2013年高考数学压轴大题训练：解析几何中的探究性问题.doc

菁优网2013年高考数学压轴大题训练：解析几何中的探究性问题 2013年高考数学压轴大题训练：解析几何中的探究性问题一、解答题（共11小题，满分135分）1（12分）（2012广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由2（12分）（2010四川）已知定点A（1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由3（13分）如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于（）求椭圆和圆的标准方程；（）设直线l的方程为x=4，PMl，垂足为M，是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由4（12分）如图所示，设抛物线C1：y2=4mx（m0）的焦点为F2，且其准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；（2）是否存在实数m，使得PF1F2的三条边的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由5（12分）（2011晋中三模）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由6（12分）已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为，左焦点为F（1，0）的椭圆C上，已知与共线，与共线，=0（1）求椭圆C的方程；（2）试用直线PQ的斜率k（k0）表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值7（12分）（2010惠州模拟）已知点P是O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由8（12分）（2010湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1（）求曲线C的方程（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由9（13分）如图，椭圆=1（ab0）的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（，0）（1）求椭圆的方程；（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；（3）试判断PQR能否为等边三角形？证明你的结论10（13分）已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C（1）若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程；（2）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；（3）设=，=，试问+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由11（12分）（2011南充一模）已知动圆C过点A（2，0），且与圆M：（x2）2+y2=64相内切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；（2）设直线l：y=kx+m（其中k，mZ）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由2013年高考数学压轴大题训练：解析几何中的探究性问题参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分135分）1（12分）（2012广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程4216428专题：综合题；压轴题分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n21，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=当b1时，即b1，得b=1当b1时，即b1，得b=1（舍）b=1椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n21|AB|=，点O到直线l距离=m2+n2101，当且仅当，即m2+n2=21时，SAOB取最大值，又解得：所以点M的坐标为或或或，AOB的面积为点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键2（12分）（2010四川）已知定点A（1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合4216428专题：计算题；证明题；压轴题分析：（I）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；（II）先分类讨论：当直线BC与x轴不垂直时；当直线BC与x轴垂直时，对于第种情形，设BC的方程为y=k（x2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题对于第种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证解答：解：（I）设P（x，y），则化简得x2=1（y0）；（4分）（II）当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x2）（k0）与双曲线x2=1联立消去y得（3k2）x2+4k2x（4k2+3）=0由题意知3k20且0设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1y2=k2（x12）（x22）=k2x1x22（x1+x2）+4=k2（+4）=因为x1、x21，所以直线AB的方程为y=（x+1）因此M点的坐标为（），同理可得因此=0当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，3）AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），同理可得因此=0综上=0，即FMFN故以线段MN为直径的圆经过点F（12分）点评：本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力3（13分）如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于（）求椭圆和圆的标准方程；（）设直线l的方程为x=4，PMl，垂足为M，是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合4216428专题：综合题分析：（）由已知可得2a=4，a=2c，由此能求出椭圆的标准方程和圆的标准方程（）设P（x，y），则由题设知由|PF|=|PM|，|PF|PM|，知若|PF|=|FM|，则|PF|+|FM|=|PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾，|PF|PM|若|PM|=|FM|，则（x4）2=12x2，由此解得存在两点P（，），P（，）使得PFM为等腰三角形解答：解：（）由已知可得2a=4，a=2ca=2，c=1，b2=a2c2=3椭圆的标准方程为，圆的标准方程为（x1）2+y2=1（）设P（x，y），则M（4，y），F（1，0）P（x，y）在椭圆上y2=|PF|2=（x1）2+y2=（x1）2+3x2=（x4）2|PM|2=|x4|2，9+y2=12x2|PF|=|PM|，|PF|PM|（1）若|PF|=|FM|则|PF|+|FM|=|PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾|PF|PM|（2）若|PM|=|FM|，则（x4）2=12x2，解得x=4或x=|x|2x=y=P（，）综上可得存在两点P（，），P（，）使得PFM为等腰三角形点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解4（12分）如图所示，设抛物线C1：y2=4mx（m0）的焦点为F2，且其准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；（2）是否存在实数m，使得PF1F2的三条边的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程4216428专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）确定c=1，再利用椭圆的离心率，求出几何量，即可得到椭圆C2的方程；（2）假设存在，椭圆方程与抛物线方程联立，求出P的坐标，从而可得结论解答：解：（1）当m=1时，y2=4x，则F1（1，0），F2（1，0）设椭圆方程为=1（ab0），则c=1，又e=，所以a=2，b2=3所以椭圆C2方程为；（2）假设存在实数m，使得PF1F2的三条边的边长是连续的自然数，则因为c=m，e=，则a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为，与抛物线方程联立得3x2+16mx12m2=0即（x+6m）（3x2m）=0，得xP=，代入抛物线方程得yP=P（）|PF2|=xP+m=，|PF1|=2a|PF2|=4m=，|F1F2|=2m=，PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，m=3点评：本题考查椭圆方程，考查使得三角形周长是连续的自然数的最小实数的求法，考查椭圆与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题5（12分）（2011晋中三模）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题4216428专题：综合题；压轴题；转化思想分析：（1）设出椭圆的方程，根据题意可知c，进而根据求得a，进而利用a和c求得b，则椭圆的方程可得（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用求得m解答：解（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1又即（a+c）（ac）=1=a2c2，a2=2故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，1），F（1，0），故kPQ=1，于是设直线l为y=x+m，由得3x2+4mx+2m22=0又yi=xi+m（i=1，2）得x1（x21）+（x2+m）（x1+m1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m1）+m2m=0由韦达定理得解得或m=1（舍）经检验符合条件，此时直线l的方程为y=x点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力6（12分）已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为，左焦点为F（1，0）的椭圆C上，已知与共线，与共线，=0（1）求椭圆C的方程；（2）试用直线PQ的斜率k（k0）表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程4216428专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出椭圆方程，利用离心率为，左焦点为F（1，0）的椭圆C上，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面积，利用基本不等式，即可得到结论解答：解：（1）设椭圆方程为（ab0），则a2=b2+c2a=，b=1椭圆的方程为；（2）由题意，PQ与MN垂直于F，设PQ的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则，|PQ|=同理，|MN|=SPMQN=2当且仅当k=1时，取等号四边形PMQN的面积的最小值为点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题7（12分）（2010惠州模拟）已知点P是O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由考点：轨迹方程；直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题4216428专题：计算题分析：（1）设Q（x，y），利用向量的坐标运算，结合在O上即可得到点Q的轨迹方程；（2）对于存在性问题的解决方法，可假设存在由向量关系式得E（1，1）是线段MN的中点，利用中点坐标公式及椭圆的方程式，得到直线MN的斜率值，从而求得直线的方程结果表明存在解答：解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）（1分）（2分）又（4分）P在O上，故x02+y02=9（5分）点Q的轨迹方程为（6分）（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则E（1，1）是线段MN的中点，且有又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上两式相减，得（12分）直线MN的方程为4x+9y13=0将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2104x155=0则0有实根椭圆上存在点M、N满足，此时直线MN的方程为4x+9y13=0（14分）点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的坐标运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力8（12分）（2010湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1（）求曲线C的方程（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由考点：抛物线的应用4216428专题：综合题；压轴题分析：（）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可（）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围解答：解：（）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x0）（）设过点M（m，0）（m0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）设l的方程为x=ty+m，由得y24ty4m=0，=16（t2+m）0，于是又（x11）（x21）+y1y2=x1x2（x1+x2）+1+y1y20又，于是不等式等价于由式，不等式等价于m26m+14t2对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m+10，解得由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围点评：本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力9（13分）如图，椭圆=1（ab0）的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（，0）（1）求椭圆的方程；（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；（3）试判断PQR能否为等边三角形？证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的形状判断；椭圆的标准方程4216428专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的性质、离心率计算公式及a2=b2+c2即可得出；（2）证明：设T（1，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）则=，只要证明=0即可，利用“点差法”中点坐标公式即可证明；（3）分类讨论，利用等边三角形的性质和两点间的距离关系及其根与系数的关系即可得到满足条件的直线斜率k存在即可解答：（1）解：由题意可得，解得，椭圆的方程为；（2）证明：设T（1，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）则=，=，由点P，Q在椭圆上，两式相减得=0，x1+x2=2，y1+y2=2y0，PQRT即RT是线段PQ的垂直平分线，故恒有|RT|=|RQ|（3）当PQ的斜率不存在时，PQR不是等边三角形；当PQ的斜率存在时，由（2）可知：k=0时不符合题意假设k0，PQR为等边三角形，则，设PQ的中点T（1，y0），此时，=，代入化为=3（1+k2），解得由0，得64k2m24（4k2+3）（4m212）0，把代入上式得，符合题意PQR能为等边三角形点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、垂直与数量积的关系、两点间的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力10（13分）已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C（1）若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程；（2）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；（3）设=，=，试问+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；等比关系的确定；平行向量与共线向量4216428专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设l的方程为y=kx+2（k0）与抛物线y2=4x联立，利用以A，B为直径的圆经过坐标原点，可得x1x2+y1y2=0，从而可求直线l的方程；（2）证明|MC|2=|MA|MB|0，即可得到|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；（3）由=，=，得，结合韦达定理，可得结论解答：（1）解：设l的方程为y=kx+2（k0）与抛物线y2=4x联立，可得k2x2+（4k4）x+4=0由0，k0，可得且k0设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，以A，B为直径的圆经过坐标原点，x1x2+y1y2=0（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0此时的直线l的方程为x+2y4=0；（2）证明：|MA|MB|=|MC|2=|MA|MB|0|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；（3）解：由=，=，得，+=把代入，可得+=1，即+为定值1点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等比数列的证明，考查学生的计算能力，属于中档题11（12分）（2011南充一模）已知动圆C过点A（2，0），且与圆M：（x2）2+y2=64相内切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；（2）设直线l：y=kx+m（其中k，mZ）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否