【导与练】高考数学一轮总复习 第六篇 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时训练 文（含解析）新人教版(1).doc

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域2、5线性目标函数的最值1、7、9非线性目标函数的最值4、13、15线性规划的应用6、10、11、16含参数的线性规划问题3、8、12、14一、选择题1.(2013青岛市高三模拟)如果实数x、y满足条件x-y+10,y+10,x+y+10,那么目标函数z=2x-y的最大值为(b)(a)2(b)1(c)-2(d)-3解析:做出满足条件的可行域如图所示,由图可知,当目标函数直线经过点d(0,-1)时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大,此时z=20-(-1)=1,所以最大值为1,故选b.2.(2013山东省泰安市高三模拟)不等式组y-x+2,yx-1,y0所表示的平面区域的面积为(d)(a)1(b)12(c)13(d)14解析:做出不等式组对应的区域为bcd.由题意知xb=1,xc=2.由y=-x+2,y=x-1,得yd=12,所以sbcd=12(xc-xb)12=14.故选d.3.(2012年高考福建卷)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,xm,则实数m的最大值为(b)(a)-1(b)1(c)32(d)2解析:约束条件x+y-30,x-2y-30,xm表示的可行域如图阴影部分所示.当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过a点的位置时,m取最大值.解方程组x+y-3=0,y=2x得a点坐标为(1,2),m的最大值为1,故选b.4.(2013烟台市高三模拟)已知动点p(m,n)在不等式组x+y4,x-y0,y0表示的平面区域内部及其边界上运动,则z=n-3m-5的最小值是(d)(a)4(b)3(c)53(d)13解析:做出不等式组对应的平面区域如图阴影所示.因为z=n-3m-5,所以z的几何意义是区域内过任意一点p(x,y)与点m(5,3)两点的直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点am时,斜率最小,由x+y=4,x-y=0,得x=2,y=2,即a(2,2),此时kam=3-25-2=13,所以z=n-3m-5的最小值是13.故选d.5.(2012汕头模拟)若不等式组x-y0,2x+y2,y0,x+ya表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是(d)(a)a43(b)0a1(c)1a43(d)0a1或a43解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点a23,23向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.0a1或a43.故选d.6.(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克;生产乙产品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗a、b原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是(c)(a)1800元(b)2400元(c)2800元(d)3100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x、y的约束条件为x0,xn,y0,yn,x+2y12,2x+y12.设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点m时,目标函数取得最大值.由x+2y=12,2x+y=12,解得x=4,y=4,即m的坐标为(4,4),zmax=3004+4004=2800(元).故选c.7.(2013德州市高三模拟)已知变量x、y满足2x-y0,x-2y+30,x0,则z=log2(2x+y+4)的最大值为(d)(a)1(b)32(c)2(d)3解析:设t=2x+y,则y=-2x+t.做出不等式组对应的可行域如图阴影部分.当直线y=-2x+t经过点c时,直线y=-2x+t的截距最大,此时t最大,对应的z也最大,由2x-y=0,x-2y+3=0,得x=1,y=2.即c(1,2)代入t=2x+y得t=4,所以z=log2(2x+y+4)的最大值为log2(4+4)=log28=3.故选d.二、填空题8.(2013河北省重点中学联合考试)设z=2x+y,其中x,y满足x+y0,x-y0,0yk,若z的最大值为6,则z的最小值为.解析:不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=2x+y过点a(k,k)时,z取最大值,则zmax=3k=6,解得k=2,易知当直线z=2x+y过点b(-k,k)时,z取最小值,则zmin=-2.答案:-29.(2013安徽省示范高中高三模拟)若实数x,y满足x+y-10,x+y+10,-1x1,则|x+2y|的值域为.解析:可行域如图阴影部分.设z=x+2y,则y=-12x+z2.易知点(1,-2),(-1,2)为最优解.(x+2y)min=1+2(-2)=-3,(x+2y)max=-1+22=3,又可行域过原点,|x+2y|0,3.答案:0,310.(2013潍坊市高三模拟)若实数x,y满足x-y+10,x+y0,x0,则z=3x+2y的值域是.解析:令t=x+2y,则y=-12x+t2,做出可行域,平移直线y=-12x,由图象知当直线经过o点时,t最小,当经过点d(0,1)时,t最大,所以0t2,所以1z9,即z=3x+2y的值域是1,9.答案:1,911.(2013濮阳模拟)已知点a(2,0),点p的坐标(x,y)满足x-4y+30,3x+5y25,x-10,则|op|cosaop(o为坐标原点)的最大值是.解析:法一由题得,oaop=|oa|op|cosaop,即|op|cosaop=oaop|oa|=(2,0)(x,y)2=x.由图知当p取b点时x最大,又b(5,2),则|op|cosaop的最大值为5.法二|op|cosaop即为op在oa上的投影,即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值.由x-4y+3=0,3x+5y=25,可得交点的坐标为(5,2),此时|op|cosaop取值最大,|op|cosaop的最大值为5.答案:512.(2012广州模拟)已知实数x、y满足x0,y1,2x-2y+10.若目标函数z=ax+y(a0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a的值为.解析:画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线ax+y=0,可知当平移到与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y的最小值有无数多个.答案:-113.(2013咸阳一模)设实数x、y满足x-y-20,x+2y-40,2y-30,则yx的最大值是.解析:不等式组确定的平面区域如图阴影部分.设yx=t,则y=tx,求yx的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过a点时,t最大.由x+2y-4=0,2y-3=0,解得a1,32.代入y=tx,得t=32.所以yx的最大值为32.答案:32三、解答题14.(2013黄山模拟)设x,y满足约束条件x+y1,x-y-1,2x-y2,(1)求目标函数z=12x-y+12的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.解:(1)作出可行域如图所示,可求得a(3,4),b(0,1),c(1,0).平移初始直线12x-y=0,过a(3,4)取最小值-2,过c(1,0)取最大值1.z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1-a22,解得-4a0,y2.(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.解:由x-y+10,x0,y2,作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此yx的取值范围为直线ob的斜率到直线oa的斜率(oa的斜率不存在).而由x-y+1=0y=2得b(1,2),则kob=21=2.zmax不存在,zmin=2,z的取值范围是2,+).(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此x2+y2的范围最小为|oa|2(取不到),最大为|ob|2.由x-y+1=0x=0得a(0,1),|oa|2=(02+12)2=1.|ob|2=(12+22)2=5.z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5.16.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满