g dh bc于点h 先证rt gde rt hdf 再利用三角形中位线的性质即可判定 edf bca 3 过点d作dm ac于点m 先证rt dme rt ecf 得到对应边成比例 再根据正切的含义和勾股定理 结合三角形面积公式得到s关于x的二次函数 然后利用二次函数的性质求解最大值 评析本题主要考查直角三角形的性质 矩形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 二次函数的应用 8 2016安徽合肥庐阳二模 23 在 abc中 acb 90 经过点a的直线mn bc 点d为ab边上一点 不与点a重合 连接cd 作de cd交mn于点e 连接ce 1 如图 1 当 b 45 时 的值为 如图 2 当 b 60 时 的值为 2 当 b 时 求的值 并说明理由 用含 的三角函数表示 3 判断 ecd与 abc是否相似 并说明理由 解析 1 1 2 如图 过点d作mn的垂线交mn于点p 交bc于点q 易证 epd dqc 设bc m bq n 则ac mtan dq ntan pd ac dq m n tan cq bc bq m n tan tan 3 ecd与 abc相似 理由 tanb 又 edc acb 90 ecd abc 思路分析 1 由 eac cde 90 说明a e c d四点共圆 可得 ced cab 45 可得 ced cab 30 问题解决 2 过点d作mn的垂线交mn于点p 交bc于点q 易证 epd dqc 可得 设bc m bq n 由直角三角形的性质求出pd cq即可 3 根据tanb 及 edc acb 90 可证 ecd abc 9 2016安徽安庆模拟 23 如图 平行四边形abcd中 ab ac ce ab于点e cf ac交ad的延长线于点f 1 求证 bce afc 2 连接bf 分别交ce cd于g h 如图 求证 eg cg 3 在图 中 若 abc 60 求 解析 1 证明 ce ab cf ac bec acf 90 四边形abcd是平行四边形 ad cb caf acb 又 ab ac ebc acb caf bce afc 4分 2 证明 由 1 知 bce afc ad bc ab cd be ch ab cd beg hcg ebg chg 在 bge与 hgc中 bge hgc eg cg 10分 3 abc 60 ab ac abc是等边三角形 ce ab be ae be ch ch dh ab dh bh fh bg gh bg gf 1 3 14分 思路分析 1 由垂直定义 四边形abcd是平行四边形及ab ac可证 bce afc 2 由 1 可得 由平行线的性质可得 由此可证 bge hgc 可得eg cg 3 先判定 abc为等边三角形 由 2 中 bge hgc可得be ch 然后根据平行线的性质及等量代换求出 方法指导本题在证明 2 时用到了 1 的结论 证明 3 时用到了 2 的结论 这种环环相扣的题型是中考题中常出现的 提醒同学们在做这类题时要注意前后联系 善于利用前面的结论解决问题 10 2016安徽安庆二模 23 如图 abc中 acb 90 ac 3 bc 4 点d是ab的中点 点e在dc的延长线上 且ce cd 过点b作bf de交ae的延长线于点f 交ac的延长线于点g 1 求证 ab bg 2 求bf的长 3 若点p是射线bg上的一点 当bp的长为多少时 bcp与 bcd相似 并说明理由 解析 1 证明 bf de ad bd ac cg bg 2cd 又 acb 90 ab 2cd ab bg 4分 2 ac 3 bc 4 acb 90 ab 5 cd 又 ce cd de bf 2de 8分 3 ab bg acb 90 dbc pbc 分以下两种情况 如图 1 若 cdb cpb 则 bcp bcd 此时bp bd 11分 如图 2 若 pcb cdb 则 bpc bcd bpc bcd cbd cbp cp bc 过点c作ch bg于点h 易证 abc cbh 解得bh bp 14分 思路分析 1 应用三角形中位线的性质及斜边上的中线等于斜边的一半即可得证 2 由勾股定理求出ab 从而可求cd 再由ce cd可求de 进而根据中位线的性质可求bf 3 分两种情况 cdb cpb 由 bcp bcd可求bp pcb cdb 由 bpc bcd及 abc cbh可求bh 进而求bp 1 2017安徽合肥四十五中最后一卷 23 如图1 abc是等腰直角三角形 在两腰ab ac外侧作两个等边三角形abd和ace am和an分别是等边三角形abd和ace的角平分线 连接cm bn cm与ab交于点p 1 求证 cm bn 2 如图2 点f为角平分线an上一点 且 cpf 30 求证 apf amc 3 如图2 求的值 c组2016 2018年模拟 探究题组 时间 30分钟分值 45分 解答题 共45分 解析 1 证明 abc是等腰直角三角形 ab ac 易知 abd ace am an分别是 abd和 ace的角平分线 am an 又 mac mab bac 120 ban can bac 120 mac ban mac nab cm bn 2 证明 apc是 apm的一个外角 apc amp pam cpf apf cpf 30 map amp apf 由 1 知 paf mac 120 apf amc 由 2 知 apf amc bah 90 ba