【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(二十) 3.6简单的三角恒等变换 文 新人教A版.doc

课时提升作业(二十)简单的三角恒等变换一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015长治模拟)已知cos,(0,2),则sin =()【解析】选a.角是的2倍,所以因为(0,2),所以(0,),所以sin=2.化简: =()a.sin2b.tan2c.sin2d.tan2【解题提示】用二倍角公式化简,是的二倍.【解析】选d.原式=故选d.3.(2015长沙模拟)函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为()a.-2,2b.-, c.-1,1d.-, 【解析】选b.f(x)=sin x-cos x+sin x= (sin x-cos x)= sin(x-).xr,所以x-r,所以f(x)-,故选b.4.(2015哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则()a.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称b.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称c.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称d.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选d.因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x,所以f(x)在(0, )内单调递减,且图象关于x=对称.【加固训练】(2014郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),xr,则f(x)()a.周期为,且图象关于点(,0)对称b.最大值为2,且图象关于点(,0)对称c.周期为2,且图象关于点(-,0)对称d.最大值为2,且图象关于x=对称【解析】选b.f(x)=sin(-x)-cos(x+)因为xr,所以x-r,所以-1sin(x-)1,则f(x)的最大值为2.因为=1,所以周期t=2.当x-=k(kz)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选b.5.(2015临沂模拟)已知函数f(x)=sin x+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是()a.abcb.cabc.bacd.bca【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.【解析】选b.f(x)=因为函数f(x)在0,上单调递增,所以,而c= =2sin +=2sin +=f(0) ,所以cab.【误区警示】解答本题易误选a,出现错误的原因是不化简函数解析式,直接由自变量的大小判断a,b,c的大小.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是.【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos 4x,所以最小正周期t=答案: 7.(2015长春模拟)函数f(x)=2sin的最大值为.【解析】因为f(x)=所以f(x)max=1.答案:1【加固训练】(2015咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x-,的最小值是.【解析】y=因为x-,所以,所以ymin=3.答案:38.(2014南宁模拟)设a=sin 14+cos 14,b=sin 16+cos 16,c=.则a,b,c按从小到大的顺序排列为.【解析】a=sin 14+cos 14=sin 59,b=sin 16+cos 16=sin 61,c=sin 60.因为596061,所以sin 59sin 60sin 61,所以acb.答案:ac0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.(2)若a为锐角三角形abc的内角,求f(a)的取值范围.【解析】(1)依题意,得f(x)=-sin2x=cos+,因为t=,所以=1.所以f(x)=cos+,由-+2k2x+2k,kz,得-+kx-+k,kz.所以函数f(x)的单调递增区间为,kz.令2x+=+k,kz,所以x=+,kz.所以对称中心为,kz.(2)依题意,得0a,所以2a+,所以-1cos,所以-cos+0,所以2k+ 2k+ (kz),所以4k+20,cos0,所以sin-cos=由得所以cos 2=2cos2-1=-.【加固训练】(2014六安模拟)已知2sin=1+cos,则tan等于()a.2b.c.或不存在d.不存在【解析】选c.当1+cos=0时,tan不存在.当1+cos0时,2.(5分)(2014上海高考)方程sinx+cosx=1在区间上的所有解的和等于.【解题提示】首先将左边函数化为asin(x+)的形式,再根据三角函数的图象特点可求.【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin=1,所以sin=,又x0,2所以x+=或2+,解得x=或,所以所有解的和为.答案:3.(5分)(2015西安模拟)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos=.【解题提示】用辅助角公式求解,注意辅助角的正、余弦值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+),其中tan=-2,当x+=2k+时,函数f(x)取得最大值,即=2k+-.所以cos=cos(-)=sin,又因为tan=-2,在第四象限,所以sin=-,即cos=-.答案:-4.(12分)(2015保定模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos 2-1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在上的最小值.【解析】(1)f(x)=sin cos + -1=sin x+cos x-=sin(x+)-.所以函数f(x)的最小正周期为2.由2k+x+2k+,kz,得2k+x2k+.则函数f(x)的单调递减区间是2k+,2k+,kz.(2)由x,得x+.则当x+=,即x=时,f(x)取得最小值【加固训练】已知函数f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的单调区间.(3)若x0,求f(x)的最大值及最小值.【解析】(1)f(x)=(cos 2x-sin 2x)(cos 2x+sin 2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=cos (2x+),所以最小正周期t=.(2)由2k-2x+2k,kz,得k-xk-,kz,所以函数f(x)的单调增区间为k-,k-(kz).由2k2x+2k+,kz.得k-xk+,kz,所以函数f(x)的单调减区间为k-,k+(kz).(3)因为0x,所以2x+,所以-1cos (2x+),所以-f(x)1.所以当x=0时,f(x)有最大值为1,当x=时,f(x)有最小值为-.5.(13分)(能力挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪abcd,ab=50米,bc=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路oe,ef和of,考虑到小区整体规划,要求o是ab的中点,点e在边bc上,点f在边ad上,且oeof,如图所示.(1)设boe=,试将oef的周长l表示成的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知ofa=,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域. (