山东省济宁市高考数学专题复习 第15讲 导数的应用（二）练习 新人教A版.doc

第十二节导数的应用(二)考情展望1.利用导数解决生活中的优化问题.2.导数与方程、函数零点、不等式等知识交汇命题，综合考查分析问题和解决问题的能力考向一 041导数在方程(函数零点)中的应用(2014长沙模拟)已知函数f(x)ex(x2axa)，其中a是常数(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围【思路点拨】(1)先求切点、切线斜率，再求切线方程；(2)利用导数判断函数f(x)在0，)上的变化情况，数形结合求解【尝试解答】(1)由f(x)ex(x2axa)可得f(x)ex x2(a2)x当a1时，f(1)e，f(1)4e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)令f(x)exx2(a2)x0，解得x(a2)或x0.当(a2)0，即a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)是0，)上的增函数，所以方程f(x)k在0，)上不可能有两个不相等的实数根当(a2) 0，即a2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0，(a2)(a2)(a2)，)f(x)00f(x)a由上表可知函数f(x)在0，)上的最小值为f(a2).因为函数f(x)是(0，(a2)上的减函数，是(a2)，)上的增函数，且当xa时，有f(x)ea(a)a，又f(0)a.所以要使方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是.规律方法11.在解答本题(2)时应判断f(x)f(0)是否成立，这是容易忽视的地方2该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一对点训练(2014威海模拟)设f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数【解】(1)f(x)的定义域是(0，)f(x)当a0时，f(x)0，(0，)是f(x)的增区间，当a0时，令f(x)0，x，(负舍去)当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0所以(0，)是f(x)的减区间，(，)是f(x)的增区间，综合：当a0时，f(x)的增区间是(0，)，当a0时，f(x)的减区间是(0，)，f(x)的增区间是(，)(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数，当a0时有零点x1，当a0时，f(ea)a(e2a1)0，f(ea)a(e2a1)0，(或当x0时，f(x)，当x时，f(x)，所以f(x)在(0，)上有一个零点，当a0时，由(1)f(x)在(0，)上是减函数，f(x)在(，)上是增函数，所以当x时，f(x)有极小值，即最小值f()(ln 2a1)当(ln 2a1)0，即a时f(x)无零点，当(ln 2a1)0，即a时，f(x)有一个零点，当(ln 2a1)0，即0a时f(x)有2个零点综上：当a时f(x)无零点，当a或a0时f(x)有一个零点，当0a时f(x)有2个零点考向二 042导数在不等式中的应用(2013辽宁高考)已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】利用构造法，分别判断f(x)与1x，f(x)与的大小关系；利用比较法或构造函数，通过导数求解未知数范围【尝试解答】(1)证明：要证x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)，当x(0,1)时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0.所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记k(x)exx1，则k(x)ex1，当x(0,1)时，k(x)0，因此k(x)在0,1上是增函数，故k(x)k(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)法一：f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx，设g(x)2cos x，则g(x)x2sin x.记h(x)x2sin x，则h(x)12cos x，当x(0,1)时，h(x)0，于是g(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，g(x)3时 ，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx，记i(x)a2cos xag(x)，则i(x)g(x)，当x(0,1)时，i(x)3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得i(x0)0，此时f(x0)0，于是g(x)在0,1上是增函数，因此当x(0,1)时，g(x)g(0)0，从而f(x)在0,1上是增函数，因此f(x)f(0)0，所以当x0,1时，1x2cos x.同理可证，当x0,1时，cos x1x2.综上，当x0,1时，1x2cos x1x2.因为当x0,1时，f(x)g(x)(1x)e2x(1x)ax12x(a3)x.所以当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x1ax2x(a3)xx，所以存在x0(0,1)满足f(x0)0，又由h0可得r0，故v(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，v(r)0(x0