【导与练】高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题七 解析几何 第2讲 圆锥曲线的综合问题 理.doc

第2讲圆锥曲线的综合问题【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线综合1、2、5、7、8、9、12圆与圆锥曲线综合3、4、5、14圆锥曲线间的综合10、13圆锥曲线中弦长问题13圆锥曲线中的证明性问题14、15轨迹问题11、14基础把关1.(2014福州质检)直线y=-3x与椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)交于a,b两点,以线段ab为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆c的离心率为(c)(a)32 (b)3-12(c)3-1(d)4-23解析:设椭圆的左、右焦点分别为f1,f2,由题意可得|of2|=|oa|=|ob|=|of1|=c,由y=-3x得aof2=23,aof1=3,|af2|=3c,|af1|=c.由椭圆的定义知|af1|+|af2|=2a,c+3c=2a,e=ca=3-1.故选c.2.已知双曲线x29-y216=1,过其右焦点f的直线(斜率存在)交双曲线于p,q两点,pq的垂直平分线交x轴于点m,则|mf|pq|的值为(b)(a)53(b)56(c)54(d)58解析:依题意,将直线pq特殊化为x轴,于是有点p(-3,0),q(3,0),m(0,0),f(5,0),则|mf|pq|=56.故选b.3.(2013济南模拟)已知圆m:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆c:x2a2+y23=1的左焦点为f(-c,0),若垂直于x轴且经过f点的直线l与圆m相切,则a的值为(c)(a)34(b)1(c)2(d)4解析:圆m的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2(m0)与圆(x-a)2+y2=r2(a0)有且只有一个公共点,则(b)(a)r=a=p (b)r=ap(c)rap(d)ra=p解析:当r0)与抛物线y2=2px(p0)要么没有交点,要么有两个或四个交点,与题意不符;当ra时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当r=a时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(x-a)2+2px=r2(x0)有且仅有一个解x=0,可得ap.故选b.5.(2014兰州第一次诊断)若直线mx+ny=4和o:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为(b)(a)至多一个(b)2(c)1(d)0解析:直线mx+ny=4和圆x2+y2=4无交点,4m2+n22,m2+n24.m29+n24m24+n240)的两顶点为a1,a2,虚轴两端点为b1,b2,两焦点为f1,f2,若以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2,切点分别为a,b,c,d,则(1)双曲线的离心率e=;(2)菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值s1s2=.解析:(1)由题图可知,点o到直线f1b2的距离d与圆o的半径oa1相等,又直线f1b2的方程为x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0.所以d=bcb2+c2=a,整理得b2(c2-a2)=a2c2,即(c2-a2)2=a2c2,得c2-a2=ac.所以e2-e-1=0,解得e=5+12(负值舍去).(2)连结ob,设bc与x轴的交点为e,由勾股定理可求得|bf1|=c2-a2=b.由等面积法可求得|be|=|f1b|ob|f1o|=abc,则|oe|=|ob|2-|be|2=a2c.所以s2=2|oe|2|eb|=4a3bc2.又因为s1=12|f1f2|b1b2|=2bc,所以s1s2=c32a3=12e3=5+22.答案:(1)5+12(2)5+22点评:直线与圆相切,则圆心到该直线的距离等于半径,这正是本题求解双曲线的离心率的突破口.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.7.过抛物线x2=2py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于a,b两点,a,b在x轴上的正射影分别为d,c.若梯形abcd的面积为122,则p=.解析:设直线l:y=x+p2,a(x1,y1),b(x2,y2).由y=x+p2x2=2py得:x2-2px-p2=0,x1+x2=2p,x1x2=-p2,y1+y2=x1+x2+p=3p,|cd|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=22p,s梯形abcd=12(|ad|+|bc|)|cd|=12(y1+y2)22p=123p22p=32p2.32p2=122,p=2.答案:28.如图,在平面直角坐标系xoy中,a1,a2,b1,b2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点,f为其右焦点,直线a1b2与直线b1f相交于点t,线段ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点,则该椭圆的离心率为.解析:由题意并结合图形得la1b2:x-a+yb=1,即-bx+ay=ab,lb1f:xc+y-b=1,即bx-cy=bc,由得y=b(a+c)a-c,代入得x=2aca-c,t(2aca-c,b(a+c)a-c),则ot的中点m的坐标为(aca-c,b(a+c)2(a-c).又m在椭圆上,a2c2a2(a-c)2+b2(a+c)24b2(a-c)2=1,化简得c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0.0eb0)的左、右焦点分别为f1,f2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点m满足mf1f2=2mf2f1,则该椭圆的离心率等于.解析:直线y=3(x+c)过点f1(-c,0)且倾斜角为60,所以mf1f2=60,mf2f1=30,所以f1mf2=90,所以f1mf2m,在rtf1mf2中,|mf1|=c,|mf2|=3c,所以e=ca=2c2a=2c|mf1|+|mf2|=2cc+3c=3-1.答案:3-111.(2012高考辽宁卷)如图,椭圆c0:x2a2+y2b2=1(ab0,a,b为常数),动圆c1:x2+y2=t12,bt1a.点a1,a2分别为c0的左,右顶点,c1与c0相交于a,b,c,d四点.(1)求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程;(2)设动圆c2:x2+y2=t22与c0相交于a,b,c,d四点,其中bt2a,t1t2.若矩形abcd与矩形abcd的面积相等,证明:t12+t22为定值.(1)解:设a(x1,y1),b(x1,-y1),又知a1(-a,0),a2(a,0),则直线a1a的方程为y=y1x1+a(x+a),直线a2b的方程为y=-y1x1-a(x-a), 由得y2=-y12x12-a2(x2-a2), 由于点a(x1,y1)在椭圆c0上,故x12a2+y12b2=1.从而y12=b2(1-x12a2),代入得m的轨迹方程为x2a2-y2b2=1(x-a,y0,b0)的左、右焦点,若在右支上存在点a,使得点f2到直线af1的距离为2a,则该双曲线的离心率的取值范围是(c)(a)(1,2) (b)(1,2(c)(2,+)(d)2,+)解析:若满足题意,则f2到过f1与渐近线y=bax平行的直线的距离大于2a,由过f1与y=bax平行直线为y=ba(x+c)即bx-ay+bc=0,则|bc-a0+bc|a2+b22a即ba,得e=ca2.故选c.13.(2014天津十二所重点学校模拟)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(ba0),其半焦距为c,过焦点且斜率为1的直线与双曲线c的左右两支各有一个交点,若抛物线y2=4cx的准线被双曲线c截得的弦长为223be2(e为双曲线c的离心率),则e的值为(b)(a)62或3(b)3(c)3或32(d)62解析:由题意得ba1,e2.抛物线y2=4cx的准线为x=-c,被双曲线截得的弦长恰为其通径,2b2a=223be2,解得e=62或3.又e2,e=3.故选b.14.(2014江南十校联考)如图所示,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点a,b,作圆的切线ac,bd,再过圆上任意一点h作圆的切线,交ac,bd于c,d两点,设ad,bc的交点为r.(1)求动点r的轨迹e的方程;(2)过轨迹e的右焦点f作直线l交轨迹e于m,n两点,交y轴于p点,且记pm=1mf,pn=2nf,求证:1+2为定值.解:(1)设点h的坐标为(x0,y0),则x02+y02=4.由题意可知x02,且以h为切点的圆的切线的斜率为-x0y0,故切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),展开得x0x+y0y=x02+y02=4,即以h为切点的圆的切线方程为x0x+y0y=4.将x=2代入上述方程可得点c,d的坐标分别为(-2,4+2x0y0),(2,4-2x0y0),又a(-2,0),b(2,0),所以lad:y4-2x0y0=x+24,lbc:y4+2x0y0=x-2-4. 并化简可得x2+4y2=4.因为lad,lab的斜率都不为0,所以动点r的轨迹e不过点a,b,即x2.故动点r的轨迹e的方程为x24+y2=1(x2).(2)由(1)知轨迹e为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为f(3,0).由题意知直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为x=my+3(m0),则点p的坐标为(0,-3m).设点m(x1,y1),n(x2,y2),由x=my+3,x2+4y2=4消去x可得(m2+4)y2+23my-1=0,则y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.又pm=1mf,即(x1,y1+3m)=1(3-x1,-y1),所以1=y1+3m-y1,同理2=y2+3m-y2.所以1+2=y1+3m-y1+y2+3m-y2=-2-3m(1y1+1y2)=-2-3my1+y2y1y2=-2-3m-23mm2+4-1m2+4=-8.所以1+2为定值-8.15.(2014浙江温州中学模拟)如图所示,已知抛物线c:y2=2px和m:(x-4)2+y2=4,过抛物线c上一点h(x0,y0)作两条直线与m相切于a、b两点,分别交抛物线于e、f两点,圆心m到抛物线准线的距离为92.(1)求抛物线c的方程;(2)求证:对任意的动点h,直线ef恒与m相切.(1)解:m(4,0)到抛物线c:y2=2px的准线x=-p2的距离为p2+4=92p=1,抛物线c的方程为y2=2x.(2)证明:由题意可知kha斜率存在,设e(y122,y1),f(y222,y2),则ef斜率k=y2-y1y222-y122=2y1+y2,直线ef方程为y-y1=2y1+y2(x-y122)化为2x-(y1+y2)y+y1y2=0,圆m到ef的距离d=|8+y1y2|4+(y1+y2)2.过点h(y022,y0)与点e(y122,y1)的直线到圆心(4,0)的距离同理有|8+y1y0|4+(y1+y0)2.直线he是圆m的切线,|8+y1y0|4+(y1+y